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浙江省慈溪中学2011学年高三年级10月月考试卷 理科数学(实验班)


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2011 学年慈溪中学高三年级 10 月月考数学试卷 (高三(1)~(4) 高三( ) ( ) )
小题, 每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题给出的四个选项中,只有 选择题: 一项是符合题目要求的。 一项是符合题目要求的。 1.定义运算

a, b c, d

= ad ? bc ,则符合条件

z ,1 + 2i 1 ? i,1 + i

= 0 的复数 Z 的共轭复数 Z 对应的点在

( ) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限 )

D.第四象限

2. cos 2 x > cos 2 y 成立的一个充分不必要条件是( A. cos x > cos y C. cos x > cos y

B. cos x > cos y D. cos x + cos y > 0

3.已知数列 {an } , {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 , b1 ,且 a1 + b1 = 5,

a1 , b1 ∈ N * ,设 cn = abn (n ∈ N * ) ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于(
A.55 B.70 C.85 D. 100



4 . 对 于 任 意 两 个 正 整 数 m , n , 定 义 某 种 运 算 “ ※“ 如 下 : 当 m , n 都 为 正 偶 数 或 正 奇 数 时, m ※ n = m + n ;当 m, n 中一个为正偶数,另 一个为正奇数时, m ※ n = mn .则在此定 义下,集合 M = {( a, b) a ※ b = 12, a ∈ N? , b ∈ N?} 中的元素个数是( A.10 个 B.15 个 C.16 个 5.已知圆 O 的半径为 1,PA,PB 为该圆的两条切线, A,B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值 为( ) B. ?3 + 2 D. ?3 + 2 2 (第 5 题图) D.18 个 )

uuu uuu r r

A. ?4 + 2 C. ?4 + 2 2

6.设函数 y = f ( x) 在( ?∞ ,+ ∞ )内有定义.对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x), f ( x) ≤ K ?x f K ( x) = ? ,取函数 f ( x ) = 3 ? x ? e .若对任意的 x ∈ ( ?∞,+∞) ,恒 f ( x) > K ?K, 有 f K ( x ) = f ( x ) ,则 ( )
A. K 的最大值为 2 C. K 的最大值为 1 7.函数 f ( x ) = B. K 的最小值为 2 D. K 的最小值为 1 )

x ? 3 + 12 ? 3 x 的值域为(

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A. ?1, 2 ?

?

?

B. ?1, 3 ?

?

?

C. ?1, ? 2

? 3? ? ?

D. [1, 2]

8.已知函数 f ( x ) 的定义域为 [ ?2, +∞ ) ,部分对应值如下表, f '( x)为f(x)的导函数, 数 y = f '( x) 的图象如右图所示:

x

[

-2 1

0 -1

4 1

f ( x)

若两正数 a,b 满足 f ( a + 2b) < 1, 则 A. ( , )

6 4 7 3

B. ( , )

3 7 5 3

b?4 的取值范围( ) a+4 2 6 1 C. ( , ) D. ( ?1, ? ) 3 5 2

? y ≥ 1, ? 9.已知实数 x, y 满足 ? x + y ≤ 2, ,且 z = x + 2 y ,若 z 的最小值的取值范围为 [ 0, 2] , ? ? y ≤ 2 x + m,
则 z 的最大值的取值范围是( A. [ 4, 7 ] B. ? ) C. [11,15] D. [3, 6]

?11 ? ,5 ?3 ? ?

10. F 为抛物线 y 2 = 2 px 的焦点,过点 F 的直线 l 与该抛物线交于 A,B 两点, l1 , l2 分别是

l 设 则 该抛物线在 A,B 两点处的切线, 1 , l2 相交于点 C, AF = a, BF = b , CF =(
A. ab B. a + b C.



a+b 2

D. a + b
2

2

小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 填空题:

11. 若双曲线

16y 2 64x 2 ? = 1 的一个焦点在抛物线 p2 3

y = 2 px 2 的准线上,则 p 的值为_________.
12.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 为直角三角形, ∠ACB = 900 , AC = 6, BC = CC1 = (第 12 题图)

2 , P 是 BC1 上一动点,则 CP + PA1


的最小值是

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13. ( x + 1 ?
2

1 9 ) 的展开式中含 x9 的系数为 2x
2 2



14.如图,已知点 P 是圆 C : x + ( y ? 2 2) = 1 上的 一个动点,点 Q 是直线 l : x ? y = 0 上的一个动点,

uuu r uuur O 为坐标原点,则向量 OP 在向量 OQ 上的投影
的最大值为 . (第 14 题图)

? a x ?5 ( x > 6) ? + , 数列 {a n } 满足 a n = f (n ) n ∈ N ,且数列 15.已知函数 f ( x ) = ? a ?(4 ? ) x + 4 ( x ≤ 6 ) 2 ?

(

)

{a n }是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是
2


4

16.已知数列 {an } 中, a1 = 2 ,前 n 项之和为 Sn ,若 (n + 1) ? an +1 = (2n + 1) ? S n + n

+2n3 + 3n 2 + 2n + 2 ,则数列 {an } 的通项公式为
子表示)

. (用关于 n 的最简式

x 2 + y 2 + 2( x + 1)(1 ? y ) 17.若 x, y 满足 1 + cos (2 x + 3 y ? 1) = ,则 xy 的最小值 x ? y +1
2

为 . 解答题: 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 三、解答题:本大题共 5 题,共 72 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 18. 本小题满分 14 分) . ( 某商场在店庆日进行抽奖促销活动, 当日在该店消费的顾客可参加抽奖. 抽奖箱中有大 小完全相同的 4 个小球,分别标有字“生” “意” “兴” “隆”.顾客从中任意取出 1 个 球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规 定若取出“隆”字球, 则停止取球. 获奖规则如下: 依次取到标有“生”“意” “兴” “隆”字的球为一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二 等奖;取到的 4 个球中有标有 “生”“意”“兴”三个字的球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ξ ,求 ξ 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分 14 分) . 本小题满分 若 x ∈ ??

2 π π π? ? 5 π , ? ? ,则 y = tan( x + π ) ? tan( x + ) + cos( x + ) 的最大值是多少? 3 6 6 3? ? 12

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20.(本小题满分 14 分) . 本小题满分 如图,四边形 C1 A1 AC 是矩形 C1 B1 BC 绕直线 CC1 旋转 而成的.记二面角 B ? CC1 ? A 的大小为 θ , θ ∈ (0, π ) ,
B1

C1

A1

B1

E 为 AB 的中点, CC1 = 2CB = 2 .
(1)求证:对于任意 θ ∈ (0, π ) ,均有直线 AC1 / / 平面B1CE ;
B1

C B E
(第 20 题图)

(2) 当平面ACB1 ⊥ 平面C1 B1 BC 时,求 θ 的值; (3)求直线 CB 与 平面ACB1 所成角正弦值的取值范围. 21.(本小题满分 15 分) . 本小题满分

A

y2 x2 x y 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )是椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 上的两点,已知向量 m = ( 1 , 1 ) , b a a b x y 3 n = ( 2 , 2 ) ,若 m ? n = 0 且椭圆的离心率 e = , 短轴长为 2, O 为坐标原点. b a 2
(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F (0,c)(c 为半焦距) , ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ)试问: ?AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

22.(本小题满分 15 分) 本小题满分 已知曲线 Cn : x ? 2nx + y = 0( n = 1, 2,L). 从点 P ( ?1,0) 向曲线 Cn 引斜率为 k n ( k n > 0) 的
2 2

切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ). (1)求数列 { xn } 与 { yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?L ? x2 n?1 <

1 ? xn x < 2 sin n . 1 + xn yn

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2011 学年慈溪中学高三年级 10 月月考数学答案
高三( ) ( ) 高三(1)~(4)
小题, 每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 项是符合题目要求的。 项是符合题目要求的。 1~10 ACCBD BDDBA 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 填空题: 1 525 11. ± 12. 5 2 13. ? 14. 3 2 2 1 15. ( 4,8 ) 16. an = 3n 2 ? 3n + 2 17. 25 三、解答题:本大题共 5 题,共 72 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 18. 本小题满分 14 分) . ( (Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖“分别为事件 A,B,C. ……1 分 解: 则 P(A)= P(B) =

1 1 1 1 1 × × × = , (列式正确,计算错误,扣 1 分) 4 4 4 4 256

………3 分

A3 -1 5 3 = 4 4 256

(列式正确,计算错误,扣 1 分) ………5 分

三等奖的情况有:“生,生,意,兴“;“生,意,意,兴“;“生,意,兴,兴“三 种情况. P(C) = ( ×

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 2 × × × A4 ) + ( × × × × A42 ) + ( × × × × A42 ) = .…7 分 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 64
……8 分

(Ⅱ)设摸球的次数为 ξ ,则 ξ = 1, 2,3 .

3 1 3 1 , P (ξ = 2) = × = , 4 4 4 16 3 3 1 9 27 P (ξ = 3) = × × = , P (ξ = 4) = 1 ? P (ξ = 1) ? P (ξ = 2) ? P (ξ = 3) = . (各 1 分) 4 4 4 64 64
P (ξ = 1) =
故取球次数 ξ 的分布列为

ξ
P

1

2

3

4

1 4

3 16

9 64
…14 分

27 64
…12 分

1 3 9 27 Eξ = × 1 + × 2 + × 3 + × 4 = 2.75 . 4 16 64 64

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19.(本小题满分 14 分)解: . 本小题满分

y = tan( x +

+ ) ? tan( x + ) + cos( x + ) 6 2 6 6 π π ? π ? = ? ? tan( x + ) + co t( x + ) ? + cos( x + ) 6 6 ? 6 ? 2 π =? + cos( x + ) π 6 sin(2 x + ) 3

π

π

π

π

————7 分

又 (x +

π

π ? π π? ? π π? ) ∈ ? ? , ? ? , (2 x + ) ∈ ? ? , ? ? . 由正、余弦函数的单调性知: 6 ? 4 6? 3 ? 2 3?
2

?

sin(2 x + ) 3

π

与 cos( x +

π

π? ? 5 ) 在区间 ? ? π , ? ? 上同为单调递增函数。———11 分 6 3? ? 12

在当 x = ? 即

π
3

时, f ( x ) 有最大值, —————14 分

π 2 π 11 f (? ) = ? + cos(? ) = 3 π 3 6 6 sin(? ) 3

20.(本小题满分 14 分) . 本小题满分 解: (1)连接 C1B ,取 C1B 中点 F,则 EF 为 ?ABC1 的中位线,则

? ? EF ? 平面B1CE ? ? AC1 平面B1CE AC1 ? 平面B1CE ? ? (2)以 C 为原点,垂直于 CB 的直线为 x 轴, uuu r 以 CB 方向为 y 轴正方向, CC1 为 z 轴 EF AC1
建立如图所示的空间直角坐标系,则

———4 分

C (0, 0,0), B (0,1,0), A(sin θ , cos θ ,0), A1 (sin θ , cos θ , 2) , B1 (0,1, 2), C1 (0,0, 2)

ur 取平面C1B1BC的法向量为m = (1, 0, 0), r 设平面ACB1的法向量为n = ( x, y, z ), uuu r uuu r CA = sin θ, θ, CB1 = ( cos 0), (0,1,2)
(第 20 题图)

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? y + 2z = 0 2cos θ r 2cos θ 取z = 1, y = ?2, 则x = ,n = ( ,-2,1) ? sin θ sin θ ? x sin θ + y cos θ = 0 ur r 2 cos θ π 若平面ACB1 ⊥ 平面C1B1BC,则有m ? n=0,即 = 0 ? cos θ = 0 ? θ = . sin θ 2 当平面ACB1 ⊥ 平面C1 B1 BC 时, θ =
(3) CB = (0,1, 0)

π

2

.

———9 分

uuu r

设直线CB与平面ACB1所成的角为α,则
uuu r r sin α = cos CB, n =
2 4cos θ + 4 +1 sin 2 θ
2

=

2 , 4 +1 sin 2 θ

Qθ ∈ (0, π ) ∴

4 + 1 ∈ [5, +∞ ) sin 2 θ

? 2 ? ∴ sin α ∈ ? 0, 5 , ? 5 ? ?
即直线 CB 与 平面ACB1 所成角正弦值的取值范围为 ? 0, 21.(本小题满分 15 分) 本小题满分 解: (Ⅰ) 2b = 2.b = 1, e = 椭圆的方程为

? ?

2 ? 5 . 5 ? ?

———14 分

c a 2 ? b2 3 = = ? a = 2, c = 3 a a 2
………………………………3 分

y2 + x2 = 1 4

(Ⅱ)由题意,设 AB 的方程为 y = kx + 3

? y = kx + 3 ? 2 ? (k 2 + 4) x 2 + 2 3kx ? 1 = 0.................4分 ?y 2 ? + x =1 ?4
x1 + x2 =

?2 3k ?1 , x1 x 2 = 2 . 2 k +4 k +4

.................5分

由已知 m ? n = 0 得:

x1 x2 y1 y2 1 + 2 = x1 x2 + (kx1 + 3)(kx2 + 3) 2 b a 4

= (1 +

k2 3k 3 ) x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 4 4 4

.................6分

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= k2 + 4 1 3k ?2 3k 3 (? 2 )+ ? + = 0, 解得k = ± 2 ……7 分 4 k +4 4 k2 + 4 4

(Ⅲ) (1)当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 = x2 , y1 = ? y2 ,由 m ? n = 0

x12 ?

y12 = 0 ? y12 = 4 x12 4
2 1

………………………………8 分

4 x12 2 又 A( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 x + = 1 ? x1 = , y1 = 2 4 2
s= 1 1 x1 y1 ? y2 = x1 2 y1 = 1 2 2

所以三角形的面积为定值. ……………………………………10 分 (2)当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b

? y = kx + b ? 2kb ? 2 ? (k 2 + 4) x 2 + 2kbx + b 2 ? 4 = 0得到x1 + x 2 = 2 ?y 2 k +4 ? + x =1 ?4 b2 ? 4 x1 x 2 = 2 k +4
……………………………………11 分

x1 x 2 +

y1 y 2 (kx + b)(kx2 + b) = 0 ? x1 x 2 + 1 = 0代入整理得 : 4 4
………………………………………13 分

2b 2 ? k 2 = 4

1 b 1 | b | 4k 2 ? 4b2 + 16 2 S= AB = | b | ( x 1 + x2 ) ? 4 x1 x2 = 2 1+ k 2 2 k2 + 4
= 4b 2 =1 2|b|
………………………………………15 分

所以三角形的面积为定值. 22.(本小题满分 15 分) 本小题满分

解: (1)设直线 ln : y = k n ( x + 1), 联立 x 2 ? 2nx + y 2 = 0 得

(1 + kn2 ) x 2 + (2kn2 ? 2n) x + kn2 = 0 ,①则 ? = (2kn2 ? 2n)2 ? 4(1 + kn2 )kn2 = 0, ………3 分 kn = n n n (? 舍去), 将此式代入①中可得: xn = , n +1 2n + 1 2n + 1
……6 分

∴ yn = kn ( xn + 1) =
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n 2n + 1 . n +1

………7 分

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n 1? 1 ? xn 1 n +1 = (2)证明:Q = , n 1 + xn 2n + 1 1+ n +1

………8 分

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 1 x1 ? x3 ? x5 ?L ? x2 n?1 = × × L × < × ×L × = , ………11 分 2 4 2n 3 5 2n + 1 2n + 1
∴ x1 ? x3 ? x5 ?L ? x2 n?1 < 1 ? xn . 1 + xn

由于

xn 1 1 ? xn = = ,可令函数 f ( x ) = x ? 2 sin x, 则 f '( x) = 1 ? 2 cos x, 2n + 1 1 + xn yn
2 π ,给定区间 (0, ) ,则有 f '( x ) < 0 , 2 4

令 f '( x ) = 0 ,得 cos x = 则函数 f ( x ) 在 (0, 即x< 又0 <

π
4

) 上单调递减,∴ f ( x) < f (0) = 0 ,

2 sin x 在 (0, ) 恒成立, 4

π

………13 分

1 1 π 1 1 1 ? xn x < 2 sin ≤ < ,则有 即 < 2 sin n . 2n + 1 3 4 2n + 1 2n + 1 1 + xn yn 1 ? xn x < 2 sin n . 成立。 1 + xn yn
………15 分

由上可知, x1 ? x3 ? x5 ?L ? x2 n?1 <

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