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三角函数的图像与性质第四课时


第一章第四节三角函数的图象与性质第四课时
作者:张云全 整体设计 教学分析 本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性 质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总 是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严 格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的 定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主 要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究 图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活 动过程中引导学生体会这种解决问题的方法. 通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以 提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学 思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应 的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学 思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯 通,提高教学效果. 由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁 移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经 验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法. 三维目标 1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运 用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实 际问题的能力. 2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函 数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力. 3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、 努力学好数学的信心. 重点难点 教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用. 教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象 和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切 函数的图象与性质?由此展开新课. 思路 2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画 出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中 要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗?都研究 函数的哪几个方面的性质? ②我们学习了正弦线、余弦线、正切线,你能画出四个象限的正切线吗? ③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象, 然后向左、

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右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函 数呢?为什么? ④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、 余弦函数的简图, 你能画出正切函数的简图吗? 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗? 活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶 性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方 面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的 直观性. (1)周期性 由诱导公式 π tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z 2 可知,正切函数是周期函数,周期是 π. 这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观 理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一 周期性. (2)奇偶性 π 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z 2 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图 象还能发现对称点吗?与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的 kπ 对称中心是( ,0)k∈Z. 2 (3)单调性 π π 通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(- , )内是增函数, 2 2 π π 又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(- +kπ, +kπ),k∈Z 内都是增函数. 2 2 (4)定义域 y 根据正切函数的定义 tanα= ,显然,当角 α 的终边落在 y 轴上任意一点时,都有 x=0, x π 这时正切函数是没有意义的;又因为终边落在 y 轴上的所有角可表示为 kπ+ ,k∈Z,所以 2 π π 正切函数的定义域是{α|α≠kπ+ ,k∈Z},而不是{α≠ +2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者 2 2 很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质. (5)值域 π π 由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当 x 大于- 且无限接近- 时,正 2 2 π π 切线 AT 向 Oy 轴的负方向无限延伸;当 x 小于 且无限接近 时,正切线 AT 向 Oy 轴的正方 2 2 π π 向无限延伸.因此,tanx 在(- , )内可以取任意实数,但没有最大值、最小值. 2 2 因此,正切函数的值域是实数集 R. 问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图 1.

图1 问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢?教师引导学生在课堂上 展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取
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了[0,π]作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计 π π 划,把课件中先作出(- , )内的图象,改为先作出[0,π]内的图象,再进行图象的平移,得 2 2 到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的 π π 函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(- , )的图 2 2 象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图 2. π 根据正切函数的周期性,把图 2 向左、右扩展,得到正切函数 y=tanx,x∈R,且 x≠ + 2 kπ(k∈Z)的图象,我们称正切曲线,如图 3.

图2

图3 问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画 π π π π 出函数 y=tanx,x∈(- , )的简图.学生可看出有三个点很关键:(- ,-1),(0,0),( , 2 2 4 4 π π 1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(- ,-1),(0,0),( ,1), 4 4 π π 再画两条平行线 x=- ,x= ,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮 2 2 助. 讨论结果:①略. ②正切线是 AT. ③略. ④能,“三点两线”法. 提出问题 ①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质. ②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗?请举 一个例子. π 活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线 x= +kπ,k∈Z 所隔 2 开的无穷多支曲线组成的. 教师引导学生进一步思考, 这点反应了它的哪一性质——定义域; 并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么 线——渐近线;从 y 轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为 R;每隔 π 个 单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期 π;在每个区间图象都是上升趋势, π π 得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(- +kπ, +kπ),k∈Z,没有减区间.它的 2 2
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图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称, kπ 对称中心是( ,0),k∈Z. 2 问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内 是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性. 讨论结果:①略. ②略. 应用示例 例 1 比较大小. 13π 17π (1)tan138°与 tan143°;(2)tan(- )与 tan(- ). 4 5 活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将 已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由 学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基 础知识,加强类比思想的运用. 解:(1)∵y=tanx 在 90°<x<180°上为增函数, ∴由 138°<143°,得 tan138°<tan143°. 13π π π 13π (2)∵tan(- )=-tan =-tan(3π+ )=-tan , 4 4 4 4 17π 17π 2π 2π tan(- )=-tan =-tan(3π+ )=-tan . 5 5 5 5 π 2π π π 又 0< < < ,而 y=tanx 在(0, )上是增函数, 2 4 5 2 π 2π ∴tan <tan . 5 4 π 2π ∴-tan >-tan , 4 5 13π 17π 即 tan(- )>tan(- ). 5 4 点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可. 例 2 用图象求函数 y= tanx- 3的定义域. 活动:如图 4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以 通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要 有侧重点,应体现函数图象应用的重要性.

图4 图5 解:由 tanx- 3≥0,得 tanx≥ 3, π π 利用图 4 知,所求定义域为[kπ+ ,kπ+ )(k∈Z). 3 2 点评:先在一个周期内得出 x 的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解, 如图 5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种. 变式训练 根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的 x 的集合. (1)1+tanx≥0;(2)tanx+ 3<0. 解:(1)tanx≥-1,

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π π ∴x∈[kπ- ,kπ+ ),k∈Z; 4 2 π π (2)x∈[kπ- ,kπ- ),k∈Z. 2 3 π π 例 3 求函数 y=tan( x+ )的定义域、周期和单调区间. 2 3 活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似 π π 问题时已经用过换元法, 所以这里也就不用再介绍换元法, 可以直接将 x+ 作为一个整体. 教 2 3 师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域. π π π 解:函数的自变量 x 应满足 x+ ≠kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 1 即 x≠2k+ ,k∈Z. 3 1 所以函数的定义域是{x|x≠2k+ ,k∈Z}. 3 π π π π π π 由于 f(x)=tan( x+ )=tan( x+ +π)=tan[ (x+2)+ ]=f(x+2), 2 3 2 3 2 3 因此,函数的周期为 2. π π π π 5 1 由- +kπ< x+ < +kπ,k∈Z,解得- +2k<x< +2k,k∈Z. 2 3 2 3 3 2 5 1 因此,函数的单调递增区间是(- +2k, +2k),k∈Z. 3 3 点评:同 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究 y=Atan(ωx π +φ)(ω>0)的周期 T= . ω 变式训练 π 求函数 y=tan(x+ )的定义域,值域,单调区间,周期性. 4 π π π 解:由 x+ ≠kπ+ ,k∈Z 可知,定义域为{x|x∈R 且 x≠kπ+ ,k∈Z}. 2 4 4 值域为 R. π π π 3π π 由 x+ ∈(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 可得,在 x∈(kπ- ,kπ+ )上是增函数. 4 2 2 4 4 π 周期是 π,也可看作由 y=tanx 的图象向左平移 个单位得到,其周期仍然是 π. 4 例 4 把 tan1,tan2,tan3,tan4 按照由小到大的顺序排列,并说明理由. 活动:引导学生利用函数 y=tanx 的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线 探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都 是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有: 错解 1:∵函数 y=tanx 是增函数,又 1<2<3<4,∴tan1<tan2<tan3<tan4. 错解 2:∵2 和 3 的终边在第二象限,∴tan2,tan3 都是负数.∵1 和 4 的终边分别在第 一象限和第三象限,∴tan1,tan4 都是正数. 又∵函数 y=tanx 是增函数,且 2<3,1<4, ∴tan2<tan3<tan1<tan4. 教师可放手让学生自己探究问题的解法. 发现错解后不要直接纠正, 立即给出正确解法, 可再让学生讨论分析找出错的原因. π 3π 解法一:∵函数 y=tanx 在区间( , )上是单调递增函数, 2 2 π 3π 且 tan1=tan(π+1),又 <2<3<4<π+1< , 2 2 ∴tan2<tan3<tan4<tan1. 解法二:如图 6,1,2,3,4 的正切函数线分别是 AT1,AT2,AT3,AT4,

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图6 ∴tan2<tan3<tan4<tan1. 点评: 本例重在让学生澄清正切函数单调性问题, 这属于学生易错点. 把正切函数 y=tanx 的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的. 知能训练 课本本节练习 1~5. 解答: 1.在 x 轴上任取一点 O1,以 O1 为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于 x 轴的直径,将 ⊙O1 分成左右两个半圆,过右半圆与 x 轴的交点作⊙O1 的切线,然后从圆心 O1 引 7 条射线 3π π π π π 3π 把右半圆分成 8 等份,并与切线相交,得到对应于- ,- ,- ,0, , , 等角的正 8 4 8 8 4 8 π π 切线.相应地,再把 x 轴上从- 到 这一段分成 8 等份.把角 x 的正切线向右平行移动,使 2 2 它的起点与 x 轴上的点 x 重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来,就得到函数 π π y=tanx,x∈(- , )的图象. 2 2 点评:可类比正弦函数图象的作法. π π 2.(1){x|kπ<x< +kπ,k∈Z};(2){x|x=kπ,k∈Z};(3){x|- +kπ<x<kπ,k∈Z}. 2 2 点评:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式. π kπ 3.x≠ + ,k∈Z. 6 3 点评:可用换元法. π 4.(1) ;(2)2π. 2 π 点评:可根据函数图象得解,也可直接由函数 y=Atan(ωx+φ),x∈R 的周期 T= 得解. ω 5.(1)不是.例如 0<π,但 tan0=tanπ=0. π (2)不会.因为对于任何区间 A 来说,如果 A 不含有 +kπ(k∈Z)这样的数,那么函数 y 2 π π =tanx,x∈A 是增函数;如果 A 至少含有一个 +kπ(k∈Z)这样的数,那么在直线 x= +kπ 2 2 两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大). 点评:理解正切函数的单调性. 课堂小结 1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究 完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数 的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数 的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质. 2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基 本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总 结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义? 作业 课本习题 1.4 A 组 6、8、9. 设计感想 1.本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质.因此教案的设计主线
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是始终抓住类比思想这条主线,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,由学生自己来 对新知识进行分析、探究、猜想、证明,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也 较易接受. 2.本教案设计的学习程序是:温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类 比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高. 备课资料 函数 f(x)±g(x)最小正周期的求法 若 f(x)和 g(x)是三角函数,求 f(x)±g(x)的最小正周期没有统一的方法,往往因题而异,现 介绍几种方法: (一)定义法 例 1 求函数 y=|sinx|+|cosx|的最小正周期. π π 解:∵y=|sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|=|cos(x+ )|+|sin(x+ )| 2 2 π π =|sin(x+ )|+|cos(x+ )|, 2 2 π 对定义域内的每一个 x,当 x 增加到 x+ 时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期 2 π 是 . 2 (二)公式法 这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求, 2π π 其中正、余弦函数求最小正周期的公式为 T= ,正、余切函数 T= . |ω| |ω| 1 例 2 求函数 y= -tanx 的最小正周期. tanx 1-tan2x 1-tan2x 1 2 π 解:y= -tanx= =2· = ,∴T= . tanx 2tanx tan2x 2 tanx (三)最小公倍数法 设 f(x)与 g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T1、T2 分别是它们的周期,且 T1≠T2 , 则 f(x)±g(x) 的 最 小 正 周 期 是 T1 、 T2 的 最 小 公 倍 数 , 分 数 的 最 小 公 倍 数 = 分子的最小公倍数 . 分母的最大公约数 例 3 求函数 y=sin3x+cos5x 的最小正周期. 2π 2π 解:设 sin3x、cos5x 的最小正周期分别为 T1、T2,则 T1= ,T2= ,所以 y=sin3x+ 3 5 2π cos5x 的最小正周期 T= =2π. 1 (四)图象法 例 4 求 y=|cosx|的最小正周期. 解:由 y=|cosx|的图象,可知 y=|cosx|的周期 T=π.

图7

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