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高二模块选修(4-1)专题复习二-参数方程与普通方程(02)参考答案


高二模块选修(4-1)专题复习二
--参数方程与普通方程
¤知识要点: 1.参数方程的意义

( ? 为参数) ,则圆 M 上的点到直线 l 的最短 距离为



2( 2 ?1)

21 世纪教育网 21

? x ? f (t ) 在平面直角坐标系中,若曲

线 C 上的点 P( x, y) 满足 ? ,该 ? y ? f (t ) 方程叫曲线 C 的参数方程,变量 t 是参变数,简称参数。 2.参数方程与普通方程的互化 ※典例分析:
【例 1】 (2011 惠州高三第三次调研) 已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与 圆C :

【例 4】以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非 负半轴为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位 . 已知直线 l 的极坐标方 ? x ? 2 cos ? 程为 ? 曲线 C 的参数方程为 ? (? (cos? ? sin ?) ?2 5, ? y ? sin ? 为参数),则曲线 C 上的点到直线 10 为 . 2
l 的最短距离

? ? x ? cos ?, ?x ? C1? :? ( ? 为参数) ; C 2? :? ? 1 ? y ? sin ? ? ?y ? ? 2 ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 化 2 t 4

为普通方程为: C1? : x2 ? 4 y 2 ? 1 , C 2? : y ?

1 2 ,联 x? 2 2






2



2 x2 ?

2 x ? 2?

1 0 判 别 式 , 其

? (? 2
【例 5】

2 ? )

所以压缩后的直线 ? 4, ? 2 ? 1 0 C 2? 与椭圆 C1? 仍

? ?xy??11??2cos 2sin?

然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. ,则 C 上各点到 l 的距离的最小值为________
1 ?1 ? 4 1 ?1
2 2

※基础达标:

2 2 【解析】圆方程为 ( x- 1) ??( y ?1) ? 4 ,∴

d?

?2 2



? x ? cos ?, 【例 6】 (2008 海南、宁夏卷理)已知曲线 C1: ? (? ? y ? sin ?
? ?x ? ? 为参数) ,曲线 C2: ? ?y ? ? ? 2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 2

x ? 1 ? 2t ,则直线的斜率为( ) 1.若直线的参数方程为 ? (t为参数) ? ? y ? 2 ? 3t

A.

2 3

B. ?

∴距离最小值为 2 2 ? 2 。

解.D

2 3 3 C. D. ? 3 2 2 y ? 2 ?3t 3 k? ? ?? x ? 1 2t 2

x ? t ?3 【例 2】 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? (参 ? ?y ? 3?t
x ? 2cos? 数t ?R ) ,圆 C 的参数方程为 ? (参数 ? ??0, , 2?? ) ? ? y ? 2sin ? ? 2 则圆 C 的圆心坐标为 ,圆心到直线 l 的距离为 . 2 x ? 2cos ? 【解析】将 ? 消去参数得方程 x2 ? ( x ? 2) ? 4 ,圆 ? y ? 2sin ? ? 2 ?

2.下列在曲线 ?

(Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个 数; (Ⅱ)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别 得到曲线 C1?,C2? .写出 C1?,C2? 的参数方程. C1? 与 C 2? 公共 点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由. 【解析】 (Ⅰ) C2 是直线. C1 是圆, C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1, 圆心 C1 (0, 半径 r ? 1 .C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 . 因 0) , 为圆心 C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 1 ,所以 C2 与 C1 只有 一个公共点. (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为
1

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
(? B. 3 1 , ) 4 2
2



A. ( , ? 2) 解.B

1 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

转化为普通方程: y ? 1 ? x ,当 x ? ?

3 1 时, y ? 4 2


?x ? t ? 3 C 的圆心坐标为 (0, 2) . 将? 去参数得方程为 x+y-6=0, ?y ? 3?t
利用点到直线的距离公式得 d=
| 2 ?6| 2 ?2 2;

3.将参数方程 ? A. y ? x ? 2

2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数) 化为普通方程为( 2 y ? sin ? ? ?

B. y ? x ? 2 D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) 解.C

【例 3】 (安徽省 2010 年高 三质量检测)已知直线 l 的极坐标方

? x ? ?2 ? 2cos ? ? 2 程为 ? sin(? ? ) ? ,圆 M 的参数方程为 ? 4 2 ? y ? ?1 ? 2sin ?


转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

1 ? x ? 1? t 2 2 ? 2 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x ? y ? 16 交于 A, B 两 ? ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2

x ? cos? 6.【2010?辽宁理数】已知 P 为半圆 C: ? ( ? 为参数, ? ? y ? sin ?

由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根, 所以 ? 1

0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0) ,O 为坐标原点,点
M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 的长度均为

点,则 AB 的中点坐标为( A. (3, ?3) 解.D B. (? 3,3)

) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3)

? 。 3

?t ? t2 ? 3 2 ? , 又直线l过点P(3, 5), 故由上式及 t 的几 ? ?t1t2 ? 4

2 t ?t 1 3 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t )2 ? 16 ,得 t ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。 解: (Ⅰ)由已知,M 点的极角为 故点 M 的极坐标为(

何意义得:|PA|+|PB|= | t1|+|t 2 | = t1 +t 2 = 3 2 。

5 .与参数方程为 ? (
2

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t
2

(t为参数) 等价的普通方程为


2 B. x ? y ? 1(0 ? x ? 1) 4

? ? , ). 3 3

? ? ,且 M 点的极径等于 , 3 3

20.已知曲线 C 的参数方程是 ?

? ? x ? 2 ? 2 cos? (? 为参数),且 ? y ? 2 sin ? ?

2 A. x ? y ? 1 4

曲线 C 与直线 x ? 3 y =0 相交于两点 A、B (1)求曲线 C 的普通方程; (2)求弦 AB 的垂直平分线的方程(3)求弦 AB 的长

(Ⅱ)M 点的直角坐标为( 的参数方程为

?
6

,

y2 C. x2 ? ? 1(0 ? y ? 2) 4
2

2 D. x2 ? y ? 1(0 ? x ? 1,0 ? y ? 2) 4
2

3? ) ,A(0,1) ,故直线 AM 6

解.D x 2 ? t , y ? 1 ? t ? 1 ? x 2 , x 2 ? y ? 1, 而t ? 0,0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4

? x ? ?1 ? t 4. 【2010?湖南】 极坐标方程 ? ? cos ? 和参数方程 ? (t ? y ? 2 ? 3t
为参数)所表示的图形分别是( ) A、圆、直线 B、直线、圆 C、圆、圆 D、直线、直线

? ? x ? 1 ? ( ? 1)t ? 6 ? (t 为参数) ? 3 ? ?y ? t ? 6 ?
19. 【2010?福建理数】在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方
x ? 3? t , (t 为参数) 程为 ? 。在极坐标系(与直角坐标系 xoy ? 2 ? ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2 ? 2

? x ? 2 ? 2 cos? ? ? x ? 2 ? 2 cos? 解: (1)由 ? ?? ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ? ? ? ? y ? 2 sin ? ? y ? 2 sin ?
所以,曲线 C 的普通方程为(x-2) +y =2 (2)因为 k AB ?
2 2

3 ,所以 AB 的垂直平分线斜率为 k ? ? 3 3

又垂直平分线过圆心(2,0) ,所以其方程为 y= ? 3( x ? 2) (3) 圆心到直线 AB 的距离 d ?

x ? 2 ? 3cos ? 5. 【2010?安徽理数】设曲线 C 的参数方程为 ? (? ? ? y ? ?1 ? 3sin ?

取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程;

|2| 1? 3

? 1, 圆的半径为 r ? 2

为参数) ,直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距 离为 7 10 的点的个数为( )
10

所以 | AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 2 ? 1 ? 2 考点一:参数方程,极坐标方程和直角坐标方程的互化 1.( 2008 年江苏省盐城中学高三上学期第二次调研测试题)

A、1

B、2

C、3

D、4

(Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) , 求|PA|+|PB|。 (Ⅰ)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x2 ? y2 ? 2 5 y ? 0, 即 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5. (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得
(3 ?
2 2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 即 t ? 3 2 2

2t ? 4 ? 0,
2

4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 求直线 ? ( t为参数 )被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
截的弦长.

4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 【解析】将方程 ? , ? ? 2 cos(? ? ) 分别化为 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
普通方程:

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 右焦点,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数,t∈R). 2 ?y ? t ? 2 ?

(Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和. , 3x ? 4 y ? 1 ? 0 【 解 析 】 ( Ⅰ ) 直 线 l 普 通 方 程 为 y ? x?2; ………………………………2 分 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0, ……………………………………………… C 曲 线 的 普 通 方 程 为 2 2 x y (5 分) ………………………………4 分 ? ?1. 4 3 1 1 2 1 1 1 7 2 圆心C( ,- ),半径为 圆心到直线的距离d= ,弦长=2 r2 ?(d ?2 ?, F . (1,0) , Ⅱ) ∵ F1? (?1,0) 2 2 2 10 2 100 5 2 l ∴ 点 到 直 线 的 距 离 F1 考点二:了解参数方程和参数的意义. 2.2008 年宁夏银川一中第二次模拟考试数学试题(理科)

d1 ?

?1 ? 0 ? 2 2 F2 2 ?

?

3 2 , 2
到 直

………………………………6 分 线

点 设方程 ?

l







? x ? 1 ? cos? ? y ? 3 ? sin ?

, (θ 为参数).表示的曲线为 C,

d2 ?

1? ? 0

2 2 , 2

………………………………8 分

(1)求曲线 C 上的动点到原点 O 的距离的最小值 (2) 点 P 为曲线 C 上的动点, 当|OP|最小时(O 为坐标原点), 求点 P 的坐标。 设圆上的点 【解析】P(1+cosa,
2



d1 ? d2 ? 2 2.
…………………10 分

……………

3 ? sin a )(0≤a<2 ? ,)
2

|OP|= (1 ? cos a) ? ( 3 ? sin a) = 5 ? 4 cos(a ? 当 a=

?
3

)

4? 时 |OP|min=1. 3

(2)P( ,

1 3 ) 2 2

考点三:能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程 及极坐标方程 3.( 2008 年宁夏银川一中高三年级第三次模拟考试)已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 ,点 F1、F2 为其左, 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

3


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