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【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 4-1角的概念的推广与任意角的三角函数 新人教A版


4-1 角的概念的推广与任意角的三角函数
基础巩固强化 1.(文)(2011?绵阳二诊)已知角 A 同时满足 sinA>0 且 tanA<0,则角 A 的终边一定落在 ( ) A.第一象限 C.第三象限 [答案] B [解析] 由 sinA>0 且 tanA<0 可知,cosA<0,所以角 A 的终边一定落在第二象限.选 B. (理)(20

12?广西田阳高中月考)若 sinα tanα <0,且 A.第一象限角 C.第三角限角 [答案] C [解析] 根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可. 由 sinα tanα <0 可知 sinα ,tanα 异号,从而 α 为第二或第三象限角. 由 cosα <0 可知 cosα ,tanα 异号,从而 α 为第三或第四象限角. tanα cosα <0,则角 α 是( tanα ) B.第二象限 D.第四象限

B.第二象限角 D.第四象限角

综上可知,α 为第三象限角. 2π ? ? 2π 2.(文)(2011?杭州模拟)已知角 α 终边上一点 P?sin ,cos ?,则角 α 的最小 3 3 ? ? 正值为( 5 A. π 6 2 C. π 3 [答案] B 2π π 3 [解析] 由条件知,cosα =sin =sin = , 3 3 2 2π π 1 sinα =cos =-cos =- , 3 3 2 ∴角 α 为第四象限角, π 11π ∴α =2π - = ,故选 B. 6 6 (理)已知锐角 α 终边上一点 P 的坐标是(4sin3,-4cos3),则 α 等于( A.3 B.-3
1

) B. 11 π 6

5 D. π 3

)

π C.3- 2 [答案] C

D.

π -3 2

π [解析] ∵ <3<π ,∴cos3<0,∴点 P 位于第一象限, 2 sin? -cos3 ∴tanα = = sin3 cos? π 3- ? 2 π 3- ? 2

? π? =tan?3- ?, 2? ?

π ? π? π ∵3- ∈?0, ?,∴α =3- . 2? 2 ? 2 3.若一个扇形的周长与面积的数值相等,则该扇形所在圆的半径不可能等于( A.5 [答案] B 1 2 1 [解析] 设扇形的半径为 R,圆心角为 α ,则有 2R+Rα = R α ,即 2+α = Rα 整理 2 2 4 4 得 R=2+ ,由于 ≠0, α α ∴R≠2. sinα +cosα 4.已知点 P(-3,4)在角 α 的终边上,则 的值为( 3sinα +2cosα 1 A.- 6 C. 7 18 B. 1 6 ) B.2 C.3 D.4 )

D.-1

[答案] B 4 [解析] 由条件知 tanα =- , 3 ∴ sinα +cosα tanα +1 1 = = . 3sinα +2cosα 3tanα +2 6 )

5.(文)设 0≤θ <2π ,如果 sinθ >0 且 cos2θ >0,则 θ 的取值范围是( 3π A.0<θ < 4 C. 3π <θ <π 4 π 3π B.0<θ < 或 <θ <π 4 4 D. 3π 5π <θ < 4 4

[答案] B [解析] ∵0≤θ <2π ,且 sinθ >0,∴0<θ <π . π π 又由 cos2θ >0 得,2kπ - <2θ <2kπ + , 2 2
2

π π 即 kπ - <θ <kπ + (k∈Z).∵0<θ <π , 4 4 π 3π ∴θ 的取值范围是 0<θ < 或 <θ <π . 4 4 (理)(2011?海口模拟)已知点 P(sinα -cosα , tanα )在第一象限, 则在[0,2π ]内 α 的取值范围是( π π A.( , ) 4 2 3π 5π C.( , ) 4 4 [答案] D
? ?sinα -cosα >0, [解析] ∵P 点在第一象限,∴? ?tanα >0, ?

) 5π B.(π , ) 4 π π 5π D.( , )∪(π , ) 4 2 4

如图,使 sinα >cosα 的角 α 终边在直线 y=x 上方,使 tanα >0 的角 α 终边位于第 π π 5π 一、三象限,又 0≤α ≤2π ,∴ <α < 或 π <α < . 4 2 4

6. (文)(2011?新课标全国理)已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y=2x 上,则 cos2θ =( 4 A.- 5 C. 3 5 ) 3 B.- 5 D. 4 5

[答案] B

3

[解析] 依题意:tanθ =±2,∴cosθ =±

1 5


2 2 2

2 3 cos θ -sin θ 1-tan θ 1-4 2 ∴cos2θ =2cos θ -1= -1=- 或 cos2θ = 2 = = =- 2 2 5 5 cos θ +sin θ 1+tan θ 1+4 3 ,故选 B. 5 (理)函数 f(x)=sinx 在区间[a, ]上是增函数, f(a)=-1, (b)=1, cos b 且 f 则 ( ) A.0 C.-1 [答案] D π [解析] 由条件知,a=- +2kπ 2 π a+b (k∈Z),b= +2kπ ,∴cos =cos2kπ =1. 2 2 B. 2 2

a+ b
2



D.1

7.(2011?太原调研)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴正半轴重合,点 P(- 4m,3m)(m>0)是角 α 终边上一点,则 2sinα +cosα =________. [答案] [解析] 2 5

y 3 2 2 由条件知 x=-4m,y=3m,r= x +y =5|m|=5m,∴sinα = = ,cosα r 5

x 4 = =- , r 5
2 ∴2sinα +cosα = . 5 8.(2011?江西文)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是 2 5 角 θ 终边上的一点,且 sinθ =- ,则 y=________. 5 [答案] -8 [解析] |OP|= 4 +y ,根据任意角三角函数的定义得, ±8, 2 5 又∵sinθ =- <0 及 P(4,y)是角 θ 终边上一点, 5 可知 θ 为第四象限角,∴y=-8. π 1 7π 9.(文)(2012?南昌调研)已知 sin(α + )= ,则 cos(α + )的值为________. 12 3 12
2 2

y
4 +y
2 2

=-

2 5 ,解得 y= 5

4

1 [答案] - 3 7π π π π 1 [解析] cos(α + )=cos[(α + )+ ]=-sin(α + )=- . 12 12 2 12 3 (理)如图所示,角 α 的终边与单位圆(圆心在原点,半径为 1 的圆)交于第二象限的点

Acosα , ,则 cosα -sinα =________.

3 5

7 [答案] - 5 3 [解析] 由条件知,sinα = , 5 4 7 ∴cosα =- ,∴cosα -sinα =- . 5 5 10.

(2011?广州模拟)A、B 是单位圆 O 上的动点,且 A、B 分别在第一、二象限.C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,△AOB 为正三角形.记∠AOC=α .

5

2 sin α +sin2α ?3 4? (1)若 A 点的坐标为? , ?,求 2 的值; cos α +cos2α ?5 5?

(2)求|BC| 的取值范围.

2

?3 4? [解析] (1)∵A 点的坐标为? , ?, ?5 5?
4 ∴tanα = , 3 sin α +sin2α sin α +2sinα cosα ∴ = 2 2 2 cos α +cos2α 2cos α -sin α sin α sinα 16 8 +2? + 2 2 cos α cosα tan α +2tanα 9 3 = = = =20. 2 2 sin α 2-tan α 16 2- 2- 2 cos α 9 (2)设 A 点的坐标为(cosα ,sinα ), ∵△AOB 为正三角形, π π ∴B 点的坐标为(cos(α + ),sin(α + )),且 C(1,0), 3 3 π π 2 2 2 ∴|BC| =[cos(α + )-1] +sin (α + ) 3 3 π =2-2cos(α + ). 3 而 A、B 分别在第一、二象限, π π ∴α ∈( , ). 6 2 π π 5π ∴α + ∈( , ), 3 2 6 π 3 ∴cos(α + )∈(- ,0). 3 2 ∴|BC| 的取值范围是(2,2+ 3). 能力拓展提升 α α α 11.(文)设 α 是第二象限角,且|sin |=-sin ,则 是( 2 2 2 A.第一象限角 C.第三象限角 [答案] C α [解析] ∵α 是第二象限角,∴ 是第一、三象限角, 2 B.第二象限角 D.第四象限角 )
2 2 2 2

6

α α 又∵sin ≤0,∴ 是第三象限角,故选 C. 2 2 α α |sin | |cos | 2 2 (理)若 α 是第三象限角,则 y= + 的值为( α α sin cos 2 2 A.0 C.-2 [答案] A α [解析] ∵α 为第三象限角,∴ 为第二、四象限角 2 当 当 α 为第二象限角时,y=1-1=0, 2 α 为第四象限角时,y=-1+1=0. 2 B.2 D.2 或-2

)

12.(文)若 θ ∈? 对应的点在( A.第一象限 C.第三象限 [答案] B [解析] )

?3π ,5π ?,则复数(cosθ +sinθ )+(sinθ -cosθ )i 在复平面内所 ? 4 ? ? 4
B.第二象限 D.第四象限

解法 1:如图,由单位圆中三角函数线可知,当 θ ∈? sinθ +cosθ <0,sinθ -cosθ >0.

?3π ,5π ?时, ? 4 ? ? 4

∴复数(cosθ +sinθ )+(sinθ -cosθ )i 在复平面内所对应点在第二象限.

7

解法 2:∵cosθ +sinθ π? ? = 2sin?θ + ?, 4? ? π? ? sinθ -cosθ = 2sin?θ - ?, 4? ? 又∵θ ∈? ∵

?3π ,5π ?.∴π <θ +π <3π ,∴sin?θ +π ?<0. ? 4 ? 4? 4 2 ? 4 ? ? ?

π? π π ? <θ - <π ,∴sin?θ - ?>0, 4? 2 4 ?

∴当 θ ∈?

?3π ,5π ?时,cosθ +sinθ <0,sinθ -cosθ >0.故选 B. ? 4 ? ? 4
)

( 理 )(2011? 绵 阳 二 诊 ) 记 a = sin(cos2010°) , b = sin(sin2010°) , c = cos(sin2010°),d=cos(cos2010°),则 a、b、c、d 中最大的是( A.a [答案] C 1 [解析] 注意到 2010°=360°?5+180°+30°, 因此 sin2010°=-sin30°=- , 2 cos2010°=-cos30°=- 3 π 3 π 1 1 3 π 1 3 ,- <- <0,- <- <0,0< < < ,cos >cos >0, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B.b C.c D.d

a=sin(-

3 3 1 1 1 1 )=-sin <0,b=sin(- )=-sin <0,c=cos(- )=cos >0,d=cos(- 2 2 2 2 2 2

3 3 )=cos >0,∴c>d,因此选 C. 2 2 [点评] 本题“麻雀虽小,五脏俱全”考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的 单调性等,应加强这种难度不大,对基础知识要求掌握熟练的小综合训练. 1 13. 已知角 θ 的终边上有一点 M(3, ), sinθ +cosθ =- , m 的值为________. m 且 则 5 [答案] -4 [解析] r= 3 +m = m +9, 依题意 sinθ = ∴ 即
2 2 2

m 3 ,cosθ = 2 , 2 m +9 m +9

m 3 1 + 2 =- . 2 5 m +9 m +9 m+3 1 =- , 2 5 m +9

9 解得 m=-4 或 m=- , 4

8

9 经检验知 m=- 不合题意,舍去. 4 故 m=-4. 14.(文)已知下列四个命题 2 5 (1)若点 P(a,2a)(a≠0)为角 α 终边上一点,则 sinα = ; 5 (2)若 α >β 且 α 、β 都是第一象限角,则 tanα >tanβ ; θ θ (3)若 θ 是第二象限角,则 sin cos >0; 2 2 7 (4)若 sinx+cosx=- ,则 tanx<0. 5 其中正确命题的序号为________. [答案] (3) [解析] (1)取 a=1,则 r= 5,sinα = 再取 a=-1,r= 5,sinα = 2 2 = 5; 5 5

-2 2 =- 5,故(1)错误. 5 5

π π π 3 (2)取 α =2π + ,β = ,可知 tanα =tan = ,tanβ = 3,故 tanα >tanβ 6 3 6 3 不成立,(2)错误. θ θ 1 (3)∵θ 是第二象限角,∴sin cos = sinθ >0,∴(3)正确. 2 2 2 7 (4)由 sinx+cosx=- <-1 可知 x 为第三象限角,故 tanx>0,(4)不正确. 5 (理)直线 y=2x+1 和圆 x +y =1 交于 A,B 两点,以 x 轴的正方向为始边,OA 为终边 (O 是坐标原点)的角为 α ,OB 为终边的角为 β ,则 sin(α +β )=________. 4 [答案] - 5 4 2 2 2 [解析] 将 y=2x+1 代入 x +y =1 中得,5x +4x=0,∴x=0 或- ,∴A(0,1), 5 3? 3 4 ? 4 B?- ,- ?,故 sinα =1,cosα =0,sinβ =- ,cosβ =- ,
2 2

? 5

5?

5

5

9

4 ∴sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ =- . 5 π [点评] 也可以由 A(0,1)知 α = , 2 ∴sin(α +β )=sin?

?π +β ?=cosβ =-4. ? 5 ?2 ?

2 ?1 ? 2 15.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P? ,cos θ ?在角 α 的终边上,点 Q(sin θ ,-1) ?2 ?

1 → → 在角 β 的终边上,且OP?OQ=- . 2 (1)求 cos2θ 的值; (2)求 sin(α +β )的值. 1 → → [解析] (1)因为OP?OQ=- , 2 1 2 1 2 所以 sin θ -cos θ =- , 2 2 1 1 2 2 2 2 即 (1-cos θ )-cos θ =- ,所以 cos θ = , 2 2 3 1 2 所以 cos2θ =2cos θ -1= . 3 2 1 2 2 (2)因为 cos θ = ,所以 sin θ = , 3 3

?1 2? ?1 ? 所以点 P? , ?,点 Q? ,-1?, ?2 3? ?3 ?
10

?1 2? 又点 P? , ?在角 α 的终边上, ?2 3?
4 3 所以 sinα = ,cosα = . 5 5 3 10 10 同理 sinβ =- ,cosβ = , 10 10 所以 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ 4 10 3 ? 3 10? 10 = ? + ??- ?=- 10 . 5 10 5 ? 10 ? 16.周长为 20cm 的扇形面积最大时,用该扇形卷成圆锥的侧面,求此圆锥的体积. [解析] 设扇形半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20, 1 1 ∴l=20-2r,S= rl= (20-2r)?r=(10-r)?r, 2 2 ∴当 r=5 时,S 取最大值. 此时 l=10,设卷成圆锥的底半径为 R,则 2π R=10, 5 ∴R= , π ∴圆锥的高 h= 1 3 π 3
2 ? 5 ?2=5 π -1, 5 -? ? π ?π ? 2

V= π R2h= ?? ?2? π

?5? ? ?

5 π -1 125 π -1 = . 2 π 3π

2

2

3π 3π 1.(2011?深圳一调、山东济宁一模)已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上, 4 4 且 θ ∈[0,2π ),则 θ 的值为( A. C. π 4 5π 4 ) B. D. 3π 4 7π 4

[答案] D 3π cos 4 3π 3π [解析] 由 sin >0,cos <0 知角 θ 是第四象限的角,∵tanθ = =-1,θ 4 4 3π sin 4 7π ∈[0,2π ),∴θ = . 4

11

2.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其所对圆心角的弧度数为( A. π 3 B. 2π 3

)

C. 3 [答案] C

D. 2

[解析] 设圆的半径为 R,由题意可知:圆内接正三角形的边长为 3R,∴圆弧长为 3

R.
∴该圆弧所对圆心角的弧度数为 3R

R

= 3. )

1 1 1 3. a=log tan70°, =log sin25°, =log cos25°, 设 b c 则它们的大小关系为( 2 2 2 A.a<c<b C.a<b<c [答案] A B.b<c<a D.b<a<c

1 [解析] ∵tan70°>tan45°=1>cos25°=sin65°>sin25°>0,y=log x 为减函数, 2 ∴a<c<b. 4.如图所示的程序框图,运行后输出结果为( )

A.1 [答案] C

B.2680

C.2010

D.1340

12

[解析] ∵f(n)=2sin? 框图是计算数列 an=2cos

?nπ +π ?+1=2cosnπ +1.由 S=S+f(n)及 n=n+1 知此程序 2? 3 ? 3 ?
+1 的前 2010 项的和.


3

π 2π 3π 2010π ? ? ? ? ? ? ? +1? 即 S=?2cos +1?+?2cos +1?+?2cos +1?+?+?2cos ? 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 2π 3π 2010π ? π 2π ? π = 2 ?cos +cos +cos +?+cos ? + 2010 = 2?335?cos 3 + cos 3 + 3 3 3 3 ? ? 3π 4π 5π 6π cos +cos +cos +cos +2010=2010. 3 3 3 3 5.已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),且 cosα = [解析] ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= x +2. 又 cosα = 3 x 3 x,∴cosα = 2 = x. 6 6 x +2
2

3 1 x.求 sinα + 的值. 6 tanα

∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3. 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 由三角函数的定义,有 sinα =- 6 1 , =- 5, 6 tanα

1 6 6 5+ 6 ∴sinα + =- - 5=- ; tanα 6 6 1 6 5- 6 当 x=- 10时,同理可求得 sinα + = . tanα 6

13


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