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1.2.2同角的三角函数基本关系式


学习本节的目的要求:
(1)能根据三角函数的定义导出同角三角 函数基本关系式. (2)正确运用基本关系式进行三角函数式 的求值运算.

sin ? 重点:公式 : sin ? ? cos ? ? 1, ? tan ? , cos ? tan ? ? cot ? ? 1的推导及应用 .
2 2

难点:根据角α终边所在象

限求出三角函数值.

复习与回顾 1.任意角的三角函数的定义
设?是 一 个 任 意 角 , ?的 终 边 上 任 意 一 点 P ( x , y )(除 端 点 外 ), 它与原点的距离是 r (r ? | x |2 ? | y |2 ? 那 么: x 2 ? y 2 ? 0),

y x (1) sin ? ? ___; r ( 2) cos ? ? ___; r x y y ( 3) tan ? ? ___; x (4) cot ? ? ___; r r x (6) csc? ? ___ y . (5) sec? ? ___;

2.三角函数的定义域
三角函数 定义域
R R ?
?

sin? cos ? tan ?

{? | ? ? R且? ?

cot ? sec?

2 {? | ? ? R且? ? k? , k ? Z }

? k? , k ? Z } ? k? , k ? Z }

{? | ? ? R且? ?

csc?

2 {? | ? ? R且? ? k? , k ? Z }

3.三角函数值的符号

? ?
o

y

? ?
sin ?

x

? ? ? ? x x o o ? ? ? ?
sec?
cos?

y

y

csc?

tan ?

cot ?
sin ? csc?
y

全正

记忆

tan ?o cos ? x cot ? csc?

4.特殊角的三角函数值
角?的度数 0
角?的 弧 度 数
?

0
0

sin?

30? 45? 60? 90? 180? 270? 360? ? ? ? ? 3? ? 2? 4 6 3 2 2
1 2
2 2 2 2

3 2

1

0 ?1

0

cos ?
tan ?

1
0
不 存在

3 2

1 2

0 ?1 0 0
不 存在 不 存在

1
0
不 存在

cot ?

3 3

1 1

不 3 存在

3

3 3

0

0

问题探究(一)
计算下列各式的值: 1. sin 2 90 ? ? cos 2 90 ? ; 2. sin 2 30 ? ? cos 2 30 ? ; 5? 5? ? ? 3. tan 45 cot 45 ; 4. tan cot . 6 6 问题 : 如果把上面具体的数据 改为一般角?会 有同样的结果吗 ?

sin ? ? cos ? ? 1 tan ? ? cot ? ? 1.
2 2

称为平方关系 称为倒数关系
注:上面两种关系直接可 以用三角函数定义得到.

可以证明吗? 如何证明吗? 角?是否可以是任意角吗 ?

问题探究(二)
请同学们继续根据三角 函数的定义探索: sin ? , cos ? , tan ?三者之间是否有什么关 系?

sin ? y x y r y ? ? ? ? ? ? tan ? cos ? r r r x x
角?是否可以是任意角时 , 上式都成立呢 ?

sin ? 当? ? k? ? ( k ? Z )时, ? tan ?成立. 2 cos ?

?

sin ? ? tan ? cos ?

称为商数关系

同角三角函数基本关系式:

sin ? ? cos ? ? 1 tan ? ? cot ? ? 1.
2 2

称为平方关系 称为倒数关系

sin ? ? tan ? cos ?

称为商数关系

关于三种关系式

2.三种关系式(公式)都必须在定义域允许的范围内成立. 3.对于同一个角?的sin ?、cos ?、tan ?、cot ?可以利用上三种基本 关系式, "知一求三".

3? 1.“同角”的概念与角的表达形式无关. sin 2 ? tan 3? . ? ? 2 2 2 如 : sin 3? ? cos 3? ? 1; tan ? cot ? 1; cos 3? 2 2 2

基本训练题
4 例1. 已知 sin ? ? ,并且?是第二象限角 , 5 求 cos ? , tan ? , cot ?的值.
分析: 找与题设条件最接近关 系式 : sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, 故 cos ?的值最容易求得 , 在求 cos ?时需要开方运算 ,因此 应根据角?的所在象限确定cos ?的符号. 4 对于tan ? ? ? 的负号,是根据商数关系直接运 算后的结果 ,

3 不需要根据的 ?是第二象限角来事先确 定. 思路 : 找最接近题设的基本关 系 ;只有应用平方关系才根 据 角的象限来确定开方时 符号;应用商数关系 、 倒数关系时不 需要确定符号 ,由运算自然得到符号 . 本题由于角所在的象限 已指定,则求得的只有一组结果 .

快速练习P27习题4.4

1.(1)(2);3.

基本训练题
8 例2. 已知cos ? ? ? ,求 sin ? , tan ? ,的值. 17
? cos ? ? 0且 cos ? ? 1,? ?是第二或第三象限角 . 求得的结果有两组 .
15 15 如果?是第二象限角时 , sin ? ? ; tan ? ? ? . 17 8 15 15 如果?是第三象限角时 , sin ? ? ? ; tan ? ? . 17 8
快速练习P27习题4.4 1.(3);2.

分析: 根据已知的三角函数值 来确定角所在的象限 , 再分象限来求值 .

基本训练题
例3. 已知 tan ?为非零实数, 用tan ?表示sin ? , cos ? .
问题 : (1)角?的终边在什么位置 ? ( 2)能否直接利用基本关系 式求出sin ?或 cos ?的值?
分析 : 由tan ? ? 0,只能确定?的终边不在坐标轴上 ,关于sin ?、cos ?、 sin ? tan ?的关系式只有 tan ? ? , 在这个式子中 ,必须知道其中的两 cos ? 个三角函数值 ,才能求出第三个 .本题由tan ?求 sin ?、cos ?不能一步 到位,需要综合应用公式 .

sin ? ? cos ? ? 1 2 2 ? cos ? ( 1 ? tan ? ) ? 1 sin ? ? tan ? 1 2 cos ? ? cos ? ? 1 ? tan 2 ?
2 2

从解决例3的过程中发现:基本关系式的等价形式

如把sin ? ? cos ? ? 1等价变形为 2 2 2 2 sin ? ? 1 ? cos ?或 cos ? ? 1 ? sin ? . sin ? 把 ? tan ?变形为sin ? ? cos ? tan ? . cos ? 1 把 tan ? ? cot ? ? 1变形为tan ? ? 等. cot ?
2 2

它们的应用也极为广泛. 因此,对于同角基本关系式有三用:

正用、逆用、变形用.

从解决例3的过程中发现: 除 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1的平方关系 ,还有其他的平方关系 .

如sec2 ? ? 1 ? tan 2 ? ; csc2 ? ? 1 ? cot 2 ? .
如 sin ? ? csc? ? 1; cos ? ? sec? ? 1;
同角基本关系式的推广 平方关系 倒数关系
同样,根据三角函数的定义 ,还可以推导其他商数关 系 和倒数关系 . cos ?

sin ?

? cot ? .

商数关系 sin ? 2 2 sin ? ? tan ? ? 1 tan ? ? cot ? ? 1 ? tan ? cos ? 2 2 sec ? ? tan ? ? 1 sin ? ? csc? ? 1 cos ? csc2 ? ? cot 2 ? ? 1 cos ? ? sec? ? 1 sin ? ? cot ? 把这三种关系,八个公式,称为同角三角函数的基本 关系 快速练习P27习题4.4 第4题





1.同角三角函数的基本关系:三种关系,八个公式
(1)“同角”的概念与角的表达形式无关. (2)三种关系式(公式)都必须在定义域允许的范围内成立.

2.对于同一个角 ?的 sin ?、cos ?、tan ?、cot ?、sec?、csc? 可以利用上三种基本关 系式, "知一求五 ".
(1)解题的步骤:先确定角的终边位置,再根据基本关系式 求值.若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系 求值;若已知正切或余切,则可构造方程组求值. (2)在求值时, 要注意这个角的终边所在位置,从而出现一 组或二组或四组(以两组的形式给出)结果. (3)在“知一求五”时,开方运算只需用一次.

补充题 : 已知cot ? ? m(m ? 0), 求cos ? .

同角三角函数基本关 系式的记忆方法

sin?

cos ?

tan ?
1.倒三角形上两角数的平 方等于下角数的平方.

1
sec?
csc?

cot ?

2.实线的端点数的乘积等 于中间数 3.虚线的端点数的乘积等于中间数.

第二课时

学习本节的目的要求:
(1)正确运用基本关系式进行三角函数式的 求值、化简. (2)了解一些三角变形的基本技巧.

重点:同角三角函数的关系式及其变式的应用. 难点:如何灵活的正用、逆用、变用、活用公式.

复习与回顾
1.说出同角三角函数有哪些基本关系? 2.请同学们快速写出平方关系、商数关系、倒数 关系?

3.这些同角三角函数基本关系中,公式中的α角 是不是取任意角? 4 4.已知sin ? ? ? , 求 cos ?和 tan ?的值. 5

5.已知tan ? ? m(m ? 0), 求?的其他三角函数值 .

同角三角函数基本关 系式的记忆方法

sin?

cos ?

tan ?
1.倒三角形上两角数的平 方等于下角数的平方.

1
sec?
csc?

cot ?

2.实线的端点数的乘积等 于中间数 3.虚线的端点数的乘积等于中间数.

能力训练(化简)
例1.化简 : 1 ? sin 2 440?
练习: 1 ? sin 2 4
分析一 : 1 ? sin 2 440? ? 1 ? sin 2 80? ? cos 2 80? ? cos 80? 分析二 : 1 ? sin 2 440 ? ? cos 2 440 ? ?| cos 440 ? |? cos 440 ? ? cos 80 ?
分析:“脱”去根号是我们的目标,这就希望根号下能成 为完全平方式,注意到同角三角函数的平方关系式,利用分 式的性质可以达到目标.

1 ? sin ? csc? ? 1 例2.化简 : ? 1 ? sin ? csc? ? 1

练习: 教材P28 6

1 ? sin ? csc? ? 1 2 sin ? ? ??? 1 ? sin ? csc? ? 1 | cos ? | ? 2 tan ? (?在第一、 第四象限时) ?? ? ? 2 tan ? (?在第二、 第三象限时)

能力训练(化简)
例3.化简 : 1 ? 2 sin 2 10 ? cot 10 ? sin 10 ? ? 1 ? sin 2 10 ?
sin 10 ? ? cos 10 ? ? ? ? ?1. ? (sin 10 ? cos 10 ) (sin 10 ? ? cos 10 ? ) 2 ? ? sin 10 ? ? cos 10 ?

分析 :" 脱" 根号,因此设法把根号内式子 配成完全平方式 , 可以从 1入手. sin 10 ? 1 ? sin 10
原式 ?
? 2 ?

1 ? 2 sin 10 ? cos 10 ?

关于化简:化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点:

注意"1"的代换.如可用sin 2 ? ? cos 2 ? , sec2 ? ? tan 2 ? , csc2 ? ? cot 2 ? , sin ? ? csc? , cos ? ? sec? , tan ? ? cot ?等 去代换1.

(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值的尽量求值;(3)结果的 次数最低. 快速练习P27练习的第5题;习题4.4 第5题

能力训练(求值) 例4.已知sin ? ? 2 cos ? , 求 : 把弦化切. sin ? ? 4 cos ? 次式, 可用tan ?表示.即 (1) ; 5 sin ? ? 2 cos ? 余弦的一次 (或二次)齐 2 ( 2) sin ? ? 2 sin ? cos ? ; 分析 : 分子、 分母是正 ( 3) sin ? ? cos ?的值.
3 例5.已知 sin ? ? cos ? ? 3 求(1 ) tan ? ? cot ?.; ( 2) sin ? ? cos ?的值. 之间的纽带关系

特别注意sin ? ? cos ?、sin ? ? cos ?、sin ? ? cos ?三者 (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? ? cos ? . 分析 : 活用公式 : (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? ? cos ? ;

能力训练(求值)

如 : sin 3 ? ? cos 3 ? ? (sin ? ? cos ? )(1 ? sin? ? cos ? ). 分析 : 应用方程的思想 , 求出sin?、cos ? .也可以应用总体思想 ,
5 ? sin ? ? cos ? ? 7 25 sin ? ? cos ? ? ? ? 0又0 ? ? ? ?得 cos ? ? 0,? sin ? ? cos ? ? 0, 12 5 ? 构造方程也可求出 25 25 sin ? 和 cos ? . sin ? ? cos ? ? ? sin ? ? cos ? ? ? , ? (sin ? ? cos ? ) ? 5 12 5 2 1 49 ? sin ? ? ; cos ? ? ? ? 5 4 3 sin? ? cos ? ? 1

1 例6.已知sin ? ? cos ? ? (0 ? ? ? ? ), 5 求(1) tan ? ; ( 2) sin 3 ? ? cos 3 ?的值.

(sin ? ? cos ? )(1 ? sin ? ? cos ? )后再求. 注 : 求 sin 3 ? ? cos 3 ?也可以先化为

能力训练(求值)
例7.已知sin ?、cos ?是关于x的方程x 2 ? ax ? a ? 0 的两个根(a ? R ). 3 3 求(1) sin ? ? cos ?先求出实数 ; ( 2) tan ? ? cot 和同角三角函数关系式 a来 . ?的值.
合式的值, 则韦达定理必被用上 .本题关键在于根据韦达 定理 分析 : 涉及实系数一元二次方 程实根问题, 欲求二根的某种组 ? sin ? ? cos ? ? a 由? ? 0求得a ? 0或a ? 4, 且? ?sin ? ? cos ? ? a ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2 sin? ? cos ? ,? a 2 ? 2a ? 1 ? 0, a ? 1 ? 2 (a ? 1 ? 2舍去)即sin? ? cos ? ? sin? ? cos ? ? 1 ? 2 . ? (1 ? 2 )[1 ? (1 ? 2 )] ? 2 ? 2 (1) sin 3 ? ? cos 3 ? ? (sin ? ? cos ? )(1 ? sin? ? cos ? ) sin ? ? cos ? ( 2) tan ? ? cot ? ? ? ? 2 ?1 1

能力训练(求值)
4 ? 2m m?3 例8.已知 sin ? ? , cos ? ? , m?5 m?5 ?是第四象限角 , 求 tan ?的值.

再由商数关系求 tan ?的值. 分析 : 由sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1可求出m的值,
2 2

4 ? 2m 2 m?3 2 ? sin ? ? cos ? ? 1 ? ( ) ?( ) ?1 m?5 m?5 化简, 整理得 : m ( m ? 8) ? 0, 则, m ? 0或m ? 8. 4 3 当m ? 0时, sin? ? , cos ? ? ? (与?是第四象限角不合 ) 5 5 12 5 12 当m ? 8时, sin? ? ? , cos ? ? ,? tan ? ? ? . 13 51 sin 13 ? ? cos ? ?

注意挖掘隐含的条件:

2

2

小 结
1.化“切”为“弦”,化“弦” 2 2 2.注意"1. "的代换.如可用sin ? ? cos ? , 为“切” sec2 ? ? tan 2 ? , csc 2 ? ? cot 2 ? , sin ? ? csc? , cos ? ? sec? , tan ? 1. 者之间的纽带关系 . ? cot ?等去代换 特别注意sin ? ? cos ?、sin ? ? cos ?、sin ? ? cos ?三 (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? ? cos ? . 3.活用公式.如 : (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? ? cos ? ;
4.化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点: (1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值的尽量求 值;(3)分母不含有三角函数.

能力检测
例 : 已知方程2 x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两个根分别是sin ?、cos ? ( m ? R ). sin ? cos ? 求 ? 的值. 1 ? cot ? 1 ? tan ?
提示:先化简后求值.

3 ?1 答案 : 2

第三课时

学习本节的目的要求:
(1)正确运用基本关系式进行三角函数式的 证明. (2)了解一些三角变形的基本技巧.

重点:同角三角函数的关系式及其变式的应用. 难点:如何灵活的正用、逆用、变用、活用公式.

§4.4同角三角函数的基本关系式(3)

能力训练 1 ? sin?

例1 : 求证

cos ?

cos ? ? 1 ? sin?

教材P265 (自学)

教材中介绍了三种证法 .
证法一 : 依据相等关系的传递性 , 从等式的一边开始 , 证明它等于另一边 , 证明时一般遵循由繁到 简的原则. 本证法还运用了分式的 基本性质.
证法二(综合法)、 证法三(分析法) : 依据价转化思想 . 证明与原式等价的另一 式子成立, 从而推出原式成立 . 证法二运用算式的基本 性质.证法三运用了基本性质 " a ? b ? 0 ? a ? b" 这一性质在以后的证明 中会经常 用到. 注 : 在证明中 , 条件" cos x ? 0 ? 1 ? sin x ? 0" 和 "1 ? sin x ? 0, cos x ? 0"是必不可少的 , 不可忽视.

证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消 去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的 方法一般有以下三种:
(1)依据相等关系的传递性 , 从等式的一边开始 , 证明 它等于另一边 , 证明时一般遵循由繁到 简的原则 .

( 2)依据" 等于同量的两个量相等 " , 证明左、 右两边等 于同一个式子 .
( 3)依据价转化思想 .证明与原式等价的另一 式子成立 从而推出原式成立 .这种方法对应着两具体 的方法 : 综合法 : 先证c ? d成立, 再证c ? d与a ? b等价,由此可 知a ? b成立. 分析法 : 要证a ? b, 只要证c ? d , ? ,因为c ? d成立, 可 知a ? b成立.

能力训练 2 2 例2.求证 : sin ? tan ? ? cos ? cot ? ? 2 sin? cos ? ? tan ? ? cot ?
sin ? cos ? 2 证明 : 左边 ? sin ? ? ? cos ? ? ? 2 sin ? cos ? cos ? sin ? sin 4 ? ? cos 4 ? ? 2 sin 2 ? cos 2 ? ? sin ? cos ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 1 ? ? sin ? cos ? sin ? cos ?
2

sin? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 右边 ? ? ? ? cos ? sin? sin? cos ? sin? cos ?

所以,原式成立.

能力训练
例3.已知 : a sin ? ? b cos ? ? m, b tan ? ? n sec? ? a , 2 2 2 2 求证 : a ? b ? m ? n .
?a sin ? ? b cos ? ? m (1) 证法一 : 由已知得? ? b sin ? ? a cos ? ? n ( 2) am ? bn mb ? an 由(1)( 2)得 sin ? ? 2 , cos ? ? 2 , 2 2 a ? b am ? bn a ? mb b ? an 2 2 2 2 代入到sin ? ? cos ? ? 1, 得( 2 ) ? ( ) ?1 2 2 2 a ?b a ?b 整理, 得a 2 ? b 2 ? m 2 ? n 2 . 证法二 : 由(1) 2 ? ( 2) 2 得 a 2 (sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? b 2 (sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? m 2 ? n 2 , 即a 2 ? b 2 ? m 2 ? n 2 . 证法一体现的是一种通法,而证法二则显示了一种技巧,本 题还有一些其他的解法同学自已不妨一试.

能力训练
1 ? sec ? ? tan ? 例4.求证 : ? sec ? ? tan ? 1 ? sec ? ? tan ?
分析一 : 先切割化弦 , 再利用分式的性质 .
分析二 : 先切割化弦 , 再由cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ?出发来证. 分析三 : 利用 "1"的代换, 如1 ? sec2 ? ? tan 2 ? .

分析四: 利用基本性质 " a ? b ? 0 ? a ? b".

拓展题
? x ? sin ? ? cos ? 1.消去式子中的 ? , 用x表示y : ? . ? y ? tan ? ? cot ? 2.已知sin ? ? 2 sin ? , tan ? ? 3 tan ? , 求 cos 2 ? .
1 ? sin ? csc? ? 1 3.已知 ? ? ?2 tan ? , 试确定等 1 ? sin ? csc? ? 1 式成立的角?的集合.

2 3 2 1. y ? 2 ;2. cos ? ? ; 8 x ?1

3 3.{? | 2k? ? ? ? ? 2k? ? , 或? ? 2k? , k ? Z }. 2 2

?

小 结
证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消 去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的 方法一般有以下三种:
(1)依据相等关系的传递性 , 从等式的一边开始 , 证明 它等于另一边 , 证明时一般遵循由繁到 简的原则 . ( 2)依据" 等于同量的两个量相等 " , 证明左、 右两边等 于同一个式子 . ( 3)依据价转化思想 .证明与原式等价的另一 式子成立 从而推出原式成立 .这种方法对应着两具体 的方法 : 综合法 : 先证c ? d成立, 再证c ? d与a ? b等价,由此可 知a ? b成立. 分析法 : 要证a ? b, 只要证c ? d , ? ,因为c ? d成立, 可 知a ? b成立.


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