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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.3平面向量基本定理及坐标表示(一)


平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的: (1)了解平面向量基本定理;理解平面向量的坐标的概念; (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法; (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点:平面向量基本定理. 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程:
一、

复习引入:

1.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a (1)|λ a |=|λ || a |;

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(2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 2.运算定律 结合律:λ (μ a )=(λ μ ) a ;分配律:(λ +μ ) a =λ a +μ a , λ ( a + b )=λ a +λ b 3. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线则:有且只有一个非零实数λ ,使 b =λ a . 二、讲解新课: 1.思考:(1)给定平面内两个向量 e1 , e 2 ,请你作出向量 3 e1 +2 e 2 , e1 -2 e 2 , (2)同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ 1 e1 +λ 2 e 2 的向量表示? 平面向量基本定理:如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e 2 . 2.探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e 2 唯一确定的数量 3.讲解范例:

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1

例 1 已知向量 e1 , e 2 例2

求作向量?2.5 e1 +3 e 2

P B O A

如图, 、 不共线, 且 OA OB AP ? t AB (t ? R ), 用 OA, 表示 OP . OB

本题实质是 已知O、A、B三点不共线,

若点 P 在直线 AB 上,则 OP ? mOA ? nOB , 且 m ? n ? 1.
4.练习 1: 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( D ) A.e1、 2 一定平行 e μ ∈R)

B.e1、 2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λ e1+μ e2(λ 、 e

D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λ e1+ue2(λ 、u∈R) 2.已知向量 a = e1-2e2, =2e1+e2, b 其中 e1、 2 不共线, a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 e 则 (B ) A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

3.已知λ 1>0,λ 2>0,e1、e2 是一组基底,且 a =λ 1e1+λ 2e2,则 a 与 e1 不共线,a 与 e2 不共线. (填共线或不共线). 5.向量的夹角:已知两个非零向量 a 、b ,作 OA ? a ,OB ? b ,则∠AOB= ? ,叫向量 a 、

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? ? ? ? ? ? ? b 的夹角,当 ? =0°, a 、 b 同向,当 ? =180°, a 、b 反向,当 ? =90°, a 与 b 垂直,
记作 a ⊥ b 。 6.平面向量的坐标表示 (1)正交分解:把向量分解为两个互相垂直的向量。 (2)思考:在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数表示,平面内的每一 个向量,如何表示呢? 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基 底.任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 1 a ? xi ? yj …………○ 2 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) …………○

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2

其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,2 式叫做向量的坐标表示.与 a 相 ○ . . 等的向量的坐标也为 ( x, y ) . ......... 特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) .

如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也 就是向量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯 一表示. 7.讲解范例: 例 2.教材 P96 面的例 2。 8.课堂练习:P100 面第 3 题。 三、小结:(1)平面向量基本定理; (2)平面向量的坐标的概念; 四、课后作业:《习案》作业二十一

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