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2012年是安徽省江南十校高三联考文科数学含详细答案3.10


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安徽省 2012 年“江南十校”高三第一次联考(文科数学) 答案与解析
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. (1)解析∵ z ?

1 ? 3i ?1 ? 3i ? ? ?1 ? i ? 1 ? i ? 3i ? 3 ? ? ? ?1 ? 2i ,∴选 B 1? i 2 ?1 ? i ? ? ?1 ? i ?

(2)解析:∵ CR A ? x ?1 ? x ? 1 , B ? y y ? 0 ,∴ ? CR A ? ∩ B = ?x | 0 ? x ? 1?,故选 C (3)解析:∵ a ? b ? 0 时,a 与 b 的夹角为锐角或零度角,∴命题 p 是假命题;又∵函数 f ( x) 在 ? ??, 0 ? 及 (0, ??) 上都是减函数时,可能 f ( x) 在 0 处是个跳跃点,∴命题 q 也是假命题,∴选 B (4)解析:起始 k ? 10 通过条件框要满足“是” S ? 1 ? 10, k ? 9 和 S ? 1 ? 10 ? 9, k ? 8 仍然满足“是” , , ,所以选 D S ? 1 ? 10 ? 9 ? 8 ? 28, k ? 7 达到题目要求,通过条件框要满足“否” (5)解析:先算出三角函数值,然后根据每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,填表可得, 1 2 3 3 5
? ? ? ?

?

?

?

?

2 1 2 1 4 1 8 1 16
所以选 A

1
x? 1 2

2 5 4

3 2

y?

5 16 z? 3 16

(6)解析:年龄在 ? 20, 60 ? 之间的人所占频率为: ? 0.018 ? 0.011? ? 20 ? 0.58 ,所以年龄在 ? 20, 60 ? 之 间的人大约有 0.58 ? 300 ? 174 万,故选 C
2 (7)解析: y ? x ? 6 x 的图象是把 y ? x ? 6 x 的图象在 x 轴下方的部分翻到上方,上方的部分保持不
2

变,如图,

y

O

2

4

6

x

由图可知,画任意一条横线,根总是关于 x ? 3 对称,从下往上移动可知:P 中所有元素的和可能是 6,9,12 ,所以选 B (8)解析:由 1 ?

tan A 2c 1 ? 和正弦定理得: cos A ? , ?A ? 60? ,又由正弦定理得: tan B b 2
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2 3 2 2 2 又∵ c ? a ,∴ ?C ? 600 ,∴ ?C ? 450 ,故选 B ? ,sin C ? 2 3 sin C 2 (9)解析:到直线 l 的距离为 3 的点的轨迹是以直线 l 为旋转轴,以 3 为半径的无限延伸的圆柱面,此处 ? 只不过把这个圆柱面与平面 ? 成 60 角摆放,用一个水平的平面去切它,不难想象,它应该是一个
椭圆,所以选 D 图为

(10) 解析: 由图分析知: 直线 x ? by ? c ? 0 经过 ? 点,所以 ?

?2 x ? y ? 7 ?2 x ? y ? 1 和? 的交点, 即经过 ? 3,1? 和 ?1, ?1? ?x ? y ? 4 ?x ? 1

?3 ? b ? c ? 0 ,∴ b ? ?1 , c ? ?2 ,故选 D ?1 ? b ? c ? 0
? ? ?

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (11)解析:∵ ( a ? b ) ? a , ∴ ( a ? b ) ? a ? 0 ? a ? a ? b ? 0 ? a ? b ? ?4 ? a ? b cos ? ? ?4
? ? ? ?2 ? ?
? ?

?

?

1 2? ? cos ? ? ? ∴ ? ? 2 3
(12)解析:由三视图知:多面体为右图所示,其表面积为:

1 1 1 S ? ? 6 ? 4 ? ? 5 ? 4 ? 2 ? ? 6 ? 4 2 ? (32 ? 12 2)cm2 2 2 2

(13)解析:画出 y ? f ( x) 与 y ? x 的图象为:

2? ? 2? ?2 2? ? 2 2? ? , ? ? ,由图知,解集为 ? ?2, ? ? ∪ ? 0, ? 3? ? 3? ?3 3? ? 3 3? ? (14)解析:对任意正整数 k ,有 f (1) ? f (2) ????????? f (k ) ? log 2 3 ? log3 4 ??? log k ?1 (k ? 2)
解出坐标为: ? , ? 和 ? ?

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lg 3 lg 4 lg(k ? 2) lg(k ? 2) ? log 2 (k ? 2) .若 k 为“好数” log 2 (k ? 2) ? Z ,从而 ,则 ? ????????? ? lg 2 lg 3 lg(k ? 1) lg 2 l ? l 必有 k ? 2 ? 2 (l ? N ) .令 1 ? 2 ? 2 ? 2012 ,解得 2 ? l ? 10 .所以 ?1, 2012? 内所有“好数”的 ?
和为 M ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2
2 3 10 2 3

?

? ?

?

?

? ?

10

? ? 2 ? 9 ? 2026 .

(15)解析:过 N 作 NP ? BB1 于点 P ,连接 MP ,可证 AA1 ? 面 MNP ∴①对 过 M 、 N 分别作 MR ? A1 B1 、 NS ? B1C1 于点 R 、 S ,则当 M 、 N 不是 AB1 、 BC1 的中点时,

A1C1 与 RS 相交;当 M 、 N 是 AB1 、 BC1 的中点时, A1C1 ∥ RS ∴ A1C1 与 MN 可以异面,也可
以平行,故②④错 由①正确知:面 MNP ∥面 A1 B1C1 D ,故③对 故选①③ 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16)解析: (Ⅰ)∵ f ( x) ? sin x ? cos x , ∴ f (? x) ? cos x ? sin x .┄┄┄┄┄1 分 又∵ f ( x) ? 2 f (? x) ,

1 .┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 3 cos 2 x ? sin x cos x cos 2 x ? sin x cos x 1 ? tan x 6 ? ∴ ? ? ;┄┄┄┄┄┄6 分 2 2 2 2 1 ? sin x 2sin x ? cos x 2 tan x ? 1 11 2 2 (Ⅱ)由题知 F ( x) ? cos x ? sin x ? 1 ? 2sin x cos x ?? ? ? F ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? F ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 .┄┄┄┄┄┄┄10 分 4? ? ?? ? ∴当 sin ? 2 x ? ? ? 1 时, F ( x) max ? 2 ? 1 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分 4? ?
∴ sin x ? cos x ? 2 ? cos x ? sin x ? 且 cos x ? 0 ? tan x ? 由?

?

? ? 3? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 8 ? 8 ? (17)解析: (Ⅰ)设通晓中文和英语的人数为 x 人,通晓中文和日语的人数为 y 人,通晓中文和韩语的
单调递增区间为 ? ? 人数为 z 人,且 x, y, z ? N ,则
?

2

? 2k? ? 2 x ?

?

4

?

?

2

? 2k? 解得,

x 1 ? ?x? y ? z ? 2 ? y 3 且 0 ? z ? 3 ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ? ? ? x ? y ? z 10
? z ? 2. 所以这组志愿者有 5 ? 3 ? 2 ? 10 人; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 (Ⅱ)设通晓中文和英语的人为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 ,甲为 A1 ,通晓中文和韩语的人为 B1 , B2 ,乙为 B1 ,则
从 这 组 志 愿 者 中 选 出 通 晓 英 语 和 韩 语 的 志 愿 者 各 1 名 的 所 有 情 况 为 : 则依题意有: ? y ? 3,

? x ? 5,

? A1 , B1 ? , ? A1 , B2 ?? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ?? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ?? A4 , B1 ? , ? A4 , B2 ?? A5 , B1 ? , ? A5 , B2 ?

共 10 个,

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10 分

同时选中甲、乙只有 ? A1 , B1 ? 1 个.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 11 分 所以甲和乙不全被选中的概率为 1 ?

1 9 ? .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 10 10
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(18) (Ⅰ)证明:由题知: AB ? 3 , BC ? 4 , CA ? 5 ,∴ AB ? BC .┄┄┄┄┄2 分 又∵ AB ? BB1 , ∴ AB ? 平面 BCC1 B1 ;┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5 分 (Ⅱ)解析:由题知:三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 ?

1 ? 3 ? 4 ?12 ? 72 .┄┄┄┄┄6 分 2 ∵ ?ABP 和 ?ACQ 都是等腰直角三角形,∴ AB ? BP ? 3 , AC ? CQ ? 7 ,┄7 分 1 1 1 ∴ VA?CQPB ? S 四边形 CQPB ? AB ? ? ? (3 ? 7) ? 4 ? 3 ? 20 .┄┄┄┄┄┄┄ 10 分 3 3 2
∴多面体 A1 B1C1 ? APQ 的体积 ? VABC ? A1B1C1

? VA?CQPB ? 72 ? 20 ? 52 .┄12 分

A B P Q

A1

A
B1

A1 B P Q C1 B1

C

C1

C

D

D1

(19)解析: (Ⅰ)由 3 ? an ?1 ? 2an ? an ?1 ? ? 2 可得: 即 ? an ?1 ? an ? ? ? an ? an ?1 ? ? 所 以 数 列

an?1 ? 2an ? an?1 ?

2 , 3

?an?1 ? an ?

2 ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 4 分 3 4 2 是 以 a2 ? a1 ? 为 首 项 , 为 公 差 的 等 差 数 列 ; 3 3

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 (Ⅱ)由(1)知 an ?1 ? an ?

4 2 2 ? (n ? 1) ? ( n ?1) ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6 分 3 3 3 2 1 于是累加求和得: an ? a1 ? (2 ? 3 ? ??? ? n) ? n(n ? 1) ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 3 3 1 1 ? ?1 ? 3? ? 所以 ? ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 an ? n n ?1? 1 1 1 1 3 5 ? ? ??? ? ? 3 ? ? ? n ? 5 ,∴最小的正整数为 n ? 6 .┄┄┄┄┄┄┄ 进而 ? a1 a2 a3 an n ?1 2
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

?c 2 ?c ? 2 ? ? ? (20)解析: (Ⅰ)由题可知: ? a ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 2 ,解得 ? ?a ? 2 2 ? ?a ? 2 2 ? 2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 4 ? b ? 2 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3 分 x2 y2 ? ? 1 ;┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 4 分 ∴椭圆 C 的方程为 8 4 (Ⅱ)假设存在椭圆上的一点 P ? x0 , y0 ? ,使得直线 PF1 , PF2 与以 Q 为圆心的圆相切,则 Q 到直线 PF1 ,

PF2 的距离相等,
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F1 ? ?2, 0 ? , F2 ? 2, 0 ? ,

PF1 : ? x0 ? 2 ? y ? y0 x ? 2 y0 ? 0 , PF2 : ? x0 ? 2 ? y ? y0 x ? 2 y0 ? 0 .

d1 ?

3 y0

? x0 ? 2?

2

? y0
2

?
2

y0

? x0 ? 2?
2

2

? y0
2

2

? d 2 ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

化简整理得: 8 x0 ? 40 x0 ? 32 ? 8 y0 ? 0 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 ∵点在椭圆上,∴ x0 ? 2 y0 ? 8 .
2

解得: x0 ? 2 或 x0 ? 8 (舍) ,

x0 ? 2 时, y0 ? ? 2 , r ? 1 .

∴椭圆上存在点 P ,其坐标为 2,

?

2 或 2, ? 2 ,使得直线 PF1 , PF2 与以 Q 为圆心的圆

? ?

?

? y 2 ? 1 相切.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13 分 (21)解析: (Ⅰ)令 h( x) ? f ( x) ? x ,则 h?( x) ? f ?( x) ? 1 ? 0 ,即 h( x ) 在区间 (1, ??) 上单调递减 所以,使 h( x) ? 0 ,即 f ( x) ? x ? 0 成立的 x 至多有一解,┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 又由题设①知方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根, 所以,方程 f ( x) ? x ? 0 只有一个实数根;┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 1 1 1 (Ⅱ)由题意易知, g ?( x) ? ? ? (0, ) ? (0,1) ,满足条件②┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 2 2x 2 x ln x 令 F ( x) ? g ( x) ? x ? ? ? ? 3( x ? 1) , 2 2 e 5 e2 2 则 F (e) ? ? ? ? 0, F (e ) ? ? ? 2 ? 0 ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 2 2 2 2 2 又 F ( x) 在区间 [e, e ] 上连续,所以 F ( x) 在 [e, e ] 上存在零点 x0 ,
2

? x ? 1?

即方程 g ( x) ? x ? 0 有实数根 x0 ? [e, e ] ,故 g ( x) 满足条件①,
2

综上可知, g ( x) ? M ;┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知: g (n) ? g (m) ?

1 1 (n ? m) ? (ln n ? ln m) , 2 2 1 1 ), 而 (n ? m) g ?( x0 ) ? (n ? m)( ? 2 2 x0 ln n ? ln m 1 ? ,┄┄11 分 所以原式等价于 n?m x0 该等式说明函数 y ? ln x( x ? 1) 上 任意两点 A(m, ln m) 和 B(n,ln n) 的连线段 AB (如图所示) ,在曲线 y ? ln x(m ? x ? n) 上都 一定存在一点 P( x0 , ln x0 ) ,使得该点 处的切 线平行于 AB ,根据 y ? ln x( x ? 1) 图象
知该等式一定成立. ┄┄┄┄┄14 分

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