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高一柱、锥、台、球的表面积与体积


年级 内容标题 编稿老师

高一

学科

数学

柱、锥、台、球的表面积与体积 刘震

一、学习目标
了解空间几何体的表面积和体积的计算公式,能够计算基本几何体及它们的简单组合体 的表面积和体积.

二、重点、难点
重点:会求直棱柱、正棱锥

、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积. 难点:几何体的侧面展开图,计算组合体的表面积和体积.

三、考点分析
近几年的高考中不仅有直接求多面体、 旋转体的面积和体积问题, 也有已知面积或体积 求某些元素的量或元素间的位置关系问题.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以 及它们的求积公式, 学会运用等价转化思想把组合体的求积问题转化为基本几何体的求积问 题,会把立体问题转化为平面问题求解,要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用. 与本将内容有关的题目一般以选择题、填空题的形式出现,属基础或中档题.

1. 多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱 锥 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长× l ch 各侧面面积之和 S 侧+2S 底 S 底· h S 侧+S 底 全面积(S 全) 体 积(V) S 底· h=S 直截面· h

1 ch′ 2
各侧面面积之和

1 S 底· h 3 1 h(S 上底+S 下底 3
+ S 上底 ? S下底 )

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面的周长,h 表示高度,h′表示斜高,l 表示 侧棱长.

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2. 旋转体的面积和体积公式 名称 S侧 S全 V 圆柱 2πrl 2πr(l+r) πr2h(即 πr2l) 圆锥 πrl πr(l+r) 圆台 π(r1+r2)l π(r1+r2)l+π(r21+r22) 4πR2 球

1 2 πr h 3

1 πh(r21+r1r2+r22) 3

4 3 πR 3

表中 l、h 分别表示母线长、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底面 半径,r1、r2 分别表示 圆台上、下底面的半径,R 表示半径.

知识点一:柱、锥、台体的表面积 例 1:三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 为等边三角形,侧面积是底面积的 2 倍. SA ? SB ? SC , 且该三棱锥的高 SO ? 3 ,O 为 ?ABC 的中心, 且 SO 垂直于 ?ABC 内 任意直线,求其表面积. 思路分析:构造棱锥的高、斜高所在的直角三角形,利用方程思想求解 解答过程:设该三棱锥底面边长为 a ,侧面 SAB 的高 SE 为 h? ,如图, 过 O 作 OE ? AB , SE ? AB , SE ? h? .

1 3 2 a ? 2. ? S 侧 ? 2S 底 ,? ? 3a ? h? ? 2 4

? a ? 3h? .
? SO ? OE ,? SO2 ? OE 2 ? SE 2 .

? 3 ? ? ? ? h? 2 . 即3 ? ? ? 3 h ? 6 ? ? ?
2

2

? h? ? 2 3 ,? a ? 3h? ? 6 .
? S底 ? 3 2 3 a ? ? 6 2 ? 9 3 , S 侧 ? 2S 底 ? 18 3 , 4 4

? S 表 ? S 侧 ? S 底 ? 9 3 ? 18 3 ? 27 3 .

解题后的思考:构造直角三角形,利用勾股定理来建立方程,求得未知量的方程思想在计算 中经常用到.

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知识点二:柱、锥、台体的体积 例 2:已知正三棱台(上、下底是正三角形,上底面的中心在下底面的投影是下面底中 心)的上、下底面边长分别是 2cm 与 4cm,侧棱长是 6 cm,试求该三棱台的体积. 思路分析:利用棱台的体积计算公式,求出棱台的高,上、下底面的面积,代入公式即可. 解答过程:如图所示, O ? 、 O 是上、下底面的中心,连结 OO ? 、 O ?B ? 、 OB , 在平面 BO O ?B ? 内作 B ?E ? OB 于 E .

? ?A?B ?C ? 是边长为 2 的等边三角形, O ? 是中心,

? O?B? ?

2 3 2 3 , ? 2? ? 3 2 3 2 3 4 3 ,则 BE ? OB ? O?B ? ? . 3 3

同理 OB ?

在 Rt ?B ?EB 中, BB? ?

6 , BE ?

2 3 , 3

? B ?E ?

42 42 ,即棱台高为 cm. 3 3

所 以 三 棱 台 的 体 积 为 V ? 1 ? 42 ? ? 3 ? 16 ? 3 ? 4 ? 棱台
3 3 ? 4 ? 4

? 7 14 3 3 ? 16 ? ?4? ? ? 4 4 3 ?

(cm3). 解题后的思考:将求体积的立体问题转化为平面问题求解,是立体几何中的常用方法. 例 3: 在边长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M ,N ,P 分别是棱 A1 B1 ,A1 D1 , 且满足 A1 M ? A1 A 上的点, 的体积.

1 3 A1 B1 ,A1 N ? 2 ND1 ,A1 P ? A1 A , 试求三棱锥 A1 ? MNP 2 4

思路分析: 若用公式 V ?

1 Sh 直接计算三棱锥 A1 ? MNP 的体积,则需要求出 ?MNP 的面 3
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积和该三棱锥的高, 这两者显然都不易求出, 但若将三棱锥 A1 ? MNP 的顶点和底面转换一 下,变为求三棱锥 P ? A1 MN 的体积,便能很容易的求出其高和底面 ?A1 MN 的面积,从而 代入公式求解. 解答过程: V A1 ? MNP ? V P ? A1MN ?

1 1 1 ? S ?A1MN ? h ? ? ? A1 M ? A1 N ? A1 P 3 3 2 1 1 1 2 3 1 3 ? ? ? a? a? a ? a . 3 2 2 3 4 24

解题后的思考: 转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法, 也是以后学习求点到平面 距离的一个理论依据. 例 4: 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,E ,F 分别为 AB ,AC 的中点, 平面 EB1C1 F 将三棱柱分成两部分,求这两部分的体积之比.

思路分析:截面 EB1C1 F 将三棱柱分成两部分,一部分是三棱台 AEF ? A1 B1C1 ;另一部分 是一个不规则几何体,其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得. 解答过程:设棱柱的底面积为 S ,高为 h ,其体积 V ? Sh . 则三角形 AEF 的面积为 由于 V AEF ? A1B1C1 ?

1 S. 4

1 S? 7 ?S ? h ? ? ? S ? ? ? Sh , 3 2 ? 12 ?4

则剩余不规则几何体的体积为

7 5 Sh ? Sh . 12 12 所以两部分的体积之比为 VAEF? A1B1C1 : V ? ? 7 : 5 . V ? ? V ? V AEF ? A1B1C1 ? Sh ?
解题后的思考:在求一个几何体被分成的两部分体积之比时,若有一部分为不规则几何体, 则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积,再进行计算. 知识点三:几何体的侧面展开图 例 5:如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=a,BC=b,BB1=c,并且 a>b>c>0. 求沿着长方体的表面自 A 到 C1 的最短线路的长.

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思路分析:求几何体表面上的最短距离问题一般都是利用展开图,将几何体展开,把空间问 题平面化,然后利用“两点之间线段最短”的性质求解. 解答过程:将长方体相邻两个面展开有下列三种可能,如图所示.

甲、乙、丙三个图形中 AC1 的长分别为:

( a ? b) 2 ? c 2 = a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ,
a 2 ? (b ? c) 2 = a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ,

( a ? c ) 2 ? b 2 = a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ac ,
∵a>b>c>0,∴ab>ac>bc>0. 故最短线路的长为 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc . 解题后的思考:要注意长方体展开图的几种不同的情况,不要遗漏. 知识点四:根据三视图求几何体的表面积或体积 例 6:已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长 为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角 形.

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S 思路分析:根据三视图所提供的信息,先确定该几何体的立体图形,再根据所给数据求解. 解答过程:如图所示,由题设可知,几何体是一个高为 4 的四棱锥,其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为 8,高为 h1 的等腰三角形,左、右侧面均 为底边长为 6、高为 h2 的等腰三角形.

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1 1 (1)该几何体的体积为: V ? ? S 矩形 ? h ? ? 6 ? 8 ? 4 ? 64 . 3 3

(2)正侧面及相对侧面底边上的高为: h1 ? 4 2 ? 32 ? 5 . 左、右侧面的底边上的高为: h2 ? 4 2 ? 4 2 ? 4 2 .

1 1 ? 故该几何体的侧面积为: S ? 2 ? ? ? ? 8 ? 5 ? ? 6 ? 4 2 ? ? 40 ? 24 2 . 2 ?2 ?
解题后的思考: 在课改地区的高考题中, 求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知 识结合在一起,综合考查. 知识点五:球的表面积和体积的计算 例 7:一个球内有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49 ? cm2 和 400 ? cm2, 求球的表面积和体积. 思路分析:求球的表面积和体积关键是求出球的半径,可考虑球的轴截面. 解答过程: ( 1 )当截面在球心的同侧时,如图所示为球的轴截面 . 由球的截面性质,知

AO1 // BO2 ,且 O1 、 O2 分别为两截面圆的圆心,则 OO1 ? AO1 , OO2 ? BO2 .

设球的半径为 R .

?? ? O2 B 2 ? 49? ,? O2 B ? 7 .
同理, ? ? O1 A ? 400 ? ,? O1 A ? 20 .
2

设 OO1 ? x ,则 OO2 ? x ? 9 . 在 Rt?OO1 A 中, R ? x ? 20 ,
2 2 2

在 Rt?OO2 B 中, R 2 ? ?x ? 9? ? 7 2 ,
2

? x 2 ? 202 ? 7 2 ? ?x ? 9? ,解得 x ? 15 .
2

? R 2 ? x 2 ? 202 ? 252 ,? R ? 25 .
4 3 6 2 5 0 , V球 ? ?R ? ? S球 ? 4?R 2 ? 2500 ? (cm2) 3 3 62500 ? cm3. ? 球的表面积为 2500 ? cm2,体积为 3

? (cm3) ,

( 2 )当截面位于球心 O 的两侧时,如图所示为球的轴截面 . 由球的截面性质,知

O1 A // O2 B ,且 O1 、O2 分别为两截面圆的圆心,则 OO1 ? AO1 ,OO2 ? O2 B .设球的半
径为 R .

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?? ? O2 B 2 ? 49? ,? O2 B ? 7 .
同理, ? ? O1 A2 ? 400 ? ,? O1 A ? 20 . 设 O1O ? x ,则 OO2 ? 9 ? x . 在 Rt?OO1 A 中, R ? x ? 400.
2 2

在 Rt?OO2 B 中, R 2 ? ?9 ? x? ? 49 ,
2

? x 2 ? 400 ? ?9 ? x? ? 49 ,解得 x ? ?15 ,不合题意,舍去.
2

综上所述,球的表面积为 2500 ? cm2,体积为

62500 ? cm3. 3

解题后的思考:解题时要注意,球的截面可能位于球心的同侧,也可能位于球心的两侧. 知识点六:组合体的问题 例 8:求半径为 R 的球内接正方体的表面积. 思路分析:正方体内接球时,球与正方体关系如图(1) ,过不相邻的两条棱的平面截球,所 得截面如图(2) ,只有深刻理解其相互关系,才能画出正确的截面图进行解题.

解答过程:如图(1)所示,设正方体棱长为 x , B1 D 为正方体的对角线, 那么 3x 2 ? ?2R? ,? x ?
2

2 3 R, 3
2

? S 正方体表面积

?2 3 ? 2 ? ? 6?? ? 3 R ? ? 8R . ? ?
2

即正方体的表面积为 8R . 解题后的思考:组合体问题,尤其是球与其他几何体的组合问题,一直是高考中的热点,所 以同学们在平时的解题中应注意观察,有关球的组合体中各图形的位置关系.

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(答题时间:60 分钟) 一、选择题 1. 如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形,俯视图为一个半径为 3 的 圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( A. 3π B. 3π ) B. ) C. 3 3π D. 9 3π

2. 若正方体的八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面 体的表面积之比是( A.

3

2

C.

2 3

D.

3 2


3. 已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示, 则该空间几何体的体积是(

A.

14 3

B.

7 3

C. 14

D. 7 )

4. 一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为(

A. 48 ? 12 2 二、填空题

B. 48 ? 24 2

C. 36 ? 12 2

D. 36 ? 24 2

5. 一个长方体共顶点的三个面的面积分别为 2、 3、 6,这个长方体对角线的长是 __________ 6. 如下图是一个几何体的三视图(单位:m) ,则该几何体的体积为________.

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7. 如图是一个几何体的三视图.若它的体积是 3 3,则 a=________.

8. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的表面积 是 .

三、解答题 9. 如图所示,长方体 ABCD— A? B?C? D? 中,用截面截下一个棱锥 C— A? DD ? ,求棱 锥 C— A? DD ? 的体积与剩余部分的体积之比.

10. 一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器,里面装满水,一铁球沉入水内,有水 溢出,容器盖上一平板,恰与球相切,问容器内剩下的水是原来的几分之几?

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一、选择题 1. D 2. A 解析:如图所示,正方体的 A? 、 C ? 、 D 、 B 的四个顶点可构成一个正四面体, 设正方体边长为 a ,则正四面体边长为 2a .

? 正方体表面积 S1 ? 6a 2 ,正四面体表面积为 S 2 ? 4 ?
S1 6a 2 ? ? ? 3. S 2 2 3a 2

3 ? 4

? 2a ?

2

? 2 3a 2 ,

3. A 解析:这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台,这个四棱台的高是 1 2 2, 上底面是边长为 1 的正方形、 下底面是边长为 2 的正方形, 故其体积 V= × (1 + 12× 22+ 3 14 22)× 2= . 3 4. A 解析:如图所示三棱锥.

AO ? 底面BCD , O 点为 BD 的中点, BC ? CD ? 6 ,
BC ? CD , AO ? 4 , AB ? AD . 1 S ?BCD ? ? 6 ? 6 ? 18 , 2
S ?ABD ? 1 ? 6 2 ? 4 ? 12 2 . 2

取 CD 中点 E ,连接 AE 、 OE ,可得 AO ? OE ,

AE ? AO2 ? OE2 ? 42 ? 32 ? 5 ,
? S ?ACD ? S ?ABC ? 1 ? 6 ? 5 ? 15 , 2

? S 全 ? 18 ? 12 2 ? 15 ? 15 ? 48 ? 12 2 .
二、填空题

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5.

6 解析:如图所示,此几何体是一个以 AA1,A1D1,A1B1 为棱的长方体被平

6. 12 m3

面 BB1C1C 截去后得到的,易得其体积为长方体体积的 (m3) ,故所求几何体的体积为 12 m3.

3 ,因为长方体的体积为 2× 4× 2=16 4

3 解析:由三视图可知该几何体为一个直三棱柱,底面三角形中边长为 2 的边上 ?1×2×a?=3 3,a= 3. 的高为 a,∴V=3× ?2 ? 8. 24 ? 三、解答题 9. 解:已知长方体可看成直四棱柱 ADD ? A? — BCC ? B? . 设它的底面 ADD ? A? 的面积为 S,高为 h,则它的体积为 V=Sh. 而棱锥 C— A? DD ? 的底面面积为 S,高是 h, 因此,棱锥 C— A?DD? 的体积 VC—A′DD′= × Sh= Sh. 剩余部分的体积是 Sh- Sh= Sh. 所以棱锥 C— A?DD? 的体积与剩余部分的体积之比为 1∶5. 10. 解:设球的半径为 R ,则圆锥的高 h ? 3 R ,底面半径 r ?
1 6 5 6 1 3 1 2 1 6 1 2

7.

3R ,

V圆锥 ?

?
3

?

? 3R ? ? 3R ? 3?R
2

3

4 V 球 ? ?R 3 3

?

V球 V圆锥

4 3 ?R 4 3 ? ? 3 9 3?R
9 9

? 剩下的水量是原来的:1 ? 4 ? 5 . ? 容器内剩下的水是原来的 .
5 9

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