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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义


2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: (1)两个非零向量夹角的概念: 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与

b的夹角.
说明: (1)当 θ=0时,a与b同向; (2)当 θ=π 时,a与b反向; (3)当 θ=

? 时,a与b垂直,记a⊥b; 2

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0?≤?≤180? (2)两向量共线的判定 (3)练习 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( C ) A.6

B.5

C.7

D.8

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( B )? A.-3

B.-1

C.1

D.3

(4)力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角. 二、讲解新课: 1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是 θ, 则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积, 记作 a?b, 即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π) . 并规定 0 向量与任何向量的数量积为 0. ?探究:1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b,而 a?b 是 两个向量的数量的积, 书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号, 既不能省略,

1

也不能用“×”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能推出 b=0.因为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c

a = c

如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但 a ? c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共 线. 2.“投影”的概念:作图

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量; 当?为锐角时投影为正值; 当? = 0?时投影为 |b|; 3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 探究:两个向量的数量积的性质:设 a、b 为两个非零向量, 1、a?b ? a?b = 0 2、当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|; 特别的 a?a = |a| 或 | a |?
2

当?为钝角时投影为负值; 当? = 180?时投影为 ?|b|.

当?为直角时投影为 0;

当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. |a?b| ≤ |a||b| cos? =

a ?a

a?b | a || b |

探究:平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为?,则 a ? b = |a||b|cos?,b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b =

b ? a
2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 证: ? > 0, ? a)?b = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?, ?( ? b) = ? |a||b|cos?, 若 ( a

2

若 ? < 0,( ? a)?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?,

a?( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?.
3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, ∵a + b (即 OB )在 c 方向上 的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 即:

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b (a + b)?c = a?c + b?c 说明: (1)一般地,(a·b)с≠a(b·с) (2)a·с=b·с,с≠0


a=b


(3)有如下常用性质:a =|a| , (a+b) с+d)=a·с+a·d+b·с+b·d ( 三、讲解范例: 例 1.证明:(a+b) =a +2a·b+b
2 2 2

例 2.已知|a|=12, |b|=9, a ? b ? ?54 2 ,求 a 与 b 的夹角。 例 3.已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60 求: (1)(a+2b)·(a-3b). (2)|a+b|与 |a-b|. ( 利用
o

? ?

?

?

| a |? a ? a )

例 4.已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. 四、课堂练习: 1.P106 面 1、2、3 题。 2.下列叙述不正确的是(



A. 向量的数量积满足交换律 C. 向量的数量积满足结合律 3.|a|=3,|b|=4,向量 a+ A.平行

B. 向量的数量积满足分配律
D. a·b 是一个实数 )

3 3 b 与 a- b 的位置关系为( 4 4
C.夹角为

B.垂直

? 3

D.不平行也不垂直

4.已知|a|=8, |b|=10, |a+b|=16,求 a 与 b 的夹角. 五、小结: 1.平面向量的数量积及其几何意义; 2.平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.向量垂直的条件. 六、作业:《习案》作业二十三。

3

4


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