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广东省惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(文科)


广东省惠州市 2013 届高三第三次调研考试
数学试题(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再

选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式: 锥体的体积公式: V ?

1 Sh 3

( S 是锥体的底面积, h 是锥体的高)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求.) 1. i 是虚数单位,若 z (i ? 1) ? i ,则 z 等于( )

A.1

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

2.已知集合 A ? ??1, , B ? x ax ? 1 ? 0 ,若 B ? A ,则实数 a 所有可能取值的集合为 1? ( ) B. ?1? C. ??1, 1? )条件 D.既不充分又不必要 D. ??1,, 0 1?

?

?

A. ??1?

2 3.若 a ? R ,则“ a ? 3 ”是“ a ? 9 ”的(

A.充分且不必要

B.必要且不充分 )
3

C.充分且必要

4.下列函数是偶函数的是( A. y ? sinx

B. y ? x

C. y ? e

x

D. y ? ln )

x2 ? 1

5.已知向量 p ? ? 2 , 3? , q ? ? x ,? ,且 p / / q ,则 p ? q 的值为( ? 6 A. 5 B. 13 C. 5

D. 13

6.设{ an } 是公差为正数的等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a 3a ? 80 , a1 ?2 若 且 2 则 a 1 等于( A.120 7.已知双曲线 ) B. 105 C. 90 D.75

3 1

? a

x2 y 2 且双曲线的离心率 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y2 ? 4 10x 的焦点重合, 2 a b


等于

10 ,则该双曲线的方程为( 3
2

A. x ?

y2 ?1 9

B. x2 ? y 2 ? 15

C.

x2 ? y2 ? 1 9

D.

x2 y 2 ? ?1 9 9


8.已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平面,下列命题中正确的有( ? ?

n 则 A. 若m‖? ,‖? , m‖ n ; m 则 C. 若m‖? , ‖ ? , ?‖ ? ;
9.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ( ,

? 则 B. 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ;
n 则 D. 若m ? ? , ? ? , m‖ n .
1 2 2 ) ,则 log4 f (2) 的值为( 2
D.-2 ) y P d l A x

A.

1 4

B.-

1 4

C.2

10.如图, 设点 A 是单位圆上的一定点, 动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方 向旋转一周,点 P 所转过的弧 AP 的长为 l ,弦 AP 的长度为 d ,则函 数 d ? f (l ) 的图像大致是( )

O

d

d

d

d

2
O

2
?
A.

2
?
B.

2
?
C.

2?

l O

2?

l

O

2?

l

O

?
D.

2?

l

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答) 11. sin(? ?

?
4

)?

2 , 则 sin 2? = 4


开始

?2 x ? 3 y ? 6 ? 12.已知 ? x ? y ? 0 则 z ? 3x ? y 的最大值为_____. ?y ? 0 ?
13.阅读右图程序框图. 若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为_____. (二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都 做的,只计第 14 题的分。 ) 14. (坐标系与参数方程)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos? 相 交的弦长为 . k=k+1 否

输入 n

k ?0
=3

n ? 3n ? 1

n ? 150 ?
是 输出 k ,n

15.(几何证明选讲选做题)如图, 已知 AB 和 AC 是圆的两条弦, 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于

D .过点 C 作 BD 的平行线与圆交于点 E ,
与 AB 相交于点 F , AF ? 3 , FB ? 1 , 结束

EF ?

3 ,则线段 CD 的长为 2



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 某地区有小学 21 所, 中学 14 所, 大学 7 所, 现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查。 (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析,求抽取的 2 所学校均 为小学的概率.

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ) . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若函数 y ? f ? 2 x ? 18.(本小题满分 14 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的 中点. (1)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (2)求证: CF ? B1E ; (3)求三棱锥 VC ? B1FE 的体积. 19. (本小题满分 14 分) 已知向量 p ? (an ,2 ), q ? (2
n

? ?

??

? ? 的图像关于直线 x ? 6 对称,求 ? 的值. 4?

? ?

?

n?1

?? ? , ?an?1 ), n ? N * , 向量 p 与 q 垂直,且 a1 ? 1.

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? log2 an ? 1 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . 20.(本小题满分 14 分) y 如图,椭圆 M :

x y 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

2

2

D O A

C x B

直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8 . (1)求椭圆 M 的标准方程;

(2)设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q, l 与矩形 ABCD 有两 个不同的交点 S , T ,求

| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax(a ? R) (1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的极小值; (2) 若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线, a 的取值范围; 求 (3)设 g ( x) ?| f ( x) |, x ?[ ?1,1] ,求 g ( x) 的最大值 F ( a ) 的解析式.

惠州市 2013 届高三第三次调研考试数学 文科数学答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1. 【解析】 z ? 1 C 2 D 3 A 4 D 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 C

i i(1- i) 1? i 2 ? ? , z ? 选C i ? 1 (i ? 1)(1 ? i) 2 2

2.【解析】 a ? 0 时, B ? x 1 ? 0 ? ? ? A , a ? 0 时, B ? ? x x ? ? ? ? A ,

?

?

? ?

1? a?

1 1 ? ?1, ? ? 1 ,故选 a ? 0 或 a ? 1 或-1,选 D. a a 2 2 3. 【解析】 a ? 3 ? a ? 9, a ? 9 ? a ? ?3, 故为充分非必要条件,选 A。 ?
4. 【解析】 y ? sinx , y ? x 为奇函数, y ? e 为非奇非偶函数, y ? ln
3 x

x 2 ? 1 为偶函

数,选 D 5.【解析】 2 ? 6 ? 3x ? 0 ? x ? ?4 ? p ? q ? (2 , 3) ? (?4 , ? (?2 , ? 13 . ? 6) 3) 故选 B. 6. 【 解 析 】

a1 ?

a1 ? 2

5 a3 ?



5 a2 ?

?

a1a2a3 ? 80 ? a1a3 ? ?5 ? d ??5 ? d ? ? 25 ? d 2 ? 16 ,
? d ? 3 ? a1 ? 2 , a11 ? a12 ? a13 ? 3a1 ? 33d ? 6 ? 99 ? 105 .故选 B.

7.【解析】抛线线 y ? 4 10x 的焦点 ( 10 , ),?c2 ? a2 ? b2 ? 10 . e ? 0
2

10 10 . ? a 3

? a ? 3, b ? 1 ,

x2 ? y 2 ? 1.选 C 9

n n 8.【解析】 m , 平行 ? , m , 可以相交也可以异面,故 A 不正确; “墙角”三面互相垂

? 直, 说明 B 错误; ? ? ? l , 只需 m / / l , 便有 m / /? , m / / ? , C 错误;m ? ? ,n ? ? 故
则同垂直于一个平面的两条直线平行,D 正确 。

9.【解析】由设 f ( x) ? x? ,图象过点 ( ,
1 1

1 2

2 1 2 1 1 1 ) 得 ( )? ? ? ( )2 ? ? ? , 2 2 2 2 2

log 4 f (2) ? log 4 2 2 ? log 4 4 4 ?

1 .故选 A. 4

d

10. 【解析】点 P 是单位圆上的动点,点 P 所转过的角度设为 ? , 则 ? = l ,当 ? ? 知,选 C。

2
O

?

2

,弦 AP 的长度 d ?

2 ? 1 ,由选项的图可

? 2

?
C.

2?

l

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 11. ?

3 4

12. 9

13. 3

14.

3

15.

4 3

11. 【解析】 sin(? ?

?
4

)?

2 2 2 1 sin ? ? cos ? ? ,? sin ? ? cos ? ? , 2 2 4 2
1 3 ,故 sin 2? ? ? 4 4

(sin ? ? cos ? )2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ?

12. 【解析】做出可行域可知 z ? 3x ? y 过点 (3, 0) 时,Z 最大值为 9 。 13.【解析】 n ? 5 , ? 1 ? n ? 16 , ? 1 ? n ? 49, ? 2 ? n ? 148 , ? 3 .答案:3. k k k k (二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第一题的分。 ) 14.【解析】直线 2 ? cos? ? 1 与圆 ? ? 2 cos? 的普通方程为 2 x ? 1和( x ? 1) ? y ? 1,圆
2 2

心到直线的距离为 1 ?

1 1 1 ? ,所以弦长为 2 1 ? ( ) 2 ? 3 2 2 2

15.【解析】由相交弦定理, AF ? FB ? EF ? FC 故 FC ? 2 ,又

CF / / BD





A F ? A B

C F , 故 B D

BD ?

8 3

, 由 切 割 线 定 理 ,

BD2 ? CD ? AD ? CD ? 4CD ? 4CD2 ,故 CD ?

4 。 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (1)解:从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. ????3 分 (2)解:在抽取到得 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1 , A2 , A3 ,

2 所中学分别记为 A4 , A5 , 大学记为 A6 ,则抽取 2 所学校的所有可能结果为

? A1, A2? , ?A1, A3? , ? A1, A4? , ?A1, A5? , ?A1, A6? , ? A2 , A3? , ? A2 , A4? , ? A2 , A5? ,

? A2 , A6? , ? A3 , A4? , ? A3 , A5? , ? A3 , A6? , ? A4 , A5? , ? A4 , A6? , ? A5 , A6? . 共
种。????8 分 从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 A)的所有可能结果为

15

? A1, A2? , ?A1, A3? , ? A2 , A3? 共 3 种,所以 P ( A) ? 15 ? 5
17(本小题满分 12 分)

3

1

????12 分

(1)解:∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? ,??????????????2分 ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? .??????????????4分 (2)解:∵函数 y ? f ? 2 x ? 分 又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? 令 2x ? 将x?

? ?

??

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,??????????????7 4? 4 ? ?
?
2
(k ?Z ) ,???????????9分

?
4

? ? ? k? ?

?
2



?

6

代入,得 ? ? k? ?

?
12

(k ?Z ) .

∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

11? .??????????????12 分 12

18. (本小题满分 14 分) (1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则 ∵EF 为中位线????2 分

? EF / / D1B
而 D1B ? 面 ABC1D1 , EF ? 面 ABC1D1

? EF / / 面 ABC1D1 ????4 分
(2)等腰直角三角形 BCD 中,F 为 BD 中点 ? CF ? BD ①????5 分

? 正方体 ABCD ? A1B1C1D1

? DD1 ? 面ABCD , CF ? 面ABCD ? DD1 ? CF ②????7 分
综合①②,且 DD1 ? BD ? D, DD1 , BD ? 面BDD B1 1

? CF ? 面BDD1 B1 ,而 B1 E ? 面BDD1 B1 ,

? CF ? B1 E ???????????????????9 分
(3)由(2)可知?CF ? 平面BDD1B1

?CF ? 平面EFB1 即 CF 为高 , CF ? BF ? 2 ????10 分
? EF ? 1 BD1 ? 3 , B1F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1D12 ? D1E 2 ? 12 ? (2 2)2 ? 3
∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 ∴ S ?B EF ? 即 ?EFB1 ? 90?

1 3 2 ????12 分 EF ? B1 F ? 2 2

1 1 3 2 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? 2 ? 1 ????14 分 3 3 2

19 解(1)? 向量 p 与 q 垂直

??

?

?2n an?1 ? 2n?1 an ? 0, 即?2n an?1 ? 2n?1 an
?

????2 分

an ?1 ? 2 ??an ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列????4 分 an
????5 分

? an ? 2n?1 。

(2)?bn ? log2 a2 ? 1 ,?bn ? n

?an ? bn ? n ? 2n?1 ,

????8 分

? Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ?? n ? 2n?1, ??①

?2Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ?? n ? 2n , ??②
? 由①—②得,

???10 分

? Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ?

1 ? 2n ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 ??12 分 1? 2
???14 分 y C

? Sn ? 1 ? (n ? 1)2n ? n ? 2n?1 ? 1 ? (n ?1)2n
20. (本小题满分 14 分)
c 3 a ?b 3 ? ? ??①????1 分 (1) e ? ? 2 a 2 a 4
2 2

O A

x

矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2b ? 8 ??②????2 分 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是 ????3 分 ?????????4 分

x2 ? y2 ? 1 . 4

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (2) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , ? y ? x ? m,

8 4m2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , ???????7 分 5 5
由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 . ????????8 分

4m2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 ? 5 5 ?
2

??????10 分 ?????11 分

当 l 过 A 点时, m ? 1 ,当 l 过 C 点时, m ? ?1 .

①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2,2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,

| PQ | 4 5 ? m2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , | ST | 5 (3 ? m)2 5 t t
| PQ | 1 3 4 5 2 其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5. | ST | t 4 3 3 5

②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , 由此知,当 m ? 0 时,

| PQ | 5 2 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

| PQ | 2 ? 5 ? m2 , | ST | 5

| PQ | 2 取得最大值 5. | ST | 5

??????13 分 ??????14 分

| PQ | 5 2 综上可知,当 m ? ? 和 0 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)?当a ? 1 , f ( x) ? 3x ? 3, 令f ( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1????1 分 时
' 2 '

当 x ? (?1,1) 时, f ( x) ? 0,当x ? (??,?1] ? [1,??) 时, f ( x) ? 0 ,
' '

? f ( x)在(?1,1)上单调递减 在(??,?1],[1,??)上单调递增 ,
? f (x) 的极小值是 f (1) ? ?2

????2 分

???????3 分

/ 2 (2)法 1: f ( x) ? 3x ? 3a ,直线 x ? y ? m ? 0 即 y ? ? x ? m ,
2 / 2 依题意,切线斜率 k ? f ( x) ? 3x ? 3a ? ?1 ,即 3 x ? 3a ? 1 ? 0 无解?????4 分

?? ? 0 ? 4 ? 3(?3a ? 1) ? 0

?a ?

1 3

??????6 分

法 2: f / ( x) ? 3 x2 ? 3a ? ?3a ,?????4 分 要使直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线,当且仅当 ?1 ? ?3a 时成立,? a ?

1 3

??????6 分

(3)因 g ( x) ?| f ( x) |?| x 3 ? 3ax | 在[?1,1]上是偶函数 , 故只要求在 [0,1] 上的最大值. ????7 分

①当 a ? 0 时, f / ( x) ? 0, f ( x)在[0,1]上单调递增且 (0) ? 0,? g ( x) ? f ( x) f

F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a.
②当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x ? a )(x ? a ), (ⅰ)当 a ? 1,即a ? 1

???????9 分

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x), ? f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,此时 F (a) ? ? f (1) ? 3a ? 1 ???????10 分
(ⅱ)当 0 ?

a ? 1,即0 ? a ? 1 时, f ( x)在[0, a ]上单调递减 在 [ a ,1] 单调递增; ,
1 ? a ? 1 时, 3

1°当 f (1) ? 1 ? 3a ? 0, 即

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),? f ( x)在[0, a ]上单调递增 在[ a ,1]上单调递减 , , F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a ;
2°当 f (1) ? 1 ? 3a ? 0, 即0 ? a ?

1 3

1 时, F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a 4 1 1 (ⅱ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a, 即 ? a ? 时, F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a 4 3
(ⅰ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a, 即0 ? a ? 分

??13

综上

1 ? ?1 ? 3a, ( a ? 4 ) ? 1 ? F ( x ) ? ?2a a , ( ? a ? 1) 4 ? ?3a ? 1, ( a ? 1) ? ?

??????14 分


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