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2016年高考数学总复习 第五章 第3讲 等比数列课件 理


第3讲

等比数列

1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有
关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.

1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于

同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫 公比 ,通常用字母 q 表示. 做等比数列的______ 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=

a1· qn-1.

3.等比中项 若 G2=a· b(ab≠0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广:an=am· qn m(n,m∈N*).


(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*), 则 ak· al=am· an.
? ?1? ? ? (3)若{an}, {bn}(项数相同)是等比数列, 则{λan}(λ≠0),a ?, ? ? n? ? ?an? 2 {an},{an· bn},?b ?仍是等比数列. ? ? n? ? ? ?

(4)已知等比数列{an}, ①若首项 a1>0,公比 q>1 或首项 a1<0,公比 0<q<1,则数 列{an}单调递增;

②若首项 a1>0,公比 0<q<1 或首项 a1<0,公比 q>1,则数
递减 ; 列{an}单调________ ③若公比 q=1,则数列{an}为常数列; ④若公比 q<0,则数列{an}为摆动数列.

5.等比数列的前 n 项和公式

设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn.

na1 ; 当 q=1 时,Sn=________
a1-anq a1?1-q ? 1-q 当 q≠1 时,Sn= =________. 1-q
n

6.等比数列前 n 项和的性质 若公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,

S2n-Sn,S3n-S2n 仍是等比数列.

1.在等比数列{an}中,a4=4,则 a2· a6=( C ) A.4 B.8 C.16 D.32

S4 2. 设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn, 则a =( C ) 2 A.2 B.4 15 C. 2 17 D. 2

15 3.首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4=____. 4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=6,S4=30,则 126 S6=________.

考点 1 等比数列的基本运算 例 1:(1)(2014 年江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中, 若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6=________. 解析:由 a8=a6+2a4,得 a1q7=a1q5+2a1q3,即

q4-q2-2=0,q2=2 或 q2=-1(舍).a6=a2q4=1×22=4.
答案:4

(2)(2013 年北京)若等比数列{an}满足 a2 +a4 =20,a3 +a5 =40,则公比 q=________,前 n 项和 Sn=__________.

解析:由 a2+a4=a1(q+q3)=20,a3+a5=a1(q2+q4)=40,
? ?a1=2, 得? ? ?q=2.

2?1-2n? n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2
2n+1-2

答案:2

【规律方法】在解决等比数列问题时,已知 a1,an,q,n,

Sn 中任意三个,可求其余两个,称为“知三求二”.而求得 a1
和 q 是解决等比数列{an}所有运算的基本思想和方法.

【互动探究】 1.(2013 年广东)设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等 15 比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4|=________. 解析:a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.

考点 2 求等比数列的前 n 项和 例 2:(2014 年重庆)已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差 数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn; (2)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比 q 满足 q2-(a4+1)q

+S4=0,求{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn.
解:(1)等差数列{an}的首项为 1,公差为 2, n?n-1? ∴an=a1+(n-1)d=2n-1,Sn=na1+ 2 d=n2. 即 an=2n-1,Sn=n2.

(2)由(1),得 a4=7,S4=16. 解方程 q2-8q+16=0,即(q-4)2=0.∴q=4. 从而 bn=b1qn 1=2×4n 1=22n 1,
- - -

2×?1-4n? 2?4n-1? Tn = = . 3 1-4
【规律方法】设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项 和为 Sn,则①当 q=1 时,Sn=na1;
a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ②当 q≠1 时,Sn= = . 1? q 1? q

【互动探究】
2.(广西百所示范性中学 2015 届高三第一次大联考)已知 数列{an}为等差数列,且 a1=3,{bn}为等比数列,数列{an+bn}

的前三项依次为 5,9,15,求:
(1)数列{an},{bn}的通项公式;

(2)数列{an+bn}的前 n 项和.

解:(1)设公差为 d,公比为 q, ? ?a1=3, ?a1+b1=5, ∴? ?a2+b2=9, ? ?a3+b3=15. 解得 b1=2,d=2,q=2. ∴an=2n+1,bn=2n. (2)Sn=(a1+a2+?+an)+(b1+b2+?+bn) n?3+2n+1? 2?1-2n? = + 2 1-2 =n2+2n+1+2n-2.

考点 3 等比数列的性质

例 3:(1)(2014 年广东)等比数列{an}的各项均为正数,且

a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=_________.
解析:∵等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=a2 3=4, ∴a3=2,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5
5 =log2(a1a2a3a4a5)=log2a3 =log225=5.

答案:5

(2)(2014 年大纲)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若S2=3,

S4=15,则 S6=(
A.31

)
B.32 C.63
? ?a1=1, 解得? ? ?q=2.

D.64

解析:方法一:由 S2=3,S4=15,
? ?a1?1+q?=3, 得? 2 3 ? a ? 1 + q + q + q ?=15. ? 1

1×?1-26? 则 S6= =63. 1-2 方法二:a1+a2=3,a3+a4=S4-S2=12.由等比数列的性 质,得 a5+a6=48,则 S6=48+15=63.

答案:C

【规律方法】?1?解决给项求项问题,先考虑利用等比数列 的性质“若 m+n=p+q?m,n,p,q∈N*?,则 am· an=ap· aq”, 再考虑基本量法. ?2?等比数列前 n 项和的性质:若公比不为-1的等比 数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍是 等比数列.

【互动探究】
1 3.(2012 年广东)等比数列{an}满足 a2a4= ,则 a1a2 3a5= 2 1 4 ________.

1 1 1 2 2 4 解析:a2a4= ?a3= ,a1a3a5=a3= . 2 2 4

●易错、易混、易漏● ⊙在等比数列的计算中没有充分考虑项的符号规律 例题:在等比数列{an}中,a2,a10 是方程 x2+8x+4=0 的 两根,则 a6=( A.-2 ) B.±2 C.2 D.4

? ?a2+a10=-8<0, 2 正解:∵a6=a2· a10=4,∴a6=± 2.又? ? a10>0, ?a2·

∴a2,a10 同为负数.显然 a6 与 a2,a10 同号,故 a6=-2.
答案:A

【失误与防范】本题很容易出现这样的错解:∵a2 a10 6=a2· =4,∴a6=± 2,故选 B.这是因为解题时没有注意等比数列“所 有奇数项同号,所有偶数项也同号”这一规律;另外 a2,a10 同 为负数这一条件也比较隐蔽.


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