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江西省上饶县中学2013届高三第二次月考数学(理)试题(普通班)


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上饶县中学 2013 届高三第二次月考 数学(理)试题(普通班)
一 :选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、设集合 A ? ? x x ? 3? , B ? ? x x ? 1 ? 0 ? ,则 A ? B ? ( ? ? ? x?4 ?

B. ? 3, 4 ? C. ? ?2,1? 3x 2 2、函数 f ( x) ? ? lg(3x ? 1) 的定义域是( ) 1? x A. ? ? 1 , ?? ? B. ? ? 1 ,1 ? C. ? ? 1 , 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3? ? 3 ? ? 3 ? A. ? 3、若命题 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则( A. ?p : ?x ? R,sin x ? 1 C. ?p : ?x ? R,sin x ? 1 4、已知 ? an ? 是等比数列, a2 ? 2, a5 ? A. ? 1 B. ?2
? 1 ? 1 ? 3

) D. ? 4, ?? ?

D. ? ??, ? 1 ? ? ? 3? ?

) B. ?p : ?x ? R,sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R,sin x ? 1

1 , 则公比 q =( ) 4
C. 2 D. 1
2

2

5、已知 a ? ? 3 ? 3 , b ? ? 3 ? 4 , c ? ? 3 ? 4 ,则 a, b, c 的大小关系是( ? ? ? ? ? ?
?4? ?4? ?2?



A. c ? a ? b C. b ? a ? c

B. a ? b ? c D. c ? b ? a

A

??? ? ???? ? ??? ? ? ???? 6、如图,已知 AB ? a, AC ? b, BD ? 3DC ,
用 a, b 表示 AD ,则 AD =( A. a ?

? ?

????

????

)

3? 1? 3? B. a ? b b 4 4 4 3 7、曲线 y ? x ? 2 x ? 1 在点 (1, 0) 处的切线方程为( ) A. y ? x ? 1 B. y ? ? x ? 1 C. y ? 2 x ? 2 ? ? ? ? 8、已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x ? 1, ? x), 且 a ? b ,则 x 等于(
A.1 B.2 C.

?

B 1? 1? C. a ? b 4 4

D
D.

C
3? 1? a? b 4 4

D. y ? ?2 x ? 2 ) D.0

9、 为了得到函数 f ( x) ? 2sin( ? 有的点( )

x ? 只需把函数 f ( x) ? 2sin x, x ? R 的图象上所 ), x ? R 的图象, 3 6

2 3

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1 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3 6 1 ? B.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3 6 ? C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? D.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6
A.向左平移 10 、 若 函 数 y ? f ( x) 的 导 函 数 在 区 间 ? a, b ? (a ? b) 上 是 增 函 数 , 则 函 数 y ? f ( x) 在 区 间

? a, b? ( a?

b)上的图象可能是(



A 二、填空题

B

C

D

11、已知数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 1, n ? N ,那么 a5 ?
2 *

? 12、若 (sin ? ? cos ? ) 2 ? 2, ? ? ? 0, ? , 则 tan ? ? ? ? ? 2?
13、函数 f ( x) ? ? f ( x ? 1) ,若 f (?1) ? 2 ,则 f 14、若幂函数 f ( x ) ? m ? 3m ? 3 x
2

? f (1) ? ?


?

?

m2 ? m ? 2

在 ? 0, ?? ? 上单调递减,则实数 m 的值等于

15 、 设 M 是 由 满 足 下 列 性 质 的 函 数 f ( x) 构 成 的 集 合 : 在 定 义 域 内 存 在 x0 , 使 得

f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) 成 立 。 已 知 函 数 ① f ( x) ?
④ f ( x) ? cos ? x ,其中属于集合 M 的函数是

1 2 x ; ② f ( x) ? 2 ; ③ f ( x) ? lg( x ? 2) ; x

(写出所有满足要求的函数的序号) 。

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上饶县中学高三年级第二次月考 数 学 答 题 卡(理普)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)。 题 号 答 案 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)。 11、 13、 12、 14、 15、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 座 位 号

三、解答题(第 16、17、18、19 题各 12 分,第 20 题 13 分,第 21 题 14 分,共 75 分)。 16、已知函数 f ( x) ? 2cos ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期是
2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合。

? 2

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17、已知 ? an ? 是等差数列, a2 ? 5, a5 ? 14 (Ⅰ)求 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? 155 ,求 n 的值。

18、已知 a, b, c 分别是 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边, 且 sin A ? sin C ? sin B ? sin A sin C
2 2 2

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 c ? 3a ,求 tan A

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19、已知数列 ? an ? 的首项 a1 ?

2an 2 , an ?1 ? , n ? N *, 3 an ? 1

(Ⅰ)证明:数列 ? 1 ? 1? 是等比数列; ? ?
? an ?

(Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 S n ? ? ? an ?

20、已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? 1 ? a ln x, a ? 0 x

2 (Ⅰ) 当 a ? 3 时求 f ( x) 在区间 ?1, e ? 上的值域; ? ?

(Ⅱ) 讨论 f ( x) 的单调性

21、设 f ( x) ? e (ax ? x ? 1) ,且该函数曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行。
x 2

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)证明:当 ? ? ?0, ? ? 时, f (cos ? ) ? f (sin ? ) ? 2 。
? ? 2? ?

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三、解答题

17、解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,

18、解: (Ⅰ)由已知得 a2 ? c2 ? b2 ? ac
a 2 ? c2 ? b2 1 ? 所以 cos B ? 2ac 2
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??2 分 ??4 分

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则B?

?
3

??6 分

19、解(Ⅰ)由 an ?1 ? 所以 则?

2an a ?1 1 1 1 ? n ? ? , n ? N * ??2 分 , n ? N *得 an ?1 2an 2an 2 an ? 1

1 1 1 1 1 ?1 ? ? ? ( ? 1), n ? N * an ?1 2an 2 2 an

?1 ? 1 1 ? 1? 是以 为首项, 为公比的等比数列 2 2 ? an ?

??4 分

20、 解: (Ⅰ)当 a ? 3 时 f ' ( x) ? 所以
x
f ' ( x)

x 2 ? 3x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ? ,??2 分 x2 x2

1

?1, 2 ?

2

? 2, e ?
2

e2

0

?

0

?
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f ( x)

0

2 ? 3ln 2

e2 ?

2 ?5 e2

??4 分

当 ? ? 0即 a ? 2 2 时
x
f ' ( x)
? a ? a2 ? 8 ? ? 0, ? ? ? 2 ? ?

? a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ? , ? ? ? ? 2 2 ? ?

? a ? a2 ? 8 ? , ?? ? ? ? ? 2 ? ?

+

-

+

f ( x)

?

?
? a ? a2 ? 8 ? ? 0, ? ? ? 2 ? ?

?

? a ? a2 ? 8 ? , ?? ? ? ? ? 2 ? ?

所 以 f ( x) 的 增 区 间 为
? a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ? , ? ? ? ? 2 2 ? ?

; 减 区 间 为

??13 分

21、解(Ⅰ) f ' ( x) ? e x (ax 2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1) ,由条件知, f ' (1) ? 0, 故 a ? 3 ? 2a ? 0 则
a ? ?1

????2 分 ????5 分

(Ⅱ)于是 f ' ( x) ? e x (? x2 ? x ? 2) ? ?e x ( x ? 2)( x ? 1) 。

故当 x ? ? ??, ?2 ? ? ?1, ?? ? 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? (?2,1) 时, f ' ( x) ? 0 。 从而 f ( x) 在 ? ??, ?2 ? , ?1, ?? ? 上单调递减,在 (?2,1) 上单调递增。??8 分 (Ⅲ) (Ⅱ) f ( x) 在 ? 0,1? 上单调递增, f ( x) 在 ? 0,1? 上的最大值为 f (1) ? e, 由 知 故
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最小值为 f (0) ? 1,

????10 分

从而对任意 x1 , x2 ? ? 0,1? 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 ? 2 ,
? 而当 ? ? ?0, ? 时, cos ? ,sin ? ? ?0,1? 从而 f (cos ? ) ? f (sin ? ) ? 2 ??14 分 ? ?
? 2?

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