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广东高考试题数列


广东高考试题训练——数列
一、选择题: 1. (2008 年高考)记等差数列的前 n 项和为 S n ,若 S2 ? 4, S4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? ( A.2 【答案】B B.3 C.6 D.7 )

【解析】 S4 ? S2 ? S2 ? 4d ? 12 ? d ? 3 ,选 B. 2. (2009 年高考)已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a5 , a2=1 ,则 a1= (
2



A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2

【答案】B
2 8 4 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q

?

? ,即 q
2

2

? 2 ,因为等比数列 {a n } 的公比为正数,所

以q ?

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ? ? ,选 B q 2 2

3. (2010 年高考)已知数列 {an } 为等比数列, S n 是它的前 n 项和.若 a2 ? a3 ? 2a1 且 a4 与 2a7 的等差中项 为

5 ,则 S 5 ? 4
B.33 C.31 D.29

A.35 【答案】C

4.(2013 年高考)设数列 ? an ? 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ____________; 【答案】 15 ; 【解析】由题意知 a1 ? 1 , a2 ? ?2 , a3 ? 4 , a4 ? ?8 ,所以; a1 ? a2 ? a3 ? a4

? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 15 ;
二、填空题: 1. (2007 年高考)已知数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 9n ,则其通项 an ?
2

;若它的第 k

项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? 【答案】 2n ?10 , 8



2. (2011 年高考)已知 ?a n ? 是递增等比数列, a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比 q ? 【答案】2 【解析】∵ a4 ? a3 ? a2 (q ? q) ? 2(q ? q) ? 4 ,∴ q ? 2 或 q ? ?1 (舍去) .
2 2



3. (2012 年高考)若等比数列 {an } 满足 a2 a4 ?

1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2
1



【答案】

1 4 1 1 2 4 ,∴ a1a3 a5 ? a3 ? . 2 4
1 3

2 【解析】∵ a2 a4 ? a3 ?

三解答题 1、 (2009 年高考)已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的图像上一点.等比数列 ?an ? 的前 n 项
x

和为 f (n) ? c .数列 ?bn ? (bn ? 0) 的首项为 c 且前 n 项和 S n 满足 S n ? S n ?1 ? (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?

S n ? S n ?1 (n ? 2) .

? 1 ? 1000 的最小正整数 n 是多少? ? 的前 n 项和为 Tn ,问满足 Tn ? 2009 ? bn bn ?1 ?

【解析】 (1)∵ f ?1? ? a ?

1 1 x ,∴ f ( x) ? ( ) . 3 3

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? . ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 又数列 ? an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,∴ c ? 1 . a3 ? 2 3 3 27
又公比 q ?

a2 1 2 1 1 ? ,所以 an ? ? ( ) n ?1 ? ?2( ) n , n ? N * ; a1 3 3 3 3

∵ S n ? S n ?1 ?

?

S n ? S n ?1

??

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1

?

? n ? 2? ,

又 bn ? 0 , S n ? 0 ,∴ S n ? S n ?1 ? 1 ; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2 2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2 ,

* 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1 ( n ? N ).

(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1? 1? 1 1 ?1 ?1 1 ? 1 1 1 ? n ? ? 1 ? 1 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ; ? ? ?1 ? ?? 2? 3? 2 3 ?5 ? 2 5 ? 7 n 1 2 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2 ? ? 2? 2 n? ?
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ,得 n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112 . ? 2n ? 1 2009 9 2009

2

2、 (2012 年高考) 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , 数列 ? S n ? 的前 n 项和为 Tn , 满足 Tn ? 2Sn ? n ,n ? N .
2 *

(1)求 a1 的值; (2)求数列 ? an ? 的通项公式. 解析】 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1 , ∵ a1 ? S1 ? T1 ,∴ a1 ? 2a1 ? 1 ,∴ a1 ? 1 ,
2

(2)当 n ? 2 时,

Sn ? Tn ? Tn ?1 ? (2Sn ? n 2 ) [2Sn ?1 ? (n ? 1)2 ] -

? 2( Sn ? Sn?1 ) ? 2n ? 1 ? 2an ? 2n ? 1 ,
∵当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn ?1 ? (2an ? 2n ? 1) [2an ?1 ? 2(n ? 1) ? 1] ∴ an ? 2an?1 ? 2 , ∴ an ? 2 ? 2(an ?1 ? 2) , ∴数列 {an ? 2} 是以 a1 ? 2 ? 3 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴ an ? 2 ? 3 ? 2 ∵ an ? 1 ? 3 ? 2 ∴ an ? 3 ? 2
n ?1

,∴ an ? 3 ? 2

n ?1

?2,

1?1

? 2,

n ?1

? 2 , n ? N* .

2 2、 (2013 年高考)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 4Sn ? an?1 ? 4n ? 1, n ? N * ,

3

且 a2 , a5 , a14 构成等比数列; (1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ? an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2
2
2

2 (1)证明:因为 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N * ,令 n ? 1 ,则 4S1 ? a2 ? 4 ? 1 ,即 a2 ? 4a1 ? 5 ,所以

a2 ? 4a1 ? 5 ;
2 2 (2)当 n ? 2 时, 4an ? 4 S n ? 4 S n ?1 ? an ?1 ? 4n ? 1 ? ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1? ? an ?1 ? an ? 4 , ? ?
2 2

?

?

所以 an ?1 ? (an ? 2) ,因为 ? an ? 各项均为正数,所以 an ?1 ? an ? 2 ;
2 2

a 因 为 a2 , a 5, a 1 4构 成 等 比 数 列 , 所 以 a2 ? a1 4 ? a 5 , 即 a2 ( a2 ? 2 4 )? ( 2 ? 6 ), 解 得 a2 ? 3 , 因 为
2
2

a2 ? 4a1 ? 5 ,所以 a1 ? 1 , a2 ? a1 ? 2 ,符合 an?1 ? an ? 2 ,所以 an?1 ? an ? 2 对 n ? 1 也符合,所以
数列 ? an ? 是一个以 a1 ? 1 为首项, d ? 2 为公差的等差数列, an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ; (3)因为

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,所以 an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) a1a2 a2 a3 an an ?1 2 1 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1

1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1 ?1 1 ? n 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ; ?? ? ? ?? 2 ?1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 1 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 2
所以对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

4


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