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专题八 第1讲 函数与方程思想


2015 届高三直升班第二轮复习 专题八 第 1 讲 函数与方程思想
1.函数与方程思想的含义

数学思想方法

(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本 质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题 获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等. (2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程, 通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程的教学是 对方程概念的本质认识, 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题. 方程思 想是动中求静,研究运动中的等量关系. 2.和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化,对函数 y=f(x) ,当 y>0 时,就化为不等式 f(x)>0,借助于 函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2) 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数, 用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数关系化为未知量的表 达式,那么问题就能化为未知量的方程来解. (4)解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才 能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的 方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.

热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 例1 (1)f(x)=ax3-3x+1 对于 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a=________.

(2)设 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x) g′(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是__________. 答案 (1)4 (2) (-∞,-3)∪(0,3) 解析 (1)若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立; 3 1 当 x>0 即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥ 2- 3. x x 3?1-2x? 1? 3 1 ?1 ? 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= ,所以 g(x)在区间? ?0,2?上单调递增,在区间?2,1? x x x4 上单调递减, 1? 因此 g(x)max=g? ?2?=4,从而 a≥4; 当 x<0 即 x∈[-1,0)时, 3 1 f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≤ 2- 3, x x 3 1 设 g(x)= 2- 3,且 g(x)在区间[-1,0)上单调递增, x x 因此 g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4,综上 a=4. (2)设 F(x)=f(x)g(x) ,由于 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,得 F (-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x) ,即 F(x)在 R 上 为奇函数. 又当 x<0 时,F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 所以 x<0 时,F(x)为增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同, 所以 x>0 时,F(x)也是增函数. 因为 F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3) . 所以,由图可知 F(x)<0 的解集是(-∞,-3)∪(0,3) . 思维升华 (1)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数 的图象和性质解决问题; (2)函数 f(x)>0 或 f(x)<0 恒成立,一般可转化为 f(x)min>0 或 f (x)max<0;已知恒成立求参数范围可先分离参数,然后利用函数值域求解.

(1)若 2x+5y≤2 y+5 x,则有(
- -



A.x+y≥0 C.x-y≤0

B.x+y≤0 D.x-y≥0

1 (2)已知函数 f(x)= x4-2x3+3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 2 ( ) 3 B.m> 2 3 D.m< 2

3 A.m≥ 2 3 C.m≤ 2 答案 (1)B (2)A

解析 (1)把不等式变形为 2x-5 x≤2 y-5y,构造函数 y=2x-5 x,其为 R 上的增函数,所以
- - -

有 x≤-y. 1 (2)因为函数 f(x)= x4-2x3+3m.所以 f′(x)=2x3-6x2,令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=3, 2 27 经检验知 x=3 是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为 f(3)=3m- ,不等式 f(x)+ 2 9≥0 恒成立,即 f(x)≥-9 恒成立, 27 3 所以 3m- ≥-9,解得 m≥ ,故选 A. 2 2 热点二 函数与方程思想在数列中的应用 例2 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.

(1)若 a1=2,且 a2,a3,a4+1 成等比数列,求数列{an}的通项公式 an; 1 1 1 (2)在(1)的条件下,数列{an}的前 n 项和为 Sn,设 bn= + +…+ ,若对任意的 n S2n Sn+1 Sn+2 ∈N*,不等式 bn≤k 恒成立,求实数 k 的最小值. 解 (1)因为 a1=2,a2 (a4+1) , 3=a2·

又因为{an}是正项等差数列,故 d≥0, 所以(2+2d)2=(2+d) (3+3d) , 得 d=2 或 d=-1(舍去) , 所以数列{an}的通项公式 an=2n. (2)因为 Sn=n(n+1) , 1 1 1 bn= + +…+ S2n Sn+1 Sn+2

= = =

1 1 1 + +…+ ?n+1??n+2? ?n+2??n+3? 2n?2n+1? 1 1 1 1 1 1 - + - +…+ - 2n 2n+1 n+1 n+2 n+2 n+3 1 1 n - = = n+1 2n+1 2n2+3n+1 1 , 1 2n+ +3 n

1 令 f(x)=2x+ (x≥1) , x 1 则 f′(x)=2- 2,当 x≥1 时,f′(x)>0 恒成立, x 所以 f(x)在[1,+∞)上是增函数, 故当 x=1 时,[f(x)]min=f(1)=3, 1 即当 n=1 时, (bn)max= , 6 要使对任意的正整数 n,不等式 bn≤k 恒成立, 1 则须使 k≥(bn)max= , 6 1 所以实数 k 的最小值为 . 6 思维升华 (1)等差(比)数列中各有 5 个基本量,建立方程组可“知三求二” ; (2) 数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数, 数列的通项公式即为相应的解析式, 因此在解决数列问题时,应注意利用函数的思想求解. (1) (2014· 江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是________. 1 (2)已知函数 f(x)=( )x,等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)-c,则 an 的最小值为( 3 A.-1 2 C. 3 答案 (1)4 (2)D 解析 (1)因为 a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由 a8=a6+2a4 得 a2q6=a2q4+2a2q2,消去 a2q2,得到关于 q2 的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得 q2=2,a6=a2q4=1×22=4. 1 (2)由题设,得 a1=f(1)-c= -c; 3 2 a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=- ; 9 B.1 2 D.- 3 )

2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=- . 27 又数列{an}是等比数列, 2 1 2 ∴(- )2=( -c)×(- ) ,∴c=1. 9 3 27 a3 1 又∵公比 q= = , a2 3 2 1 - 1 ∴an=- ( )n 1=-2( )n,n∈N*. 3 3 3 且数列 {an}是递增数列, 2 ∴n=1 时,an 有最小值 a1=- . 3 热点三 函数与方程思想在几何中的应用 例3 x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0) ,离心率为 .直线 y=k(x-1) a b 2

与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为 10 时,求 k 的值. 3



a=2, ? ?c 2 (1)由题意得? = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2

解得 b= 2.

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 y=k?x-1?, ? ?2 2 (2)由?x y 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. ? 4 + 2 =1 ? 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 2k2-4 4k2 则 x1+x2= . 2,x1x2= 1+2k 1+2k2 所以|MN|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 2 ?1+k2??4+6k2? . 1+2k2

又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离

d=

|k| , 1+k2

所以△AMN 的面积为 |k| 4+6k2 1 S= |MN|· d= . 2 1+2k2 由 |k| 4+6k2 10 = ,解得 k=± 1. 3 1+2k2

所以,k 的值为 1 或-1. 思维升华 几何最值是高考的热点, 在圆锥曲线的综合问题中经常出现, 求解此类问题的一般思 路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的 函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. y2 (1) (2014· 安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 b 点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点. 若|AF1|=3|F1B|, AF2⊥x 轴, 则椭圆 E 的方程为__________. x2 y2 (2)若 a>1,则双曲线 2- =1 的离心率 e 的取值范围是( a ?a+1?2 A. (1, 2) C.[ 2, 5] B. ( 2, 5) D. ( 3, 5) )

3 答案 (1)x2+ y2=1 (2)B 2 解析 (1)设点 B 的坐标为(x0,y0) , y2 ∵x2+ 2=1,且 0<b<1, b ∴F1(- 1-b2,0) ,F2( 1-b2,0) . ∵AF2⊥x 轴,∴A( 1-b2,b2) . → → ∵|AF1|=3|F1B|,∴AF1=3F1B, ∴(-2 1-b2,-b2)=3(x0+ 1-b2,y0) . 5 b2 ∴x0=- 1-b2,y0=- . 3 3 5 b2 - 1-b2,- ?. ∴点 B 的坐标为? 3? ? 3 5 b2 y2 - 1-b2,- ?代入 x2+ 2=1, 将点 B? 3? ? 3 b 2 得 b2= . 3

3 ∴椭圆 E 的方程为 x2+ y2=1. 2
2 2 c 2 a +?a+1? 1 (2)e =( ) = =1+(1+ )2, a a2 a 2

1 因为当 a>1 时,0< <1,所以 2<e2<5, a 即 2<e< 5.

1.在高中数学的各个部分,都有一些公式和定理,这些公式和定理本身就是一个方程,如等差 数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等,当题目与这些问题有关时,就需要根据这 些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量. 2.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系,通过变量之间的关系 探究问题的答案,这就需要使用函数思想. 3.借助有关函数的性质,一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取 值范围等问题,二是在问题的研究中,可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解. 4.许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这些参变量中必有一个处于突出的主导地 位,把这个参变量称为主元,构造出关于主元的方程,主元思想有利于回避多元的困扰,解方程 的实质就是分离参变量.

真题感悟

1 1 1 1. (2014· 辽宁)已知 a=2- ,b=log2 ,c= log 1 ,则( 3 3 3
2



A.a>b>c C.c>a>b 答案 C 解析 0<a= 2 c= log 1
2
? 1 3

B.a>c>b D.c>b>a

1 <20=1,b=log2 <log21=0, 3

1 1 > log 1 =1, 3 2 2

即 0<a<1,b<0,c>1,所以 c>a>b.

x2 2. (2014· 福建)设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 两点间 10 的最大距离是( A.5 2 C.7+ 2 答案 D 解析 如图所示,设以(0,6)为圆心,以 r 为半径的圆的方程为 x2 x2 +(y-6)2=r2(r>0) ,与椭圆方程 +y2=1 联立得方程组,消掉 10 x2 得 9y2+12y+r2-46=0. 令 Δ=122-4×9(r2-46)=0, 解得 r2=50, 即 r=5 2. 由题意易知 P,Q 两点间的最大距离为 r+ 2=6 2, 故选 D. b 3. (2014· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,-5) , x 且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是______. 答案 -3 b b 解析 y=ax2+ 的导数为 y′=2ax- 2, x x 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . 2 ) B. 46+ 2 D.6 2

?4a+2=-5, 由题意得? b 7 ?4a-4=-2,

b

?a=-1, ? 解得? 则 a+b=-3. ? ?b=-2,

4. (2014· 福建)要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价 是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是________. (单位:元) 答案 160 4 解析 设该长方体容器的长为 x m,则宽为 m.又设该容器的造价为 y 元,则 y=20×4+2(x x 4 4 4 + )×10,即 y=80+20(x+ ) (x>0) .因为 x+ ≥2 x x x 取“=” ) , 4 4 x· =4(当且仅当 x= ,即 x=2 时 x x

所以 ymin=80+20×4=160(元) . 押题精练 1.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解 集为( ) B. (-1,+∞) D. (-∞,+∞)

A. (-1,1) C. (-∞,-1) 答案 B 解析

f′(x)>2 转化为 f′(x)-2>0,构造函数 F(x)=f(x)-2x,

得 F(x)在 R 上是增函数. 又 F(-1)=f(-1)-2×(-1)=4,f(x)>2x+4, 即 F(x)>4=F(-1) ,所以 x>-1. 2.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M、N,则当|MN|达到最小时 t 的值为( )

1 5 2 A.1 B. C. D. 2 2 2 答案 D 解析 可知|MN|=f(x)-g(x)=x2-ln x.
2 1 2x -1 令 F(x)=x2-ln x,F′(x)=2x- = , x x

所以当 0<x< 当 x>

2 时,F′(x)<0,F(x)单调递减; 2

2 时,F′(x)>0,F(x)单调递增, 2 2 时,F(x)有最小值,即|MN|达到最小. 2 )

故当 x=t=

3. (2014· 辽宁) 当 x∈[-2,1]时, 不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 ( A.[-5,-3] C.[-6,-2] 答案 C 解析 当 x=0 时,ax3-x2+4x+3≥0 变为 3≥0 恒成立,即 a∈R. x2-4x-3 x2-4x-3? 当 x∈(0,1]时,ax3≥x2-4x-3,a≥ ,所以 a≥? 3 x x3 ? ?max. x2-4x-3 设 φ(x)= , x3 9 B.[-6,- ] 8 D.[-4,-3]

?2x-4?x3-?x2-4x-3?3x2 x2-8x-9 ?x-9??x+1? 所以 φ′(x)= =- =- >0, x6 x4 x4 所以 φ(x)在(0,1]上递增,φ(x)max=φ(1)=-6.所以 a≥-6. x2-4x-3 x2-4x-3? 当 x∈[-2,0)时,a≤ ,所以 a≤? 3 x x3 ? ?min. x2-4x-3 ?x-9??x+1? 仍设 φ(x)= ,φ′(x)=- . x3 x4 当 x∈[-2,-1)时,φ′(x)<0,φ(x)在[-2,-1)上单调递减, 当 x∈(-1,0)时,φ′(x)>0,φ(x)在(-1,0)上单调递增. 所以当 x=-1 时,φ(x)有极小值,即为最小值. 1+4-3 而 φ(x)min=φ(-1)= =-2,所以 a≤-2.综上知-6≤a≤-2. -1 4.若关于 x 的方程(2-2 答案 [-1,2)
-|x-2| -|x-2|

)2=2+a 有实根,则实数 a 的取值范围是________.

解析 令 f(x)=(2-2

)2.要使 f(x)=2+a 有实根,只需 2+a 是 f(x)的值域内的值.∵

f(x)的值域为[1,4) ,∴1≤a+2<4,∴-1≤a<2. 5.已知函数 f(x)=ax2+ax 和 g(x)=x-a,其中 a∈R,且 a≠0.若函数 f(x)与 g(x)的 图象相交于不同的两点 A、B,O 为坐标原点,试求△OAB 的面积 S 的最大值. 解 依题意,f(x)=g(x) ,即 ax2+ax=x-a,

整理得 ax2+(a-1)x+a=0,① ∵a≠0, 函数 f(x)与 g(x)的图象相交于不同的两点 A、B, ∴Δ>0,即 Δ=(a-1)2-4a2=-3a2-2a+1=(3a-1)· (-a-1)>0, 1 ∴-1<a< 且 a≠0.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 3 且 x1<x2, a-1 由①得 x1x2=1>0,x1+x2=- . a |-a| 设点 O 到直线 g(x)=x-a 的距离为 d,则 d= , 2 |-a| 1 1 ∴S= 1+12|x1-x2|· = -3a2-2a+1 2 2 2 = 1 2 1?2 4 1 1 3 -3? ?a+3? +3.∵-1<a<3且 a≠0,∴当 a=-3时,S 取得最大值 3 .

即△OAB 的面积 S 的最大值为

3 . 3

x2 y2 6.如图,已知椭圆 G: 2+ 2 =1(a>1) ,⊙M: (x+1)2+y2=1,P 为椭 a a -1 圆 G 上一点,过 P 作⊙M 的两条切线 PE、PF,E、F 分别为切点. → (1)求 t=|PM|的取值范围; → → (2)把PE· PF表示成 t 的函数 f(t) ,并求出 f(t)的最大值、最小值. 解 x2 x2 y2 0 0 0 2 2 ? 1 - (1)设 P(x0,y0) ,则 2+ 2 =1(a>1) ,∴y0=(a -1)? a2? ?, a a -1

2 → 2 2 ? x0? ?1 ?2 ∴t2=|PM|2=(x0+1)2+y2 0=(x0+1) +(a -1) 1-a2 = ax0+a , ? ? ? ?

1 ? ∴t=? ?ax0+a?. ∵-a≤x0≤a,∴a-1≤t≤a+1(a>1) . → → → → → (2)∵PE· PF=|PE||PF|cos∠EPF=|PE|2(2cos2∠EPM-1)

? → 2 1? ? → =(|PM|2-1)?2?|PM| - ? ? |PM|2 -1?
=(t2-1)? 2?t2-1? ? 2 2 ? t2 -1?=t +t2-3,

2 ∴f(t)=t2+ 2-3(a-1≤t≤a+1) . t 2 4 对于函数 f(t)=t2+ 2-3(t>0) ,显然在 t∈(0, 2]时,f(t)单调递减, t 2 4 在 t∈[ 2,+∞)时,f(t)单调递增.∴对于函数 f(t)=t2+ 2-3(a-1≤t≤a+1) , t 2 4 4 当 a> 2+1,即 a-1> 2时,[f(t)]max=f(a+1)=a2+2a-2+ , ?a+1?2 2 [f(t)]min=f(a-1)=a2-2a-2+ ; ?a-1?2 2 4 当 1+ 2≤a≤ 2+1 时,[f(t)]max=f(a+1)=a2+2a-2+ , ?a+1?2 4 [f(t)]min=f( 2)=2 2-3; 当 1<a< 2 1+ 2时,[f(t)]max=f(a-1)=a2-2a-2+ , ?a-1?2

4 [f(t)]min=f( 2)=2 2-3.

热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 例1 (1)f(x)=ax3-3x+1 对于 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a=________.

(2)设 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x) g′(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是__________.

热点二 函数与方程思想在数列中的应用 例2 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.

(1)若 a1=2,且 a2,a3,a4+1 成等比数列,求数列{an}的通项公式 an; 1 1 1 (2)在(1)的条件下,数列{an}的前 n 项和为 Sn,设 bn= + +…+ ,若对任意的 n S2n Sn+1 Sn+2

∈N*,不等式 bn≤k 恒成立,求实数 k 的最小值. 热点三 函数与方程思想在几何中的应用 例3 x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0) ,离心率为 .直线 y=k(x-1) a b 2

与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为 10 时,求 k 的值. 3

y2 (1) (2014· 安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过点 F1 的直线 b 交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为__________. x2 y2 (2)若 a>1,则双曲线 2- =1 的离心率 e 的取值范围是( a ?a+1?2 A. (1, 2) C.[ 2, 5] B. ( 2, 5) D. ( 3, 5) )

函数与方程思想 1 1 1 1. (2014· 辽宁)已知 a=2- ,b=log2 ,c= log 1 ,则 3 3 2 3
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b
2

第1讲

( D.c>b>a



x 2. (2014· 福建)设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 两点间 10 的最大距离是 A.5 2 B. 46+ 2 C.7+ 2 D.6 2 ( )

3.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解 集为 A. (-1,1) B. (-1,+∞) C. (-∞,-1) ( )

D. (-∞,+∞)

4.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M、N,则当|MN|达到最小时

t 的值为 A.1 1 B. 2 C. 5 2 D. 2 2





5. (2014· 辽宁) 当 x∈[-2,1]时, 不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 ( A.[-5,-3] 9 B.[-6,- ] 8 C.[-6,-2] D.[-4,-3]



b 6. (2014· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,-5) , x 且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是______. 7. (2014· 福建)要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价 是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是________. (单位:元)
-|x-2|

8.若关于 x 的方程(2-2

)2=2+a 有实根,则实数 a 的取值范围是________.

9.已知函数 f(x)=ax2+ax 和 g(x)=x-a,其中 a∈R,且 a≠0.若函数 f(x)与 g(x)的 图象相交于不同的两点 A、B,O 为坐标原点,试求△OAB 的面积 S 的最大值.

x2 y2 6.如图,已知椭圆 G: 2+ 2 =1(a>1) ,⊙M: (x+1)2+y2=1, a a -1 P 为椭圆 G 上一点,过 P 作⊙M 的两条切线 PE、PF,E、F 分别为切 点. → (1)求 t=|PM|的取值范围; → → (2)把PE· PF表示成 t 的函数 f(t) ,并求出 f(t)的最大值、最小值.

2015 届高三直升班第二轮复习 专题八 第 2 讲 函数与方程思想
1.函数与方程思想的含义

数学思想方法

(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本 质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题 获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等. (2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程, 通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程的教学是 对方程概念的本质认识, 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题. 方程思 想是动中求静,研究运动中的等量关系. 2.和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化,对函数 y=f(x) ,当 y>0 时,就化为不等式 f(x)>0,借助于 函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2) 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数, 用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数关系化为未知量的表 达式,那么问题就能化为未知量的方程来解. (4)解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才 能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的 方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.



已知 a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc-1=0,求 a 的取值范围.

解 方法一 (方程思想):因为 b+c=-a,bc=1-a. 所以 b,c 是方程 x2+ax+1-a=0 的两根, 所以 Δ=a2-4(1-a)≥0,即 Δ=a2+4a-4≥0, 解得 a≥-2+2 2或 a≤-2-2 2. 方法二 (函数思想) 1+c 2 可令 f(c)= -c=-2+(1-c)+ , 1-c 1-c

当 1-c>0 时,f(c)≥-2+2 当 1-c<0 时,

2 (1-c) =-2+2 2; 1-c

2 (c-1) =-2-2 2. c-1 所以 a 的范围是 a≥-2+2 2或 a≤-2-2 2. f(c)≤-2-2

题型一 例2

函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用

1 设函数 f(x)=x- ,对任意 x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0 恒成立,则实数 x

m 的取值范围是_________.
1 解析 ∵f(x)=x- ,x∈[1,+∞), x f(mx)+mf(x)<0, 1 1 ∴mx- +m(x- )<0, mx x 1 m ∴2mx- - <0, mx x 即 mx[2m2x2-(1+m2)]<0. 由 f(mx)+mf(x)<0 在 x∈[1,+∞)上恒成立知, mx[2m2x2-(1+m2)]<0 在 x∈[1,+∞)上恒成立. ∴m≠0. 当 m<0 时,只要 2m2x2-(1+m2)>0 恒成立, 1+m2 即 x2> , 2m2 1+m2 ∵x∈[1,+∞),∴ <1, 2m2 ∴m2>1,∴m<-1. 当 m>0 时,只要 2m2x2-(1+m2)<0 恒成立, 1+m2 即 x2< . 2m2 2 2 1+m ∵x∈[1,+∞),∴x < 不恒成立. 2m2 综上,实数 m 的取值范围为(-∞,-1). 例3 对于满足 0≤p≤4 的所有实数 p, 使不等式 x +px>4x+p-3 成立的 x 的取值范围是______。
2

题型二

函数与方程思想在方程问题中的应用 π 例 4 如果方程 cos2x-sin x+a=0 在(0, ]上有解,求 a 的取值范围. 2 解 方法一 把方程变形为 a=-cos2x+sin x. π 设 f(x)=-cos2x+sin x(x∈ (0, ]). 2 显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时,a=f(x)有解. 1 5 ∵ f(x)=-(1-sin2x)+sin x=(sin x+ )2- , 2 4 π 且由 x∈ (0, ]知 sin x∈ (0,1]. 2 易求得 f(x)的值域为(-1,1]. 故 a 的取值范围是(-1,1]. π 方法二 令 t=sin x,由 x∈ (0, ],可得 t∈ (0,1]. 2 将方程变为 t2+t-1-a=0. 依题意,该方程在(0,1]上有解. 设 f(t)=t2+t-1-a. 1 其图象是开口向上的抛物线,对称轴 t=- , 2 如图所示. ?f(0)<0 因此 f(t)=0 在(0,1]上有解等价于? , ?f(1)≥0
? ?-1-a<0 即? ,∴ -1<a≤1.故 a 的取值范围是(-1,1]. ?1-a≥0 ? π 方法二 令 t=sin x,由 x∈ (0, ],可得 t∈ (0,1]. 2 将方程变为 t2+t-1-a=0. 依题意,该方程在(0,1]上有解. 设 f(t)=t2+t-1-a. 1 其图象是开口向上的抛物线,对称轴 t=- , 2 如图所示. ?f(0)<0 因此 f(t)=0 在(0,1]上有解等价于? , ?f(1)≥0 ? ?-1-a<0 即? ,∴ -1<a≤1.故 a 的取值范围是(-1,1]. ?1-a≥0 ?

例5

若关于 x 的方程 9x+(4+a)· 3x+4=0 有大于 1 的解,则实数 a 的取值范围是( 25 A.a<- 3 13 C.a<- 3 4 3x+ x?, [解析] 由原方程得 4+a=-? 3? ? 4 4 令 f(x)=3x+ x,取 t=3x,则 g(t)=t+ , 3 t ∵g(t)在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增, 而 x>1,∴t>3,∴g(t)>g(3)= 4? 13 x ∴-? ?3 +3x?<- 3 , 13 25 即 4+a<- ,∴a<- . 3 3 13 , 3 B.a≤-8 D.a≤-4

)

例6

已知函数 f(x)=2cos2x+cos x-1,g(x)=cos2x+a(cos x+1)-cos x-3.若 y=f(x)与 y=g(x)

的图象在(0,π)内至少有一个公共点.试求 a 的取值范围.
?y=f(x) ? y=f(x)与 y=g(x)的图象在区间(0, π)内至少有一个公共点, 即? 有解, 即令 f(x)=g(x), ?y=g(x) ? cos2x+a(1+cos x)-cos x-3=2cos2x+cos x-1, a(1+cos x)=(cos x+1)2+1, ∵ x∈ (0,π),∴ 0<1+cos x<2, 1 ∴ a=1+cos x+ ≥2. 1+cos x 1 当且仅当 1+cos x= ,即 cos x=0 时“=”成立. 1+cos x



题型三

函数与方程思想在不等式问题中的应用

例7

已知 f(t)=log2t,t∈ [ 2,8],对于 f(t)值域内的所有的实数 m,不等式 x2+mx+4>2m+4x

恒成立,求 x 的取值范围. 解

?1,3?,从而 m∈ ?1,3?, ∵ t∈ [ 2,8],∴ f(t)∈ ?2 ? ?2 ?

原题可转化为 m(x-2)+(x-2)2>0 恒成立. 当 x=2 时,不等式不成立.∴ x≠2, 令 g(m)=m(x-2)+(x-2)2 为 m 的一次函数. ?1,3?上恒大于 0. 问题转化为 g(m)在 m∈ ?2 ? ?g?1?>0, ? ? ?2? 解得 x>2 或 x<-1. ?g(3)>0. ? 故 x 的取值范围是(-∞,-1)∪ (2,+∞).

1 1 1 求自然数 a 的最大值,使不等式 + +…+ >a-7 对一切自然数 n 都成立. n+1 n+2 3n+1 1 1 1 解 令 f(n)= + +…+ (n∈ N). n+1 n+2 3n+1 对任意的 n∈ N, 1 1 1 1 2 f(n+1)-f(n)= + + - = >0, 3n+2 3n+3 3n+4 n+1 3(n+1)(3n+2)(3n+4) 所以 f(n)在 N 上是增函数. 13 又 f(1)= ,f(0)=1,对一切自然数 n,f(n)>a-7 都成立的充要条件是 1>a-7, 12 所以 a<8,故所求自然数 a 的最大值是 7. 例8

例9 解

若 a、b 是正数,且满足 ab=a+b+3,求 ab 的取值范围.

方法一 (看成函数的值域)∵ ab=a+b+3, a+3 a+3 ∴ a≠1,∴ b= ,而 b>0,∴ >0, a-1 a-1 即 a>1 或 a<-3,又 a>0, ∴ a>1,故 a-1>0. a+3 (a-1)2+5(a-1)+4 ∴ ab=a· = a-1 a- 1 4 =(a-1)+ +5≥9. a-1 4 当且仅当 a-1= ,即 a=3 时取等号. a-1 4 又 a>3 时,(a-1)+ +5 是关于 a 的单调增函数. a-1 ∴ ab 的取值范围是[9,+∞). 方法二 (看成不等式的解集)∵ a,b 为正数, ∴ a+b≥2 ab,又 ab=a+b+3,∴ ab≥2 ab+3. 2 即( ab) -2 ab-3≥0, 解得 ab≥3 或 ab≤-1(舍去),∴ ab≥9. ∴ ab 的取值范围是[9,+∞). 方法三 若设 ab=t,则 a+b=t-3, ∴ a,b 可看成方程 x2-(t-3)x+t=0 的两个正根. Δ=(t-3) -4t≥0 ? ? 从而有?a+b=t-3>0 ? ?ab=t>0
2

t≤1或t≥9 ? ? ,即?t>3 , ? ?t>0

解得 t≥9,即 ab≥9.∴ ab 的取值范围是[9,+∞).

题型四

函数与方程思想在解决优化问题中的应用

例 10

三棱锥 S—ABC,SA=x,其余的所有棱长均为 1,它的体积为 V.

(1)求 V=f(x)的解析表达式,并求此函数的定义域;

(2)当 x 为何值时,V 有最大值?并求此最大值. 解 (1)如图,取 BC 中点 D,连结 SD、AD,则 SD⊥ BC,AD⊥ BC, ∴ BC⊥ 平面 SAD. 作 DE⊥ SA 于 E, 3 由于 SD=AD= , 2 则 E 是 SA 的中点,

∴ DE=

? 3?2-?x?2=1 3-x2. ? 2 ? ?2? 2

1 1 1 S△SAD= x· 3-x2= x 3-x2. 2 2 4 1 1 ∵ V=VB—SAD+VC—SAD= · BC· S△SAD= x 3-x2. 3 12 1 2 ∴ f(x)= x 3-x ,定义域是(0, 3). 12 2 2 1 1 x +3-x ?2 (2)V2= 2x2(3-x2)≤ 2? 12 12 ? 2 ? 1 ?3?2 1 3 1 = 2· ,∴ V≤ × = . 12 ?2? 12 2 8 6 等号当且仅当 x2=3-x2,即 x= 时成立, 2 6 1 ∴ 当 x= 时,体积 V 最大为 . 2 8

x2 y2 1 设 P(x,y)是椭圆 + =1 上的动点,定点 M( ,0),求动点 P 到定点 M 距离的最大值 4 2 2 与最小值. x2 y2 1 解 由 + =1 得 y2=2- x2, 4 2 2 1 1 1 1 9 |PM|2=(x- )2+y2=x2-x+ +2- x2= (x2-2x)+ = 2 4 2 2 4 1 1 2 2 7 2 (x-1) + ,y =2- x ≥0,∴ -2≤x≤2. 2 4 2 7 7 当 x=1 时,|PM|2 取得最小值 ,即|PM|的最小值为 ; 4 2 25 5 2 当 x=-2 时,|PM| 取得最大值 ,即|PM|的最大值为 . 4 2 例 11


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