kl800.com省心范文网

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第3章 函数的最大值与最小值 第二课时参考教案


第二课时

函数的最大值与最小值(二)

一、教学目标:理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极 值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯,提高应用知识解决实际问题的能 力. 二、教学重点:求函数的最值及求实际问题的最值. 教学难点:求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步 骤,突破难点要把实际问题“数学化”,即建立数学模型. 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)复习引入 1.函数 y = x· e–x 在 x∈[0, 4]的最小值为( A A.0 2.给出下面四个命题. ①函数 y = x2 – 5x + 4 (x∈[–1,3])的最大值为 10,最小值为 ? ; ②函数 y = 2x2 – 4x + 1 (x∈(2, 4))的最大值为 17,最小值为 1; ③函数 y = x3 – 12x (x∈(–3, 3))的最大值为 16,最小值为– 16; ④函数 y = x3 – 12x (x∈(–2, 2))无最大值,也无最小值. 其中正确的命题有( A.1 个 C ) B.2 个 C.3 个 D.4 个
9 4


4 e4

B.

1 e

C.

D.

2 e2

(二) 、利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f ( x) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端 点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了. 设函数 f ( x) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a, b) 内可导,则求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与 最小值的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值
王新敞
奎屯 新疆

说明: ⑴在开区间 ( a, b) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大值与最小值. 如函数

-1-

f ( x) ?

1 在 (0,??) 内连续,但没有最大值与最小值; x

⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值 点附近函数值得出的. ⑶函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小 值的充分条件而非必要条件. (4) 函数在其定义区间上的最大值、 最小值最多各有一个, 而函数的极值可能 不止一个,也可能没有一个 (三)典例探析 例 1、求函数 f ( x) ? sin 2 x ? x,
x ? [?
王新敞
奎屯 新疆

? ?

, ] 的最大值与最小值。 2 2

f ?( x) ? 2 cos x ? 1, 令2 cos x ? 1 ? 0得 cos x ?

解析:
x ? [?

? ?

, ],? x1 ? ? , x2 ? 2 2 3 3

?

?

1 2

列表:

x
f ?( x )
y

(?

?

,? ) 2 3

?

?

?
3

(?

? ?

, ) 3 3

? 3
0 极大值

( , ) 3 2

? ?



0 极小值

+ ↗



? 3 ? ? 3 ? ∴ f ( x)极大值=f ( ) ? ? , f ( x)极小值=f (- ) ? + , 3 2 3 3 2 3
f (? ) ? , f ( ) ? ? , f ( x) max ? f (? ) ? , f ( x) min ? f ( ) ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

练习:求函数 f ( x) ? sin x ? x,

x ? [0, ] 的最大值与最小值。 2 3 例 2、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x , (I)求函数 f ( x) 在 [ ?3, ] 上的最大值和最小 2

?

值.(II)过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程. 解析: (I) f '( x) ? 3( x ? 1)( x ? 1) ,
3 当 x ?[?3, ?1) 或 x ? (1, ] 时, f '( x) ? 0 , 2

3 ?[?3, ?1],[1, ] 为函数 f ( x) 的单调增区间 2

当 x ? (?1,1) 时, f '( x) ? 0 ,

?[?1,1] 为函数 f ( x) 的单调减区间
-2-

3 9 又因为 f (?3) ? ?18, f (?1) ? 2, f (1) ? ?2, f ( ) ? ? , 2 8

所以当 x ? ?3 时, f ( x)min ? ?18

当 x ? ?1 时, f ( x)max ? 2

(II)设切点为 Q( x , x3 ? 3x ) ,则所求切线方程为

y ? ( x3 ? 3x ) ? 3( x2 ?1)( x ? x )
由于切线过点 P(2, ?6) ,??6 ? ( x3 ? 3x ) ? 3( x 2 ?1)(2 ? x ) , 解得 x ? 0 或 x ? 3 所以切线方程为 y ? ?3x或y ? 6 ? 24( x ? 2) 即

3x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0

练习:已知函数 f ( x) ? ax3 ? 6ax2 ? b 。若 f(x)在[-1,2]上的最大值为 3, 最小值为 29,求:a、b 的值 例 3、已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a) (Ⅰ)求导数 f / ( x) ; (Ⅱ)若 (Ⅲ)若 f ( x) 在 (??, ?2) 和[2, f / (?1) ? 0 ,求 f ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值和最小值; +∞]上都是递增的,求 a 的取值范围。 解:(Ⅰ)由原式得 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 4 x ? 4a, ∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4.
1 1 ,此时有 f ( x) ? ( x 2 ? 4)( x ? ), f ?( x) ? 3 x 2 ? x ? 4 . 2 2 4 4 50 9 由 f ?(?1) ? 0 得 x ? 或 x=-1 , 又 f ( ) ? ? , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0, 3 3 27 2 9 50 所以 f(x)在[--2,2]上的最大值为 , 最小值为 ? . 2 27

(Ⅱ)由 f ?(?1) ? 0 得 a ?

(Ⅲ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得
f ?(?2) ? 0, f ?(2) ? 0, 即 4a ? 8 ? 0 8 ? 4a ? 0.

?

∴--2≤a≤2. 所以 a 的取值范围为[--2,2].

(四) 、课堂小结: 1、函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不 存在的点,区间端点; 2、函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小 值的充分条件而非必要条件; 3、闭区间 ?a, b? 上的连续函 数一定有最值;开区间 ( a, b) 内的可导函数不
-3-

一 定 有 最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值 4、利用导数求函数的最值方法. (五)课后作业: 五、教学反思:

王新敞
奎屯

新疆

-4-


赞助商链接