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2015届高考数学 江苏专用 【应用题中的瓶颈题】


第 3讲

应用问题中的“瓶颈题”

数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的 应用题有:(1) 函数与不等式模型;(2) 函数与导数模型;(3) 三角函数模型;(4) 数 列模型.解决实际问题的一般步骤:(1) 阅读题目,理解题意;(2) 设置变量,建立函数 关系;(3) 应用函数知识或数学方法解决问题;(4) 检验,作答.解应用题的一般思路 可表示如下:

分类解密———专题突破
函数与不等式模型的应用题 例1 某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和

1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同. 现将工人分成两组,分别加工一种零件,同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人, 在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g(x),加工完 B型零件所需时间为h(x). (1) 比较g(x)与h(x)的大小,并写出完成总任务的时间f(x)的解析式; (2) 应怎样分组,才能使完成任务用时最少? 练习 如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金

箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔 的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S. (1) 用x,y,a,b表示S; (2) 若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大,求四个矩形

木雕总面积的最大值及对应的x,y的值.

(练习)

函数与导数模型的应用题 例1 某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分

为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界 为曲线f(x)=1-ax2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P, 设P(t,f(t)). (1) 将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t);
1 (2) 若在t= 2 处,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.

(例1) 练习 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m的水底进行

作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用 氧量为cv2(c为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;
v ③返回水面时,平均速度为 2 (米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在

此次考古活动中,总用氧量为y. (1) 求出y关于v的函数解析式;

(2) 设0<v≤5,试确定下潜速度v,使总的用氧量最少.

三角形与三角函数模型 例1 如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地

方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC=a,∠ABC=θ ,设△ ABC的面积为S1,正方形PQRS的面积为S2. (1) 用a,θ 表示S1和S2;

S1 (2) 当a固定,θ 变化时,求 S 2 的最小值.

(例1) 练习 (2014·淮安中学)如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中

心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用 这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边 界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=45°,OB与OM之间的 夹角为θ . (1) 将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ 的函数. (2) 求当矩形ABCD的面积S最大时,θ 的值,并求最大值.(用含R的式子表示)

(练习)

解析几何模型 例1 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中

心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为r(r>0)km的圆形区域.轮船的航行 方向为西偏北45°且不改变航线,假设台风中心不移动. (1) r在什么范围内,轮船在航行途中不会受到台风的影响? (2) 当r=60时,轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米? 练习 (2014·江苏卷)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同

时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线 段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经 测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠
4 BCO= 3 .

(1) 求新桥BC的长; (2) 当OM多长时,圆形保护区的面积最大?

(练习)

数列模型 例1 商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行

贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1000人的学生公寓,工程于2012年年初 动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%,按复 利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建 行贷款. (1) 若公寓收费标准定为每名学生每年800元,问:到哪一年可还清建行全部贷

款? (2) 若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清,则每名学生每年的最低收费 标准是多少元?(精确到元,参考数 据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774) 练习 某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表

明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数

?1,1 ? x ? 20,x ? N* , ? ?1 * ? x,21 ? x ? 60,x ? N f(x)= ?10 (单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得
第x个月的利润 的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)= 第x个月的资金总和 ,例

f (3) 如,g(3)= 81 ? f (1) ? f (2) .

(1) 求g(10); (2) 求第x个月的当月利润率; (3) 该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大?并求出该月的当月利 润率.

立体几何体模型 例1 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m),其中容器的

中间为圆柱形,高为l,左右两端均为半球形,半径为r,按照设计要求容器的体积为
80 π 3 m3,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平

方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建 造费用为y千元. (1) 求y关于r的函数解析式,并求该函数的定义域; (2) 求该容器的建造费用最小时半径r的值.

(例1)

【归纳提升】 常见应用问题与数学模型及其处理: 1. 优化问题:实际问题中的“优选”、“控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线 性规划”问题解决. 2. 预测问题:经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决. 3. 最(极)值问题:工农业生产、建设及实际生活中的极限问题,常设计成“函数 模型”,转化为求函数的最值. 4. 等量关系问题:建立“方程模型”解决. 5. 测量问题:可设计成“图形模型”利用几何知识解决. 总之,解应用题关键是将文字语言翻译成数学语言,常借助画图法抽象成数学问 题,并注意解模后的验证. 【评价反馈】 1. 某医药研究所开发了一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每 毫升血液中的含药量y(μ g)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线. (1) 写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t); (2) 据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25μ g时,治疗有效,则服药一次后 治疗有效的时间是多长?

(第1题)

2. (2014· 苏州暑假调查)如图,某自来水公司要在公路两侧放置排水管,公路为东西 方向,在路北侧沿直线l1排,在路南侧沿直线l2排,现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1 与l2接通.已知AB=60m,BC=80m,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的部分的 排管费用为每米2万元,设EF与AB所成的小于90°的角为α . (1) 求矩形区域ABCD内的排管费用W关于α 的函数关系式; (2) 求排管的最小费用及相应的角α .

(第2题)

3. 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一 年维修、 保养费用为12万元,从第二年开始,每年所需维修、 保养费用比上一年增加4 万元.该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万 元. (1) 写出y与x之间的函数关系式; (2) 从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值)? (3) 使用若干年后,对机床的处理方案有两种: ①当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床; ②当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.问:用哪种方案处理较为合算? 请说明你的理由.

4. 假设某市2011年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在 今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房 中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米. (1) 到哪一年底该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首 次不少于4750万平方米? (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

5. 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1 ≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(7≤x≤9)元时,一年的销售量为 (10-x)2万件. (1) 求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x); (2) 当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大 值.

6. 某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80m,塔所在的 山高OB=220m,OA=200m,图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上,与水平地面的
1 夹角为α ,tanα = 2 .试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC最大?(不计此

人的身高)

(第6题)

第3讲

应用问题中的“瓶颈题”

考点1

函数与不等式模型的应用题 【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x),然后通过作差找出分界

【例1】

点,得到一个分段函数. 【解答】由题设,每个工人在单位时间内加工5k个A型零件,所以x个工人在单位
1500 ? 3 900 时间内加工5k·x个A型零件.总共需要1500×3个A型零件,所以g(x)= 5kx = kx .

1500
单位时间内加工B型零件的个数为3k,所以h(x)= 3k

500 x = k (214-x) .

500 192600-1400 x 900 (214-x) , (1) g(x)-h(x)= kx - k (214-x) = kx·
因为1≤x<214,x∈N, 所以:①当1≤x≤137时,g(x)>h(x); ②当138≤x≤213时,g(x)<h(x); 即当x≤137时,加工A型这一组所用的时间多;当x≥138时,加工B型这一组所用 的时间多.要完成任务必须使两组全完成才能完成任务,故完成总任务时间是:
? 900 ,1 ? x ? 137,x ? N, ? ? kx ? 500 ? ,138 ? x ? 213,x ? N. ? ? k (214-x)

f(x)=

4 (2) 要使任务完成最快,|g(x)-h(x)|应最小,令g(x)-h(x)=0,得x=137 7 .

因为x∈N,所以需比较x=137和138时,|g(x)-h(x)|的大小.

经比较,加工A型零件有137人,加工B型零件有77人时,完成任务的用时最少. 另外可以这样考虑,要使任务完成最快,即求函数f(x)的最小值.

900 当1≤x≤137,x∈N时,f(x)= kx ,显然x=137时,f(x)最小.当138≤x≤213,x∈

500 N时,f(x)= k (214-x) ,显然x=138时,f(x)最小,比较x=137和x=138时f(x)的大小,可
知当x=137时,f(x)最小. 【练习】 【解答】(1) 由题意知S=2bx+2ay+4xy+ab(x,y>0).

(2) 因为x,y>0,所以2bx+2ay≥2 2bx ay ,当且仅当bx=ay时,等号成立. 从而S≥4 令t=

abxy +4xy+ab,(*)

xy ,则t>0,

上述不等式(*)可化为4t2+4 ab t+ab-S≤0,
- S - ab S - ab 2 2 解得 ≤t≤ , S - ab 2 因为t>0,所以0<t≤ ,

ab ? S -2 abS 4 从而xy≤ .

?bx ? ay, ? 由 ?S ? 2bx ? 2ay ? 4 xy ? ab,

? abS -ab , ?x ? ? 2b ? ? y ? abS -ab ? 2a 解得 ? (负根舍去).
abS -ab abS -ab 2b 2a 所以当x= ,y= 时,四个矩形木雕的总面积最大,最大值为

ab+S-2 abS .

考点2

函数与导数模型的应用题

【例1】

【解答】(1) 由f(x)=1-ax (a>0)可得f'(x)=-2ax,P(t,f(t)).

2

直线MN的斜率k=f'(t)=-2at,则直线MN的方程为y-1+at2=-2at(x-t),

? 1-at 2 ? 1-at 2 ,0 ? ?t ? at ? ?; 2 at 令y=0,可得xM=t+ ,可得M
令x=0,可得yM=1+at2,可得N(0,1+at2),

at ? 1 (at ? 1) 1 2 所以S(t)=S△OMN= 2 ×(1+at )× 2at = 4at .
2 2 2

1 (2) 当t= 2 时,S(t)取得最小值,

2(at 2 ? 1) ? 2at ? 4at -4a(at 2 ? 1)2 (at 2 ? 1)(12a 2t 2 -4a) 16a 2t 2 16a 2t 2 S'(t)= = ,
?1? 1 4 ? ? 2 2 由题意知S' ? ? =0,即12a × 4 -4a=0,解得a= 3 ,

?4 1 ? ? ? ? 1? ?3 4 ? 2 2 1 ? ? (at ? 1) 4 1 2 4? ? ? ? 3 2 =3. 此时S(t)的最小值为S ? 2 ? = 4at =

2

【练习】

【分析】构建函数模型,然后利用导数研究函数的单调性和最值.

30 30 【解答】(1) 潜入水底用时 v 单位时间,用氧量为 v ×cv2=30cv;水底作业时

用氧量为5×0.4=2;
60 60 12 返回水面用时 v 单位时间,用氧量为 v ×0.2= v . 12 所以y=30cv+2+ v (v>0).

12 12 30cv ? v =2+12 10c . (2) y=30cv+2+ v ≥2+2
2 12 当且仅当30cv= v ,即v= 5c 时取等号.

2 2 2 当 5c ≤5,即c≥ 125 时,v= 5c 时,y的最小值为2+12 10c .
2 2 2 12 30cv -12 2 v2 当 5c >5,即c< 125 时,y'=30c- v = <0,

12 因此函数y=30cv+2+ v 在(0,5]上为减函数, 22 所以当v=5时,y的最小值为150c+ 5 .

2 2 综上,当c≥ 125 时,下潜速度为 5c 时,用氧量最小为2+12 10c ;
2 22 当0<c< 125 时,下潜速度为5时,用氧量最小为150c+ 5 .

考点3

三角形与三角函数模型
S1 【分析】用a,θ 表示S1和S2,a固定时 S 2 是关于θ 的函数,然后可以利

【例1】

用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值.
1 1 【解答】(1) S1= 2 asinθ ·acosθ = 4 a2sin2θ ,设正方形边长为x,则 x BQ= tan? ,RC=xtanθ , x 所以 tan? +xtanθ +x=a, asin2? 1 ? tan? ? 1 所以x= tan? = 2 ? sin2? ,

a

a 2sin 2 2? ? asin2? ? ? ? 2 所以S2= ? 2 ? sin2? ? = 4sin 2? ? 4sin2? ? 4 .

2

(2) 当a固定,θ 变化时,
S1 1 ? 4 ? ? sin2? ? 4 ? S2 = 4 ? ? sin2? ?,

令sin2θ =t,
? S1 ? S1 1 ? 4 ? 9 ? ? ? t ? 4 ? ? S ? (0<t≤1),利用单调性求得t=1时, ? 2 ? min = 4 . 则 S2 = 4 ? t

【练习】

【解答】(1) 由题意可知,点M为 PQ 的中点,所以OM⊥AD.

设OM与BC的交点为F,则BC=2Rsinθ ,OF=Rcosθ .
1 AB=OF- 2 AD=Rcosθ -Rsinθ .

所以S=AB·BC=2Rsinθ (Rcosθ -Rsinθ )=R2(2sinθ cosθ -2sin2θ )=R2(sin2θ
π? ? π? ? 2? ? ? ? 0, ? ? 4 ? -R2,θ ∈ ? 4 ? . -1+cos2θ )= 2 R2sin ?
? π? π ? π , 3π ? ? 0, ? ? ? (2) 因为θ ∈ ? 4 ? ,则2θ + 4 ∈ ? 4 4 ? ,
π π π 所以当2θ + 4 = 2 ,即θ = 8 时,S有最大值,

Smax=( 2 -1)R2.
π 故当θ = 8 时,矩形ABCD的面积S有最大值( 2 -1)R2.

考点4

解析几何模型 【分析】建立平面直线坐标系,求出圆心到直线的距离d,通过弦心距

【例1】

和半径作比较进行判断.

【解答】如图,以台风中心为原点建立平面直角坐标系xOy. (1) 由图可知轮船在直线l:x+y-80=0上移动,原点到直线l的距离d=40 2 .

(例5) 所以0<r<40 2 时,轮船在途中不会受到台风影响. (2) 因为60>40 2 ,所以轮船会受到台风影响. 航程为2 程是40km. 【点评】 此类问题实际上就是判断直线与圆的位置关系,该类问题的解决有代数 法和几何法两种方法. 【练习】 【解答】方法一:

602 -(40 2) 2

=40km,所以当r=60km时,轮船在航行途中受到影响的航

(1) 如图(1)所示,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0,60),C(170,0),
4 直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=- 3 . 3 又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB= 4 .

设点B的坐标为(a,b),
b-0 4 b -60 3 则kBC= a -170 =- 3 ,kAB= a -0 = 4 ,

解得a=80,b=120, 所以BC=
(170-80) 2 ? (0-120) 2

=150(m).

因此新桥BC的长是150m.

(练习(1)) (2) 设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm(0≤d≤60).
4 由条件知,直线BC的方程为y=- 3 (x-170),

即4x+3y-680=0. 由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,
680-3d 即r= 4 ? 3 = 5 .
2 2

|3d -680|

?r -d ? 80, ? 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以 ?r -(60-d ) ? 80,
? 680-3d -d ? 80, ? ? 5 ? ? 680-3d -(60-d ) ? 80, ? 5 即?

解得10≤d≤35.
680-3d 故当d=10时,r= 5 最大,即圆面积最大,

所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大. 方法二:

(练习(2)) (1) 如图(2)所示,延长OA,CB交于点F.

4 因为tan∠FCO= 3 , 4 所以sin∠FCO= 5 ,
3 cos∠FCO= 5 .

因为OA=60,OC=170,
680 OC 850 500 所以OF=OCtan∠FCO= 3 ,CF= cos? FCO = 3 ,从而AF=OF-OA= 3 . 4 因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO= 5 . 400 又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB= 3 ,从而BC=CF-BF=150.

因此新桥BC的长是150m. (2) 设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径, 并设MD=r m,OM=dm(0≤d≤60). 因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.
r 3 MD MD 680-3d 680 -d 故由(1)知sin∠CFO= MF = OF -OM = 3 = 5 ,所以r= 5 .

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,

?r -d ? 80, ? 所以 ?r -(60-d ) ? 80,
? 680-3d -d ? 80, ? ? 5 ? ? 680-3d -(60-d ) ? 80, ? 5 即?

解得10≤d≤35.
680-3d 故当d=10时,r= 5 最大,即圆面积最大,

所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.

考点5

数列模型

【例1】 【分析】将该问题转化为等比数列求和问题.利率问题有两种:①单利 问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型.若每期存入本金p元,每期利率为r,则
n(n ? 1) ? ? n? r? ? 2 ? (等差数列问题).② n期后本利和为Sn=p(1+r)+p(1+2r)+…+p(1+nr)=p ?

复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型.若贷款(向银行借款)p元,采用分期 等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还 清.如果每期利率为r(按复利),那么每期等额还款x元应满 足:p(1+r)n=x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+…+x(1+r)+x(等比数列问题). 【解答】依题意,公寓2012年底建成,2013年开始使用. (1) 设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为1000× 800=800000=80(万元),扣除18万元,可偿还贷款62万元.

依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n-1]≥500(1+5%)n+1, 化简得62(1.05n-1)≥25×1.05n+1. 所以1.05n≥1.7343,

lg1.7343 0.2391 两边取对数整理得n≥ lg1.05 = 0.0212 =11.28,所以取n=12.
所以到2024年年底可还清全部贷款. (2) 设每名学生和每年的最低收费标准为x元,因为到2020年底公寓共使用了8 年,
? 1000 x ? -18 ? ? ? [1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)7]≥500(1+5%)9, 依题意有 ? 10000

1.058 -1 化简得(0.1x-18) 1.05-1 ≥500×1.059,

? 25 ?1.059 ? 18 ? ? ? 1.058 -1 ? 所以x≥10 ?
25 ?1.05 ?1.4774 ? ? ?18 ? ? 1.4774-1 ? =10 ?

=10×(18+81.2)=992. 故每名学生每年的最低收费标准为992元. 【点评】在经济活动中,如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月) 份有关的实际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决.在 解应用题时,是否是数列问题,一是看自变量是否与正整数有关;二是看是否符合一 定的规律,可先从特殊的情形入手,再寻找一般的规律. 【练习】 【解答】(1) 依题意得f(1)=f(2)=f(3)=…=f(9)=1,

f (10) 1 81 ? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (9) 所以g(10)= = 90 .
1 (2) 当x=1时,g(1)= 81 .

当1<x≤20时,f(1)=f(2)=…=f(x-1)=f(x)=1,

f (x) 1 则g(x)= 81 ? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (x-1) = 80 ? x ,
1 经验证x=1也符合上式,故当1≤x≤20时,g(x)= 80 ? x .

当21≤x≤60时,

f (x) g(x)= 81 ? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (20) ? f (21) ? ??? ? f (x-1)
1 x 10 = 81 ? 20 ? f (21) ? ??? ? f (x-1)
1 x 10 (x-21)(x ? 20) 2x 101 ? 2 20 = = x -x ? 1600 ,

所以第x个月的当月利润率为
? 1 ,1 ? x ? 20, ? ? 80 ? x ? 2x ? ,21 ? x ? 60. 2 ? g(x)= ? x -x ? 1600
1 1 (3) 当1<x≤20时,g(x)= 80 ? x 是减函数,此时g(x)的最大值为g(1)= 81 .

2 2x 2 1600 x? -1 2 x 当21≤x≤60时,g(x)= x -x ? 1600 = ≤ 79 ,
1600 2 当且仅当x= x ,即x=40时,g(x)有最大值为 79 . 2 1 2 因为 79 > 81 ,所以当x=40时,g(x)有最大值为 79 , 2 即该企业经销此产品期间,第40个月的当月利润率最大,其当月利润率为 79 .

考点6

立体几何体模型 【分析】根据球的体积和圆柱的体积公式求出y关于r的函数表达式,

【例1】

再利用导数研究其最值.
80 4 80 3 3 2 【解答】(1) 因为容器的体积为 3 π m ,所以 3 π r +π r l= 3 π ,

4 ? 20 ? 80 4 ? 2 -r ? 2 ?, 解得l= 3r - 3 r= 3 ? r

由于l≥2r,所以0<r≤2,
4 ? 20 ? ? 2 -r ? ? ×3+4π r2c, 所以建造费用y=2π rl×3+4π r2c=2π r× 3 ? r
160 π 所以y= r -8π r2+4π cr2,定义域为(0,2].

8π[(c-2)r 3 -20] 160 π 2 r2 (2) y'=- r -16π r+8π cr= ,
20 因为c>3,所以c-2>0,当r3= c -2 时,即y'=0,

20 令 c-2 =m,则m>0,
3

8? (c-2) 2 所以y'= r (r-m)(r2+mr+m2).

9 ①当0<m<2,即c> 2 时,

当r=m时,y'=0; 当r∈(0,m)时,y'<0; 当r∈(m,2)时,y'>0, 所以r=m时函数y取得极小值点,也是最小值点.
9 ②当m≥2,即3<c≤ 2 时,

当r∈(0,2)时,y'<0,函数单调递减, 所以r=2时函数y取得最小值点.
9 综上,当3<c≤ 2 时,建造费用最小时r=2;

20 9 3 当c> 2 时,建造费用最小时r= c-2 .

【评价反馈】

? kt ,0 ? t ? 1, ? t -a ?? 1 ? ?? ? ,t ? 1. 1. 【解答】(1) 设y= ?? 2 ?

当t=1时,由y=4,得k=4,
?1? ? ? 由 ? 2 ? =4,得a=3.
1-a

? 4t ,0 ? t ? 1, ? t -3 ?? 1 ? ?? ? ,t ? 1. 所以y= ?? 2 ?

?t ? 1, ? t -3 ?0 ? t ? 1, ?? 1 ? ? ?? ? ? 0.25, 4 t ? 0.25 ? (2) 由y≥0.25,得 或 ?? 2 ?
1 解得 16 ≤t≤5, 1 79 因此服药一次后治疗有效的时间是5- 16 = 16 (h).

4? ? ? 0 ? tan? ? ? 3?, 2. 【解答】(1) 如图,过点E作EM⊥BC,垂足为M.由题意得∠MEF=α ?
60 故有MF=60tanα ,EF= cos? ,AE+FC=80-60tanα .

(第2题)
60 所以W=(80-60tanα )×1+ cos? ×2 60sin? 120 =80- cos? + cos?

60(sin? -2) ? 4? ? 0 ? tana ? ? 3?. =80- cos? ?
sin? -2 4 π (2) 方法一:设f(α )= cos? ,令tanα = 3 ,其中0≤α ≤α 0< 2 , cos? cos? -(-sin? )(sin? -2) 1-2sin? 2 cos 2? 则f'(α )= = cos ? . 1 π 令f'(α )=0,得1-2sinα =0,即sinα = 2 ,得α = 6 .

α ,f'(α ),f(α )的变化情况如下表: α f'( α ) f( α )
? ?? ? 0, ? ? 6?

? ?? ? ? ,α0 ? 6 ?6 ?
0 极 -

+



大 值



π 所以当α = 6 时,f(α )max=- 3 ,此时有Wmin=80+60 3 . π 答:排管的最小费用为(80+60 3 )万元,相应的角α = 6 . 2-sin? 方法二:f(α )= cos?

3 1 (1-sin? ) ? (1 ? sin? ) 2 2 cos ? =
2 3 1 (1-sin? ) (1 ? sin? ) 2 2 cos? = 3,



3 1 1 π 当且仅当 2 (1-sinα )= 2 (1+sinα )时“=”成立,此时sinα = 2 ,α = 6 .

以下同方法一.

x(x-1) ? ? 12 x ? ? 4? ? 2 ? ? -98=-2x2+40x-98. 3. (1) y=50x-

(2) 解不等式-2x2+40x-98>0, 得10- 51 <x<10+ 51 . 因为x∈N,所以3≤x≤17. 所以从第3年工厂开始盈利.
98 ? ? y 98 ? 2x ? ? x ? ≤40-2 2 ? 98 =12, (3) ①因为 x =-2x+40- x =40- ?
98 当且仅当2x= x 时,即x=7时,等号成立.

所以x=7时,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利12×7+30=114(万元). ②y=-2x2+40x-98=-2(x-10)2+102,当x=10时,ymax=102. 故x=10时,盈利额达到最大值,工厂共获利102+12=114(万元). 综上所述可知方案①中7年的总利润与方案②中10年的总利润相等,故选择方案①较 为合算.

4. (1) 设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中 a1=250,d=50.
n(n-1) 所以Sn=250n+ 2 ×50=25n2+225n.

令25n +225n≥4750, 即n2+9n-190≥0,n∈N*, 所以n≥10. 所以到2020年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2) 设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08. 所以bn=400×(1.08)n-1.

2

由题意可知an>0.85bn, 有250+(n-1)×50>400×(1.08)n-1×0.85, 解得满足上述不等式的最小正整数n=6. 所以到2016年年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大 于85%.

5. (1) 由题得该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为 L(x)=(x-4-a)(10-x)2,x∈[7,9]. (2) L'(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x) =(10-x)(18+2a-3x),
2 令L'(x)=0,得x=6+ 3 a或x=10. 20 2 因为1≤a≤3,所以 3 ≤6+ 3 a≤8. 2 3 ①当6+ 3 a≤7,即1≤a≤ 2 时,

因为x∈[7,9],所以L'(x)≤0,L(x)在[7,9]上单调递减,故L(x)max=L(7)=27-9a.
2 3 ②当6+ 3 a>7,即 2 <a≤3时,

2 ? ? 7,6 ? a ? ? 3 ? 时,L'(x)>0; 因为x∈ ? ? 2 ? 6 ? a,9? ? 3 ? 时,L'(x)<0, ? x∈
2 ? ? 7,6 ? a ? ? 3 ? 上单调递增; 所以L(x)在x∈ ? 2 ? ? 6 ? a,9? ? 在x∈ ? 3 ? 上单调递减,

2 ? ? a? ? ? 6 ? a ? ? 2- ? 3 ? =4 ? 3 ? . 故L(x)max=L ?

3

3 答:当1≤a≤ 2 时,每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为

(27-9a)万元;

2 ? ? 3 ?6? a? 3 ? 元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大 当 2 <a≤3时,每件商品的售价为 ?
? a? ? 2- ? 值为4 ? 3 ? 万元.
3

6. 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(200,0),B(0,220),C(0,300),

(第6题)
x -200 直线l的方程为y=(x-200)tanα ,即y= 2 .

? x-200 ? ? x, ? 2 ? (x>200). 设点P的坐标为(x,y),则P ?

x-200 x-200 -300 -220 x -800 x -640 2 2 x x 由经过两点的直线的斜率公式可知kPC= = 2 x ,kPB= = 2x .
由直线PC到直线PB的角的公式,得
kPB -kPC tan∠PBC= 1 ? kPB kPC

160 2x x-800 x-640 1? 2x 2x =
64 x = x -288 x ? 160 ? 640
2

64 160 ? 640 x? -288 x = (x>200).
160 ? 640 x 要使tan∠BPC达到最大,只需x+ -288达到最小,由均值不等式可知 160 ? 640 x x+ -288≥2 160 ? 640 -288, 160 ? 640 x 当且仅当x= 时上式取得等号,故当x=320时,tan∠BPC最大,这时,点P的纵 320-200 2 坐标为y= =60. π 由此实际问题知,0<∠BPC< 2 ,所以tan∠BPC最大时,∠BPC最大,故当此人距水平地

面60m时,观看铁塔的视角∠BPC最大.


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