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甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试数学(理)试题 Word版含答案


2013 年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联考考试 数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22)—(24) 题为选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,只收回答题卡和答题纸。 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓

名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案的标号;非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写无效。 4、保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5、做选做考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑.

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每題给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求) 1.设复数 z=2+bi (b∈R)且 z =2 2 ,则复数 z 的虚部为 A. 2 B.±2i C.±2 D. ±2 2 ( ) ( )

2.已知集合 A={y︱y=3 x A.[-1,1] B.(0,1)

},B={x︱x2>1},,则 A∩CRB =
C.[0,1] D. ? 0 ,1 ?

3.下列命题是真命题的是 A. a ? b 是 ac 2 ? bc 2 的充要条件 C. ?x ? R , 2 > x
x
2

( B. a ? 1 , b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 D. ?x0 ? R , e
x0

)

< 0 ( )

4.阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的 S 的值是 A.102 B.39 C.81 D.21

5 .若 cos(

?
4

? x) ?

1 3

, 则 cos(
1 9

?
2

? 2 x) ?

( D.
7 9

)

A.-

7 9

B.-

C.

8 9

6. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, a1=-15, 若

a3+a5= -18,则当 Sn 取最小值时 n 等于 (



A.9 B.8 C.7 D.6 7.已知一个几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为 A. 8 B. 8 C. 4 D. 4 2? 3 4? 3 4? 3 2? 3

(

)

8. 如果实数 x、y

?y ? 1 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

那么 z=2x+y 的范围为

(

)

9 A. ? - 3, ?

B. ?- 3 , 9 ?

9 C. ?- 1, ?

D. ?- 3 , 9 ? ( )

9.(2x+ ) (2x- ) 的展开式中各项系数之和为 3,则该展开式中常数项为
x x

a

1 5

A.40

B.160

C.0

D.320
?
2 )的最小正周期为π ,

10.f(x)= 3 sin(ω x+φ )+cos (ω x+φ ) (ω >0, ? <

且 (-x) (x) 则下列关于 g f =f , (x) sin = (ω x+φ ) 的图象说法正确的是 A.函数在 x∈[ C. 在 x∈[0,
?
6





?

, 4 3

?

]上单调递增

B. 关于直线 x= D. 关于点 (
?
6

7? 12

对称

]上,函数值域为[0,1]

,)对称 0
2

11.若 P 点是以 A(-3,0) 、B(3,0)为焦点,实轴长为 2 5 的双曲线与圆 x 2 ? y 一个交点,则 PA ? PB = A. 4 13 12. f ( x ) ? ?
? kx ? 2 ( x ? 0 ) ? ? ln x ( x ? 0 )

? 9

的 )

( C. 2 13 D. 3 14

B. 2 14

,则下列关于 y ? f [ f ( x )] ? 2 的零点个数判断正确的是( B.当 k<0 时,有 3 个零点



A.当 k=0 时,有无数个零点

C.当 k>0 时,有 3 个零点

D.无论 k 取何值,都有 4 个零点

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选做题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知平面向量 a   b 满足: a ? 1 , b ? 6 , a ? ( b ? a ) ? 2 ,则 a与 b 的夹角为 , 14. 6 人站一排照相,其中有甲乙两人,则甲乙两人之间间隔两人的排法有 15. 如右图, 在△ABC 中, AB=AC=2, 2 3 , D 在 BC BC= 点 上,∠ADC= 75 ,则 AD 的长为 16.给出下列命题:①抛物线 x= 2
?



A

1 4

y 的准线方程是 x=1;
2

B

D

C

②若 x∈R,则

x

? 3
2

?

的最小值是 2;

x

? 2
2

③ ? 2? sin xdx ? 2 ;
? 2

④若ξ ~N(3, ?

)且 P(0≤ξ ≤3)=0.4,则 P(ξ ≥6)=0.1 。

其中正确的是(填序号) 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本题满分为 12 分) 各项均为正数的等比数列{an}中,已知 a2=8, a4=128, bn=log2an . (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求数列{bn}的前 n 项和 Sn (3) 求满足不等式 (1 ?
1 S2 ) ? (1 ? 1 S3 ) ? ? ? (1 ? 1 Sn ) ? 1007 2013

的正整数 n 的最大值

18. (本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=CA =AA1=2,侧棱 AA1⊥面 ABC,D、E 分别是棱 A1B1、AA1 的中点, 点 F 在棱 AB 上,且 AF
? 1 4 AB .

(Ⅰ)求证:EF∥平面 BDC1; (Ⅱ)求二面角 E-BC1-D 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分) 高三年级有 3 名男生和 1 名女生为了报某所大学, 事先进行了多方详细咨询, 并根据自 己的高考成绩情况,最终估计这 3 名男生报此所大学的概率都是
1 2

,这 1 名女生报此所大

学的概率是

1 3

.且这 4 人报此所大学互不影响。

(Ⅰ)求上述 4 名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率; (Ⅱ)在报考某所大学的上述 4 名学生中,记 ? 为报这所大学的男生和女生人数的和, 试求 ? 的分布列和数学期望. 20. (本题目满分 12 分) 如图,已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0,2),与 x 轴正半轴相 交于两点 M,N (点 M 在点 N 的右侧) ,且 M N ? 3 。椭圆 D:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦距等于 2 O N ,且过点 (

2,

6 2

)

( I ) 求圆 C 和椭圆 D 的方程; (Ⅱ) 若过点 M 的动直线与椭圆 D 交于 A、 两点, B 若点 N 在以弦 AB 为直径的圆的外部, 求直线 l 斜率的范围。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 ax
2

? ( 2 a ? 1 ) x ? 2 ln x ( a ? R )

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值及函数 f ( x ) 的单调 区间; ( Ⅱ ) 设 g ( x ) ? ( x ? 2 x ) e , 若 对 任 意 x1 ? ? 0 , 2 , 均 存 在 x 2 ? ? 0 , 2 , 使 得 ? ?
2 x

f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) ,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 在 ? ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆 交于点 P,交 BC 延长线于点 D。 (1)求证:
PC AC ? PD BD



(2)若 AC=3,求 AP ? AD 的值。 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 设直线 l 的参数方程为 ? ?
x ? 2 ? t

(t 为参数) ,若以直角坐标系 x O y 的 O 点为极点,
8 cos ? sin
2

? y ? 2t

O x 轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为ρ =

?



(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求 A B . 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 (1)求 f(x)≤6 的解集 (2)若 f(x)≥m 对任意 x∈R 恒成立,求 m 的范围。

高三数学(理科)参考答案
一.选择题:CDBAD BDBCB CA 二.填空题:13: 60 三.解答或证明题: 17: (12 分) 解: (1)∵ 等比数列{an}的各项为正,a2=8, a4=128 设公比为 q
?

14:144

15: 6 -

2

16:⑴⑷

∴q
(4 分)

2

?

a4 a2

?

128 8

? 16

q=4 a1=2 ∴an=a1qn-1=2× 4

n ?1

= 2 2 n ?1

(2)∵ b n ? log ∴ (8 分) (3) ∵(11 S2

2

a n ? log

2

2

2 n ?1

? 2n ? 1

S n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n

=

1 ? 3 ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) ?

n ? (1 ? 2 n ? 1 ) 2

? n

2

) ? (1 ?

1 S3

) ? ? ? (1 ?

1 Sn

) ? 1(

1 2
2

)( 1 -

1 3
2

)? ?( 1 ?

1 n
2

)

=

1 2

?

3 2

?

2 3

?

4 5

???

n ? 2 n ?1

?

n n ?1

?

n ?1 n

?

n ?1 n

=

n ?1 2n



n ?1 2n

?

1007 2013

∴n≤2013

∴n 的最大值为 2013

(12 分) z

18(12 分)(1)证法一:设 O 为 AB 的中点,连结 A1O, ∵AF=
1 4

AB ,O 为 AB 的中点

∴F 为 AO 的中点,又 E 为 AA1 的中点 ∴EF∥A1O 又∵D 为 A1B1 的中点,O 为 AB 的中点 ∴A1D=OB 又 A1D∥OB ∴四边形 A1DBO 为平行四边形 ∴A1O∥BD 又 EF∥A1O ∴EF∥BD 又 EF ? 平面 DBC1 , BD ? 平面 DBC1 ∴EF∥平面 DBC1 证法二:建立如图所示的坐标系。 (坐标系建立仅为参考) ∵AB=BC=CA=AA1=2,D、E 分别为 A1B1、AA1 的中点,AF= E(-1,0,1) ( ,F
1 2 1 4

y

o (6 分)

x

AB

2 ,,),B(1,0,0) 0 0 ,D(0,0,2) 1(0, 3,)) ,C

设平面平面 DBC1 的法向量为 n ? ( x , y , z )
EF ? ( 1 2 , 0 , - 1), BD ? ( ? 1, 0 , 2 ) , BC 1 ? ( ? 1,

3 , 2)

BD ? n ? ? x ? 2 z ? 0

BC 1 ? ? x ?

3y ? 2z ? 0 n ? ( 2 , 0 ,1)


EF ? n ? 2 ? 1 2

z=1,



y=0,x=2

? 0 ? 1 ? ( ? 1) ? 0

∴ EF ? n (6 分)

又 EF ? 平面 BDC1

∴EF∥平面 BDC1

(2)设面 EBC1 的法向量为 m ? ( x , y , z )
BE ? ( ? 2 , 0 ,1) , BC 1 ? ( ? 1, BC 1 ? m ? ? x ? 3y ? 2z ? 0 3 ,2 )
BE ? m ? ? 2 x ? z ? 0

令 x=1,则 z=2,y=- 3 cos< m , n >=
m ?n m ? n ?

∴ m ? (1, ? 3 , 2 )
2 ?1 ? 0 ? (? 5 ?2 3) ? 1? 2 2 ? 10 5

由图知二面角 E-BC1-D 为锐二面角,所以二面角的余弦值为

10 5

(12 分)

19.(12 分)解: (1)记“报这所大学的人数中男生和女生人数相等的”事件为 A, 男生人数记为 Bi(i=0、1、2、3),女生人数记为 Ci(i=0、1) P(A)=P(B0C0)+P(B1C1)=
2 3 1 2 1
0

? C

0 3

(

1 2

) (

0

1 2

) ?
3

1 3 1 12

?C3(
1

1 2

) (

1

1 2

) =

2

5 24

(5 分)

(2)ξ =0,1,2,3,4 P(ξ =0)=
2 3 1 C3 (
0 0

) (

0

1 2 1

)

3

?

2 24

?
1

P(ξ =1)= C 3 ( ) ( ) ?
3

2 3 2 3 2 3

3

2

2

C3( C3 ( C3 (
3 2

1 2 1 2 1 2

) (
2

1

1 2

) = ) ?
1 0

2

7 24 9 24 ? 3 8

P(ξ =2)= C 3 ( ) ( ) ?
1 1 2

1

1

1

) (
3

1 2

3

2

2

P(ξ =3)= C 3 ( ) ( ) ?
2 2 1

1

1

1

) (

1 2

)

?

5 24

3

2

2

P(ξ =4)= C 3 ( ) ( ) ?
3 3 0

1

1

1

1 24

(9 分)

3

2

2

∴ξ 的公布列为: ξ 0 1 2 3 4

1

7 24

9 24

5 24

1 24

P

12

∴E(ξ )=0×

1 12

+1×

7 24

+2×

9 24

+3×

5 24

+4×

1 24

=

11 6

(12 分)

20. (12 分)解: (1)设圆半径为 r, 由条件知圆心 C(r,2) ∵圆在 x 轴截得弦长 MN=3 ∴r
2

? 2

2

? (

3 2

) ?
2

25 4

∴r=
)
2

5 2

C
2

∴圆 C 的方程为: ( x ?
2

5 2

? ( y ? 2)

?

25 4

(3 分)

G

上面方程中令 y=0,得 x ? 5 x ? 4 ? 0 解得 x=1 或 x=4, ∵点 M 在点 N 的右侧 ∴M(4,0),N(1,0) ∵椭圆焦距 2c=2 ON =2 ∴c=1 ∴椭圆方程可化为:
x a
6 2
2 2

? a

y
2

2

?1

?1

又椭圆过点( 2 ,



代入椭圆方程得: 2 a ? 9 a ? 4 ? 0
4 2

解得 a

2

? 4 或a

2

?

1 2

(舍)

∴椭圆方程为:

x

2

?

y

2

?1

(6 分)

4

3

(2)设直线 l 的方程为:y=k(x-4) 代入椭圆方程化简得: (4k
2

? 3) x
4

2

? 32 k x ? 64 k
2 2

2

? 12 ? 0
2

2 △=32 k

? 16 ( 4 k

? 3 )( 16 k

2

? 3 ) >0
2

k



1 4

设 A(x1,y1),B(x2,y2)

则 x1+x2=

32 k 4k
2

? 3

x1x2=

64 k 4k

2 2

? 12 ? 3

(7 分)

∵点 N 在以弦 AB 为直径的圆的外部, NA ? NB >0 ∴( x 1 ? 1 )( x 2 ? 1 ) ? y 1 y 2 >0
( 即: k
2

? 1) x 1 x 2 ? ( 4 k

2

? 1 )( x 1 ? x 2 ) ? 16 k

2

? 1 >0

(k

2

? 1)

64 k 4k

2 2

? 12 ? 3

-( 4 k

2

? 1)

32 k 4k
2

2

? 3

+ 16 k ? 1 >0
2

化简得: k

2



1 8



1 8

<k

2



1 4

( ∴k∈ ?

1 2

,?

2 4

)? (

2 4

,

1 2

)

(12 分) 21. ( 12 分 ) 解 】 Ⅰ ) f ? ( x ) ? a x ? ( 2 a ? 1) ? 【 (
f ? ( 1 )? f ? ( 3得 a ? )

2 x

, f ? (1) ? ? a ? 1, f ? (3 ) ? a ?

1 3

,由

2 3

,?(2 分)
( 2 x ? 3 )( x ? 2 ) 3x

f ?( x ) ? 3 2 , 2) .

2 3

x?

7 3

?

2 x

?

得其单调递增区间为 ( 0 , ), ( 2 , ? ? ) 单调递减区间为
2

3

(

(5 分)


2 x ? (Ⅱ)若要命题成立,只须当 x ? ? 0 , 2 ? 时, f ( x ) m a x ? g ( x ) m a x ,由 g( x ) = ( x ? 2 ) e 可

知 当 x ? ? 0 , 2 ? 时 g ( x ) m a x ? g ( 0 ) ? g ( 2 ) ? 0 ,所以只须 f ( x ) m ax ? 0 对 f ( x ) 来说, f ? ( x ) ? a x ? ( 2 a ? 1) ? ① 当a ?
1 2 1 a 2 x ? ( a x ? 1)( x ? 2 ) x 1 2a ?2

??(7 分)



时, f ( x ) m ax ? f ( ) ? ? 2 ln a ?
1 2

当 a ? 1 时,显然小于 0,满足题意,当 该函数在 意, ② 当a ?
1 2 1 2

? a ? 1 时,可令 h ( x ) ? ? 2 ln a ? 1 2a

1 2a

? 2 求导可知 1 2

? a ? 1 时单调递减, h ( x ) ? ? 2 ln a ?

? 2 ? 0 ,满足题意,所以 a ?

满足题

时, f ( x ) 在 x ? ? 0 , 2 ? 上单调递增, f ( x ) m ax ? f ( 2 ) ? 2 ln 2 ? 2 a ? 2 ? 0 得
1 2

ln 2 ? 1 ? a ?

综上所述,满足题意的 a ? ln 2 ? 1

??(12

分) 22. (10 分) (1) 证明:连结 BP,∵四边形 ABCP 内接于圆, ∴∠PCD=∠BAD 又∠PDC=∠BDA ∴△PCD~△BAD ∴
PC BA PC AC ? PD BD PD BD

又∵AB=AC ∴
?

(5 分)

(2)连结 BP。∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB 又∵四边形 ABCP 内接于圆 ∴∠ACB=∠APB 从而∠ABC=∠APB 又∠BAP=∠BAD ∴△PAB~BAD ∴
PA BA ? AB AD
2
2

∴ AP ? AD ? AB
? 9
2

2

又∵AB=AC=3 ∴ AP ? AD ? AB = AC 23. (10 分)解: (1)由ρ =
8 cos ? sin
2

(10 分)

?

得ρ sin ? ? 8 cos ?

?

2

sin

2

? ? 8 ? cos ?

∴y

2

? 8x

∴ 曲线 C 表示顶点在原点,焦点在 x 上的抛物线
x?2?t

(5 分)

x?2?

5 5

t

( 2 )

{

y?2t

化 为 {

y?

2 5

5

代 入 y
t

2

? 8x 得 t

2

? 2

5 t ? 20 ? 0

AB ? t 2 ? t 1 ?

(t 2 ? t1 )

2

? 4 t1t 2 ?

(2

5)

2

? 4 ? ( ? 20 ) ? 10

(10 分)

(或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可) 24. (10 分)解: (1) 2 x ? 1 ? x ? 2 ≤6 不等式等价于: { 2 1 - x ) ? ( x ? 2 ) ? 6 ( 等价于 {
x< -2 x? ?2
x< - 2

或 { 2 1- x ) ? x ? 2 ? 6 或 { 2 ( x ?1 ) ? x ? 2 ? 6 ( 或{
x> 1 x ? 10

? 2 ? x ?1

x> 1

或{

? 2 ? x ?1 x? ?2

∴不等式的解集为[-2,10]
4 - x ( x < - 2)

(5 分)

(2)由(1)知 { ? 3 x ( ? 2 ? x ? 1 )
x ? 4 ( x > 1)

容易求得函数最小值为-3 ∵f(x)≥m 对任意 x∈R 恒成立 ∴m≤-3

(10 分)


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