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山东省济南市2013届高三1月教学质量调研考试数学(理)试题


2013 年 1 月高三教学质量调研考试

理 科 数 学
本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页. 考试时间 120 分钟。满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和 试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷

每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号,答案不能答在试卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不 能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修 正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的) 1. 设全集 U ? R ,集合 M ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | ?1 ? x ? 4},则 M ? N 等于 A. {x |1 ? x ? 4} 2. 复数 B. {x | ?1 ? x ? 3} C. {x | ?3 ? x ? 4} D. {x | ?1 ? x ? 1}

1? i 表示复平面内的点位于 2?i
B.第二象限 B. c ? b ? a C.第三象限 C. b ? a ? c D.第四象限 D. c ? a ? b
0.3

A.第一象限 A. a ? b ? c

3. 设 a ? 3 , b ? log? 3, c ? log0.3 e 则 a, b, c 的大小关系是

4. 将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? A. y ? sin 2x 5. 已知函数 f ? x ? ? A. 关于原点对称 C.关于 x 轴对称

? ?

??

? ? 的图象向右平移 6 个单位后,所得的图象对应的解析式为 6?
C. y ? sin(2 x ?

B. y ? cos 2x

2? ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 3 6

1 x ? e ? e? x ? , 则 f ( x) 的图象 2
B.关于 y 轴对称 D. 关于直线 y ? x 对称
1 1

6. 一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面 选项中,不可能是该锥体的俯视图的是
1
主视图

(第 6 题)
1
左视图

1

1

1
1

1

1

1

1

1

A.
2 2

B.
2 2

C.

D.

7. 已知椭圆方程

x y x y ? ? 1 ,双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点是椭圆的顶点, 顶点 a b 4 3

是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

? x ? y ? 11 ? 0 ? 8. 设实数 x, y 满足不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 0 ?
A. 13 B. 19

,则 z ? 2 x ? y 的最大值为

C. 24

D. 29

2 9. 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 2, a3 ? a5 ? 4a6 ,则 a3 的值为

A.

1 2

B. 1

C. 2

D.

1 4

10. 非零向量 a, b 使得 | a ? b |?| a | ? | b | 成立的一个充分非必要条件是

? ?

? ?

?

?

? ? A. a / / b
x

? ? ? B. a ? 2b ? 0

? ? a b C. ? ? ? |a| |b|

D. a ? b

?

?

11. 设函数 f ? x ? ? 2 ,则如图所示的函数图象对应的函数是 A. y ? f ?| x |? B. y ? ? | f ? x ? | C. y ? ? f ? ? | x |? D. y ? f ? ? | x |? (第 11 题)

12. 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ,对任意 x ? R ,都有 f ? x ? 6? ? f ? x ? ? f ?3? 成立,若函数

y ? f ? x ? 1? 的图象关于直线 x ? ?1 对称,则 f ? 2013? ? A. 0 B. 2013 C. 3

D. ?2013

第Ⅱ卷(非选择题
13.

共 90 分)
开始

二、填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分)

?

2

1

x2 dx ?

; ;

14. 已知程序框图如右图所示,则输出的 i ?

S ?1
i ?3

15. 若圆 C 以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心, 截此抛物线的准线所得弦长为 6,则该圆 的标准方程是 ; 16. 根据下面一组等式

S1 ? 1 S2 ? 2 ? 3 ? 5 S3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 15 S 4 ? 7 ? 8+9+10=34 S5 ? 11 ? 12 ? 13 ? 14 ? 15 ? 65 S6 ? 16 ? 17 ? 18 ? 19 ? 20 ? 21 ? 111 S7 ? 22 ? 23 ? 24 ? 25 ? 26 ? 27 ? 28 ? 175 ? ? ? ? ? ?
可得 S1 ? S3 ? S5 ? ?? S2n?1 ? .

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 且满足 ? 2b ? c ? cos A ? a cos C. (1)求角 A 的大小;

(2)若 b ? 2, c ? 3 ,求 | AB ? AC | . 18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? 5, S6 ? 36 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 bn ? 2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
a

??? ??? ? ?

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? e sin x
x

(1)求函数 f ? x ? 单调递增区间; (2)当 x ? [0, ? ] 时,求函数 f ? x ? 的最大值和最小值. 20. (本小题满分 12 分)

已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, AB / / CD, AD ? AB, AD ? AB ?

1 CD ? 1 , 2

PD ? 面ABCD , PD ? 2 , E 是 PC 的中点
(1)证明: BE / /面PAD ; (2)求二面角 E ? BD ? C 的大小.

21. (本小题满分 13 分) 已知椭圆

(第 20 题)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 ? 0,1? ,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线 l a 2 b2

与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q 、 P ,与椭圆分别交于点 M 、 N ,各点均不重合且满足

???? ? ???? ??? ? ? ???? PM ? ?1 MQ, PN ? ?2 NQ
(1)求椭圆的标准方程; (2)若 ?1 ? ?2 ? ?3 ,试证明:直线 l 过定点并求此定点.

22. (本小题满分 13 分) 设函数 f ? x ? ? x ? ax ? ln x .
2

(1)若 a ? 1 ,试求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)过坐标原点 O 作曲线 y ? f (x) 的切线,证明:切点的横坐标为 1; (3)令 g ? x ? ?

f ? x? ,若函数 g ? x ? 在区间(0,1]上是减函数,求 a 的取值范围. ex

2013 届高三教学质量调研考试 理科数学参考答案
一、 选择题: 1.D 2. A 3. B 4. D 5. A 6.C 7.C 8.A 二、填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 9.B 10.B 11.C 12.A

7 3

14. 9

15. ( x ?1) ? y ? 13 ;
2 2

4 16. n

三、解答题: 17. 解: (1)由正弦定理可得:2sin B cos A ? sin C cos A ? cos C sin A, 分

-------------------------3

?2 s i n B

c o s? A

s An (C ? ) B i n i? s

-----------------------5 分

1 ? sin B ? 0,? cos A ? . 2 ?A?

? . 3

-------------------------------------------------------------8 分

??? ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ? ? (2) AB ? AC ? AB ? AC ? 2 AB AC cos A
? 7 ? 2 3.
---------------------------------------------------------11 分

??? ??? ? ? ? AB ? AC ? 7 ? 2 3

-------------------------12 分

? a1 ? 2d ? 5 ? a3 ? 5 ? 18. 解: (1)设 {an } 的公差为 d, ? ? ;则 ? 6?5 d ? 36 ? S6 ? 35 ?6a1 ? ? 2
分 即? 分

------3

? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 ,解得 ? , ? a1 ? 5d ? 6 ?d ? 2

-----------------------------------------6

?an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1,(n ? N * ) .
分 (2) bn ? 2 n ? 2
a 2n?1

-------------------------------8

?Tn ? 21 ? 23 ? 25 ? ?? 22n?1
?
分 19.解: (1) f ( x) ? e (sin x ? cos x)
' x

--------------------------------------10 分

2 ( 1 n4 ) ? ? 1? 4

n 2(4 ? 3

1)

------------------------------------------12

--------- --------------------------------2



? 2e x sin( x ? ) 4

?

-----------------------------------4 分

f ' ( x) ? 0,? sin( x ? ) ? 0. 4
-----------------------------6 分

?

? 2 k? ? x ?

?
4

? 2k? ? ? , 即2k? ?

?

3 ? x ? 2 k? ? ? , 4 4
--------------------8

? 3 ? ? f ( x)单调增区间为 ?2k? ? , 2k? ? ? ? , k ? Z 4 4 ? ?


(2) x ??0, ? ? , 由()知,x ? ?0, ? ? 是单调增区间,x ? ? ? , ? ? 是单调减区间 ----10 分 1 4 4

? 3 ? ? ?

?3 ?

? ?

3 2 3? f (0) ? 0, f (? ) ? 0, f ( ? ) ? e4 , 4 2 3? 2 4 所以 f max ? f ( ) ? e , f min ? f (0) ? f (? ) ? 0 4 2
分 20. (本小题满分 12 分) 证明:取 PD 的中点为 F , 连接 EF,
3?

-----------------------------------12

z

EF // CD, EF ?

1 CD, ------------2 分 2
F

1 AB // CD且AB ? CD, 又 2 ? EF // AB, EF ? AB,
? ABEF 是平行四边形, ? BE // AF ,
---------4 分

y

x
----------------------6

又BE ? 面PAD,AF ? 面PAD, ? BE / /面PAD.
分 (2)建系:以 DA,DB,DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,

B(1,1,0),C(0,2,0), P(0,0, 2 ), 则


E (0,1,

2 ) 2

------------------------------7

??? ? ??? ? 2 DB ? (1,1, 0), BE ? (?1, 0, ) 2
------------------------------8 分

? 设平面EDB的法向量为n ? ( x, y, z)

?x ? y ? 0 ? ? 2 z?0 ?? x ? ? 2 ? ?n ? ( x, ?x, 2x) ? x(1, ?1, 2)


---------------------- -------10

? ? n ? (1, ?1, 2) 令 x=1,则
?? 平面ABCD的法向量为m ? (0,0,1), 又因为
cos m, n ? 2 , 二面角 E ? BD ? C 为 450. 2
------------------12 分

21.解:(1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,焦距为 2c, a2 b2

-----------------1 分

2 2 2 2 ( 2 ( 2 2 由题意知 b=1,且 2a) ? 2b) ? (2c),又 a ? b ? c 2 得 a ? 3.

----------------------------------3 分

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

----------------------------5 分

(2) 由题意设 P(0, m),Q( x0 ,0), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,设 l 方程为 x ? t ( y ? m) , 由 PM ? ?1 MQ 知 ( x1 , y1 ? m) ? ?1 ( x0 ? x1 ,? y1 ) ∴ y1 ? m ? ? y1?1 ,由题意 ?1 ? 0 ,∴ ?1 ?

m ?1 y1

-----------------7 分

同理由 PN ? ?2 NQ 知 ?2 ?

??? ?

????

m ?1 y2

∵ ?1 ? ?2 ? ?3 ,∴ y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 0

(*)

------8 分

?x 2 ? 3 y 2 ? 3 联立 ? 得 (t 2 ? 3) y 2 ? 2mt2 y ? t 2 m 2 ? 3 ? 0 ? x ? t ( y ? m)
∴需 ? ? 4m 2 t 4 ? 4(t 2 ? 3)(t 2 m 2 ? 3) ? 0 (**)

2 m t2 t 2m2 ? 3 , y1 y 2 ? 2 且有 y1 ? y 2 ? 2 t ?3 t ?3

(***)

-------10 分

(***)代入(*)得 t 2 m 2 ? 3 ? m ? 2mt2 ? 0 ,∴ (mt) 2 ? 1 , 由题意 mt ? 0 ,∴ mt ? ?1 (满足(**)), 得 l 方程为 x ? ty ? 1 ,过定点(1,0),即 P 为定点. 22.解: (1) a ? 1 时, f ( x) ? x2 ? x ? lnx( x ? 0) 分 ----------12 分 ---------------13 分 -----------------1

? f '( x) ? 2 x ? 1 ?

1 x

?

(2 x ? 1)( x ? 1) x

------------------------3 分

? 1? ?1 ? x ? ? 0, ? , f ' ? x ? ? 0, x ? ? , ?? ? , f ' ? x ? ? 0 ? 2? ?2 ?

f ? x?











? 1? ? 0, ? ? 2?
1 x

,







?1 ? ? , ?? ? 2 ? ?

-------------------5 分 (2)设切点为 M t, f ?t ? , f ' ? x ? ? 2 x ? ax ? 切线的斜率 k ? 2t ? a ? ,又切线过原点 k ?

?

?

1 t

f ?t ? t

f ?t ? 1 ? 2t ? a ? ,即:t 2 ? at ? ln t ? 2t 2 ? at ? 1? t 2 ? 1 ? ln t ? 0 t t
t ? 1 满足方程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 ,由 y ? 1 ? x2 , y ? ln x 图像可知 x 2 ? 1 ? ln x ? 0
有唯一解 x ? 1 ,切点的横坐标为 1;
2 或者设 ? ? t ? ? t ?1 ? ln t , ? ' ? t ? ? 2t ? ? 0

-------------7 分

----------------------------------8 分

1 t

? ?t ? 在? 0,?? 递增 ,且 ? ?1? =0 ,方程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 有唯一解 +

-----------------9 分

(3) g ' ? x ? ?

f '? x? ? f ? x? ,若函数 g ? x ? 在区间(0,1]上是减函数, ex
1 ( ------------10 ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0 --- *) x

则 ?x ? (0,1], g ' ? x ? ? 0,即: f ' ? x ? ? f ? x ? , 所以 x 2 ? 2 x ? 分

设h ? x ? ? x 2 ? 2 x ?

1 ? ln x ? a ? x ? 1? x

?1 ? x ? ? 2 x2 ? 2 x ? 1? 1 1 h ' ? x ? ? 2x ? 2 ? 2 ? ? a ? ? ?2? a x x x2
若 a ? 2 ,则 h ' ? x ? ? 0, h ? x ? 在 ? 0,1? 递减, h ? x ? ? h ?1? ? 0 即不等式 分 若 a ? 2 ,?? ? x ? ? 2 x ?

f ' ? x ? ? f ? x ? , ?x ? (0,1],

恒成立

----------------------11

1 1 2 1 ? ? 2 ?? ' ? x ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 0 2 x x x x

? ? x ? 在 ? 0,1? 上递增, ? ? x ? ? ? ?1? ? ?2
?x0 ? ? 0,1? , 使得? ? x0 ? ? ?a x ? ? x0 ,1? ,? ? x ? ? ?a ,即 h ' ? x ? ? 0 , h ? x ? 在? x0 ,1? 上递增, h ? x ? ? h ?1? ? 0
这与 ?x ? ? 0,1? , x 2 ? 2 x ? 分 综上所述, a ? 2 分
g '? x? ? f '? x? ? f ? x? ,若函数 g ? x ? 在区间(0,1]上是减函数, ex

1 ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0 x 矛盾

----------------------------12

-----------------------------------------13

解法二:

则 ?x ? (0,1], g ' ? x ? ? 0,即: f ' ? x ? ? f ? x ? , 所以 x 2 ? 2 x ? 显然 x ? 1 ,不等式成立

1 ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0 -----------------10 分 x

1 x 2 ? 2 x ? ? ln x x 当 x ? ? 0,1? 时, a ? 恒成立 1? x

-------------------------------------11 分

1 1 1 x 2 ? 2 x ? ? ln x ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 2 ? ? ln x x x x 设 h ? x? ? , h '? x? ? 2 1? x 1? x? ?
设 ? ? x ? ? ? x ? 2x ?1 ?
2

?1 ? x ?? 2 ? x ? ? 0 1 1 ? ? ln x, ? ' ? x ? ? 2 ?1 ? x ? ? 2 x x x3
上 递 增 ,

? ? x?



? 0,1?

? ? x ? ? ? ?1? ? 0





h ' ? x? ? 0

-----------------------------12 分

h ? x ? 在 ? 0,1? 上递减, h ? x ? ? h ?1? ? lim
x ?1

x2 ? 2 x ?

1 ? ln x 1 1 ? ? x ? lim ? ?2 x ? 2 ? ? 2 ? ? 2 x ?1 1? x x x ? ?
----------------------------------------------------------------13 分

所以 a ? 2


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