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广东省珠海市2015届高考数学二模试卷(文科)


广东省珠海市 2015 届高考数学二模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 A={x∈R|﹣2≤2x≤1},集合 B={x∈R||x|<1},则 CU(A∩B)= () A.(﹣∞,﹣1]∪( ,+∞) +∞

) D. B.(﹣1, ] (﹣1,﹣ ) C. (﹣∞, ﹣1) ∪[﹣ ,

2. (5 分)已知复数 z 满足方程(3+i)z﹣i+5=0(i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是() A.﹣ i B. i C. ﹣ D.

3. (5 分)已知向量 A.充分不必要条件 C. 充分必要条件

,命题 p:

=﹣

,命题 q: =﹣ ,则 p 是 q 的()

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. (5 分)一直线 l:x+y=4 被一圆心为 C(1,1)的圆截弦长为 2 ,则圆 C 的方程为() 2 2 2 2 2 A.(x﹣1) +(y﹣1) =2 B.(x﹣1) +(y﹣1) =4 C. (x﹣1) +(y 2 2 2 ﹣1) =5 D. (x﹣1) +(y﹣1) =6 5. (5 分)已知函数 f(x)是定义在(﹣6,6)上的偶函数,f(x)在[0,6)上是单调函数, 且 f(﹣2)<f(1)则下列不等式成立的是() A.f(﹣1)<f(1)<f(3) B.f(2)<f(3)<f(﹣4) C. f(﹣2)< f(0)<f(1) D. f(5)<f(﹣3)<f(﹣1) 6. (5 分)将函数 y=sin(2x﹣ )的图象向右平移 个单位,再将图象上每个点的横坐标

扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数表达式是() A.y=sin(x+ π) B.y=cosx C.y=sin(4x+ π) D.y=cos4x

7. (5 分)l、m 是空间两条直线,α、β 是空间两个平面,则() A.l∥m,l?α,m?β,则 α∥β B. l⊥m,l?α,m?β,则 α⊥β C. α⊥β,l∥α,m∥β,则 l⊥m D.l⊥α,l∥m,m?β,则 α⊥β 8. (5 分)已知 B(﹣2,0) ,C(2,0) ,A 为动点,△ ABC 的周长为 10,则动点 A 的满足 的方程为()

A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

9. (5 分)如图,一个旋转体沙漏,上部为一倒立圆台,下部为一圆柱,假定单 位时间流出的沙量固定,并且沙的上表面总能保持平整,设沙漏内剩 余沙的高度 h 与时间 t 的函数为 h=f(t) ,则最接近 f(t)的图象的是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)在平面直角坐标系中,定义



点 Pn+1(xn+1,yn+1)的一个变换为“γ 变换”,已知 P1(0,1) ,P2(x2,y2) ,…,Pn(xn,yn) , Pn+1(xn+1,yn+1)是经过“γ 变换”得到的一列点.设 an=|PnPn+1|,数列{an}的前 n 项和为 Sn, 那么 S10 的值为() A. B. C. D.

二、填空题: (一)必做题,每小题 5 分,满分 15 分.其中请将答案填在答题卡相应位置. 11. (5 分)某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查.已知该社区的青年人、中 年人和老年人分别有 800 人、1600 人、1400 人,若在老年人中的抽样人数是 70,则在中年人 中的抽样人数应该是. 12. (5 分)已知{an}为等差数列,其公差为﹣2,且 a7 是 a3 与 a10 的等比中项,则 s10=. 13. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣x +1 在(0,1)上有增区间,则 a 的取值范围是.
3 2

(二) 选做题 (第 14~15 题是选做题, 考生只能选做一题, 两题全答的, 只计算前一题得分. ) 【参数方程与极坐标选做题】 14. (5 分) (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系中圆 C 的参数方程为 (θ

为参数) ,则圆 C 的普通方程为,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的圆心极坐标为.

【几何证明选做题】 15.如图,PA 切⊙O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,PB=1,PA= 转 60°到 OD,则 PD 的长为.

,OA 绕点 O 逆时针旋

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,sin2A= sinA,b= ﹣a,b+c) , =(a,b﹣c) , ⊥ . (1)求 sinA; (2)求角 B 与 c. 17. (12 分)2004 年 5 月 31 日国家制定了新的酒驾醉驾标准,车辆驾驶人员血液酒精含量大 于或等于 20mg/100ml (0.2‰) , 小于 80mg/100ml (0.8‰) 为饮酒驾车; 大于或等于 80mg/100ml (0.8‰)为醉酒驾车.以下是血清里酒精含量与常人精神状态关联的五个阶段: 血清酒精含量 [0.2‰,0.4‰) [0.4‰,0.8‰) [0.8‰,1.2‰) [1.2‰,1.6‰) [1.6‰,+∞) 常人精神状态 君子态(愉快) 孔雀态(炫耀) 狮子态(打架) 猴子态(失控) 狗熊态(昏睡) 但血清中的酒精含量在饮用等量酒的情况下,是因人而异有所不同的.下面是某卫生机构在 20~55 岁的饮酒男性志愿者中,随机选取 30 人作为样本进行测试.在饮用了 250ml(60%) 60 度纯粮白酒(相当于 5 瓶啤酒)恰好一小时,血清中酒精含量(最大值)统计数据: 血清酒精含量 [0.2,0.4‰‰) [0.4‰,0.8‰) [0.8‰,1.2‰) [1.2‰,1.6‰) [1.6‰,+∞) 人数 1 2 12 13 2 以上数据为参考依据. (1)试估计 20~55 岁的饮酒男性在饮用了 250ml(60%)60 度纯粮白酒(相当于 5 瓶啤酒) 恰好一小时,血清中酒精含量 0.8%及以上的概率是多少? (2)在午夜 12 点,酒吧营业两小时,客人餐饮大约一小时.有 5 名 20~55 岁的男性(每人 饮用相当于 60 度纯粮白酒饮酒量 250ml 左右)从酒吧走出并驾车离开(已知其中 4 人血清酒 精含量 0.8‰及以上,一人 0.8‰以下) ,恰有两人途中被交警拦截检查,则这两人均是醉酒驾 车的概率是多少? 18. (14 分)如图为一多面体 ABCDFE,AB⊥AD,AB∥CD,CD=2AB=2AD=4, , =(c

四边形 BEFD 为平行四边形,BD=DF,∠BDF= (1)求证:平面 BCE⊥平面 BEFD. (2)求点 B 到面 DCE 的距离.

,DF⊥BC,

19. (14 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn. 2 (1)若 4Sn﹣an ﹣2an﹣1=0,求{an}的通项公式; (2) 若{an}是等比数列, 公比为 q (q≠1, q 为正常数) , 数列{lgan}的前 n 项和为 Tn, 为定值, 求 a1. 20. (14 分)已知 a>0,a≠1,f(x)=x﹣ak,g(x)=x ﹣a . (1)若方程 loga
f(x) 2 2

=loga

有解,求 k 的取值范围;

(2)若函数 h(x)满足:h'(x)=g(x)﹣kf(x) ,求当 a=2 时函数 h(x)的单调区间.

21. (14 分)已知双曲线 E:

=1(a>2) .

(1)若 E 的离心率为

,求 E 的方程;

(2) 设 E 的左、 右焦点为 F1、 F2, 点 P 为双曲线上的点, 直线 F2P 交 y 轴于点 Q, 并且 F1P⊥F1Q, 当 a 变化时,若点 P 是第一象限内的点,则点 P 在某一条定直线上吗?如果这条定直线存在, 请求出直线方程;如果不存在这条定直线,请说明理由.

广东省珠海市 2015 届高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 A={x∈R|﹣2≤2x≤1},集合 B={x∈R||x|<1},则 CU(A∩B)= ()

A.(﹣∞,﹣1]∪( ,+∞) +∞) D.

B.(﹣1, ] (﹣1,﹣ )

C. (﹣∞, ﹣1) ∪[﹣ ,

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 分别求出 A 与 B 中不等式的解集,确定出 A 与 B,找出 A 与 B 交集的补集即可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得:﹣1≤x≤ ,即 A=[﹣1, ], 由 B 中不等式解得:﹣1<x<1,即 B=(﹣1,1) , ∴A∩B=(﹣1, ], 则?U(A∩B)=(﹣∞,﹣1]∪( ,+∞) , 故选:A. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知复数 z 满足方程(3+i)z﹣i+5=0(i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是() A.﹣ i B. i C. ﹣ D.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: (3+i)z﹣i+5=0,化为 z= 解答: 解:∵(3+i)z﹣i+5=0, ∴z= = = = , ,再利用复数的运算法则即可得出.

∴z 的虚部是﹣ . 故选:C. 点评: 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题.

3. (5 分)已知向量 A.充分不必要条件 C. 充分必要条件

,命题 p:

=﹣

,命题 q: =﹣ ,则 p 是 q 的()

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:由 =﹣ ,得| || |cos< , >=﹣ ,

∴ = 或| |cos< , >=﹣| |,则 =﹣ ,不一定成立, 若 =﹣ ,则 =﹣ ,成立,

故 p 是 q 的必要不充分条件, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据向量数量积的应用是解决本题的关 键. 4. (5 分)一直线 l:x+y=4 被一圆心为 C(1,1)的圆截弦长为 2 ,则圆 C 的方程为() 2 2 2 2 2 A.(x﹣1) +(y﹣1) =2 B.(x﹣1) +(y﹣1) =4 C. (x﹣1) +(y 2 2 2 ﹣1) =5 D. (x﹣1) +(y﹣1) =6 考点: 直线与圆相交的性质;圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设圆 C 的半径为 r,根据圆心坐标写出圆的标准方程,利用点到直线的距离公式求出 圆心到直线 l 的距离即为弦心距,然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点,由弦长的一半, 圆心距及半径构成的直角三角形,根据勾股定理列出关于 r 的方程,求出方程的解即可得到 r 的值,从而确定圆 C 的方程. 2 2 2 解答: 解:设圆的方程为: (x﹣1) +(y﹣1) =r 因为圆心 C 到直线 l 的距离:d=
2 2 2

=

所以:r =( ) +( ) =5, 2 2 圆的方程为: (x﹣1) +(y﹣1) =5. 故选:C. 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,以及直线与圆相交的性质.要求学生掌握垂径定 理,勾股定理及点到直线的距离公式,比较基础. 5. (5 分)已知函数 f(x)是定义在(﹣6,6)上的偶函数,f(x)在[0,6)上是单调函数, 且 f(﹣2)<f(1)则下列不等式成立的是() A.f(﹣1)<f(1)<f(3) B.f(2)<f(3)<f(﹣4) C. f(﹣2)< f(0)<f(1) D. f(5)<f(﹣3)<f(﹣1) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件判断函数在[0,6]上是单调减函数,可得 f(1)>f(3)>f(5) ,从而得出结 论. 解答: 解:由题意可得,函数 f(x)在[﹣6,0]上也是单调函数, 再根据 f(﹣2)<f(1)=f(﹣1) ,可得函数 f(x)在[﹣6,0]上是单调增函数, 故函数 f(x)在[0,6]上是单调减函数,故 f(﹣1)=f(1)>f(﹣3)=f(3)>f(5) , 故选:D. 点评: 本题主要考查偶函数的单调性规律,属于中档题.

6. (5 分)将函数 y=sin(2x﹣

)的图象向右平移

个单位,再将图象上每个点的横坐标

扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数表达式是() A.y=sin(x+ π) B.y=cosx C.y=sin(4x+ π) D.y=cos4x

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:将函数 y=sin(2x﹣ 可得 y=sin[2(x﹣ )﹣ )的图象向右平移 个单位,

]=sin(2x﹣

)=cos2x 的图象,

再将图象上每个点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数表达式 为 y=cosx, 故选:B. 点评: 本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 7. (5 分)l、m 是空间两条直线,α、β 是空间两个平面,则() A.l∥m,l?α,m?β,则 α∥β B. l⊥m,l?α,m?β,则 α⊥β C. α⊥β,l∥α,m∥β,则 l⊥m D.l⊥α,l∥m,m?β,则 α⊥β 考点: 平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理以及性质定理分别进行判断即可. 解答: 解:A.若 l∥m,l?α,m?β,则 α∥β 或 α 与 β 相交,故 A 错误 B.若 l⊥m,l?α,m?β,则 α⊥β 或 α 与 β 相交,故 B 错误 C.若 α⊥β,l∥α,m∥β,则 l⊥m 或 l,m 相交,或异面直线,故 C 错误 D.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α,∵m?β,∴α⊥β 成立,故 D 正确 故选:D 点评: 本题主要考查空间直线和平面,以及平面和平面平行或垂直的判定,根据相应的判 定定理是解决本题的关键. 8. (5 分)已知 B(﹣2,0) ,C(2,0) ,A 为动点,△ ABC 的周长为 10,则动点 A 的满足 的方程为() A. =1 B. =1 C. =1 D. =1

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由 B(﹣2,0) ,C(2,0) ,A 为动点,△ ABC 的周长为 10,可得|AB|+|AC|=6,从 2 2 2 而得到点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆,并求得 a,c 的值,代入 b =a ﹣c 求出 b 后得到 顶点 A 的轨迹方程.

解答: 解:∵|AB|+|AC|+|BC|=10,B(﹣2,0) ,C(2,0) , ∴|AB|+|AC|=6>|BC|. ∴点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆(除去 B、C) ,且 2a=6,c=2, 2 2 2 ∴b =a ﹣c =5. ∴顶点 A 的轨迹方程 (x≠±2) .

故选:B. 点评: 本题考查了轨迹方程的求法,训练了利用椭圆的定义求其方程,是中档题. 9. (5 分)如图,一个旋转体沙漏,上部为一倒立圆台,下部为一圆柱,假定单 位时间流出的沙量固定,并且沙的上表面总能保持平整,设沙漏内剩 余沙的高度 h 与时间 t 的函数为 h=f(t) ,则最接近 f(t)的图象的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据几何体的体积,分两部分,再观察沙子的底面积的变化趋势,即可得到答案. 解答: 解:分两部分,第一部分,沙子在圆台里,随着时间的增加,沙子的上底面越来越 小,则沙漏内剩余沙的高度 h 减少的越来越快, 第一部分,沙子在圆柱里,随着时间的增加,沙子的底面积不变,则沙漏内剩余沙的高度 h 减少量是不变的, 综上所述,只有 A 符合, 故选:A 点评: 本题考查了函数图象的识别,关键是找清 h 的变化关系,属于基础题.

10. (5 分)在平面直角坐标系中,定义



点 Pn+1(xn+1,yn+1)的一个变换为“γ 变换”,已知 P1(0,1) ,P2(x2,y2) ,…,Pn(xn,yn) , Pn+1(xn+1,yn+1)是经过“γ 变换”得到的一列点.设 an=|PnPn+1|,数列{an}的前 n 项和为 Sn, 那么 S10 的值为() A. B. C. D.

考点: 数列的求和.

专题: 新定义. 分析: 由题设可求 p1(0,1) ,P2(1,1) ,由已知,可寻求 an 与 an﹣1 的关系,来研究数列 {an}的性质.再结合得出的性质求和计算. 解答: 解:由题设知 p1(0,1) ,P2(1,1) ,a1=|P1P2|=1, 且当 n≥2 时, 2 2 2 2 2 2 2 an =|PnPn+1| =(xn+1﹣xn) ﹣(yn+1﹣yn) =[(yn﹣xn)﹣xn] +[(yn+xn)﹣yn] =5xn ﹣ 2 4xnyn+yn 2 2 2 2 an﹣1 =|Pn﹣1Pn| =(xn﹣xn﹣1) ﹣(yn﹣yn﹣1) ①







代入①计算化简得 an﹣1 =|Pn﹣1Pn| = = an .
2

2

2

+

= (5xn ﹣4xnyn+yn )

2

2



=

, (n≥2) , 为公比的等比数列,且首项 a1=1,

∴数列{an}是以 n﹣1 ∴an= ,

∴Sn=a1+a2+a3+…+an=



∴S10=

=

故选 C 点评: 本题是新定义类型,实际上考查了等比数列的判定与求和,考查推理、论证、计算 能力. 由已知, 若依次求出数列{an}的前 10 项, 再相加求和固然可行, 但运算量较大, 繁琐. 因 此探求数列{an}的性质并利用得出的性质成为一种需求与自然. 二、填空题: (一)必做题,每小题 5 分,满分 15 分.其中请将答案填在答题卡相应位置. 11. (5 分)某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查.已知该社区的青年人、中 年人和老年人分别有 800 人、1600 人、1400 人,若在老年人中的抽样人数是 70,则在中年人 中的抽样人数应该是 80. 考点: 分层抽样方法. 分析: 根据老年人抽取的人数计算抽取比例,再根据这个比例求中年人中需抽取的人数. 解答: 解: 由题可知抽取的比例为 k= 故答案为:80 = , 故中年人应该抽取人数为 N=1600× =80.

点评: 本题考查基本的分层抽样,解决分层抽样的关键是抓住各层抽取的比例相等,属基 本题. 12. (5 分)已知{an}为等差数列,其公差为﹣2,且 a7 是 a3 与 a10 的等比中项,则 s10=270. 考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 设出等差数列的首项,把 a7、a3、a10 分别用首项和公差表示,由 a7 是 a3 与 a10 的等 比中项列式求解首项,则可求 S10. 解答: 解:设等差数列{an}的首项为 a1,由公差 d=﹣2, 得 a7=a1+6d=a1﹣12,a3=a1+2d=a1﹣4,a10=a1+9d=a1﹣18. ∵a7 是 a3 与 a10 的等比中项, 2 ∴a7 =a3a10, 2 ∴(a1﹣12) =(a1﹣4) (a1﹣18) 解得:a1=36. ∴S10=10×36+ =270,

故答案为:270. 点评: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,考查了一元二次方程的解法,是基础 的计算题.
3 2

13. (5 分) 已知函数 f (x) =ax ﹣x +1 在 (0, 1) 上有增区间, 则 a 的取值范围是



考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出函数的导数,利用导函数在(0,1)上有极值点,导函数有零点,或导函数非 负,求解 a 的范围即可. 3 2 解答: 解:函数 f(x)=ax ﹣x +1. 2 可得 f′(x)=3ax ﹣2x. 3 2 函数 f(x)=ax ﹣x +1 在(0,1)上有增区间,可知导函数在(0,1)上有极值点, 2 导函数在(0,1)上有解,或 a=0 时,3ax ﹣2x≥0 恒成立(显然不成立) . 可得 故答案为: ,解得:a . ,

点评: 本题考查函数的导数的应用,函数的极值以及单调区间的求法,考查计算能力. (二) 选做题 (第 14~15 题是选做题, 考生只能选做一题, 两题全答的, 只计算前一题得分. ) 【参数方程与极坐标选做题】 14. (5 分) (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系中圆 C 的参数方程为
2 2

(θ

为参数) ,则圆 C 的普通方程为 x +(y﹣2) =4,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系,则圆 C 的圆心极坐标为 ρ=4sinθ.

考点: 极坐标刻画点的位置;参数方程化成普通方程. 专题: 计算题. 分析: (1)欲将曲线 C 化为普通方程,只须要消去参数 θ 即可,利用三角函数中的平方关 系即可消去参数 θ. (2)欲求极坐标系下的极坐标方程,利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x, ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得直角坐标系即可. 解答: 解: (1)∵曲线 C: (θ 为参数) ,
2 2 2

∴2cosθ=x,2sinθ=y﹣2,两式平方相加得: 2 2 x +(y﹣2) =4.即为曲线 C 化为普通方程. 2 2 2 (2)利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换得: 2 ρ ﹣4ρsinθ=0, 即:ρ=4sinθ,即为极坐标系下的极坐标方程. 2 2 故答案为:x +(y﹣2) =4;ρ=4sinθ. 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 【几何证明选做题】 15.如图,PA 切⊙O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,PB=1,PA= 转 60°到 OD,则 PD 的长为 .

,OA 绕点 O 逆时针旋

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题. 分析: 法一:如图根据题设条件可求得角 DOP 的大小,由于 OD=1,OP=2,由余弦定理求 长度即可. 法二:由图形知,若能求得点 D 到线段 OC 的距离 DE 与线段 OE 的长度,在直角三角形 PED 中用勾股定理求 PD 即可. 解答: 解法一:∵PA 切⊙O 于点 A,B 为 PO 中点, ∴AB=OB=OA, ∴∠AOB=60°,∴∠POD=120°, 在△ POD 中由余弦定理, 得:PD =PO +DO ﹣2PO?DOcos∠POD=4+1﹣4×(﹣ )=7, ∴PD= . 解法二:过点 D 作 DE⊥PC 垂足为 E, ∵∠POD=120°, ∴∠DOC=60°,
2 2 2

可得 OE= ,DE=

, = = .

在 Rt△ PED 中,有 PD= 故答案为: .

点评: 本题考点是与圆有关的比例线段,本题考查求线段的长度,平面几何中求线段长度 一般在三角形中用正弦定理与余弦定理求解,做题后要注意总结方法选取的规律. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,sin2A= sinA,b= ﹣a,b+c) , =(a,b﹣c) , ⊥ . (1)求 sinA; (2)求角 B 与 c. 考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的求值;解三角形;平面向量及应用. 分析: (1)运用二倍角公式和同角的平方关系,可得 sinA; (2)运用斜率的数量积的坐标表示和余弦定理,可得 B,再由两角差的正弦公式和正弦定理, 即可得到 c. 解答: 解: (1)∵△ABC 中, ∴ , ; , , =(c

由 A∈(0,π)∴

(2)∵ =(c﹣a,b+c) , =(a,b﹣c) , ∴ ,

即 由 B∈(0,π)∴B= ,



∴ ∴ ∵

, ,





点评: 本题考查三角函数的化简和求值,主要考查二倍角公式和同角的平方关系、两角和 差的正弦公式, 同时考查平面向量的数量积的坐标表示和正弦、 余弦定理的运用, 属于中档题. 17. (12 分)2004 年 5 月 31 日国家制定了新的酒驾醉驾标准,车辆驾驶人员血液酒精含量大 于或等于 20mg/100ml (0.2‰) , 小于 80mg/100ml (0.8‰) 为饮酒驾车; 大于或等于 80mg/100ml (0.8‰)为醉酒驾车.以下是血清里酒精含量与常人精神状态关联的五个阶段: 血清酒精含量 [0.2‰,0.4‰) [0.4‰,0.8‰) [0.8‰,1.2‰) [1.2‰,1.6‰) [1.6‰,+∞) 常人精神状态 君子态(愉快) 孔雀态(炫耀) 狮子态(打架) 猴子态(失控) 狗熊态(昏睡) 但血清中的酒精含量在饮用等量酒的情况下,是因人而异有所不同的.下面是某卫生机构在 20~55 岁的饮酒男性志愿者中,随机选取 30 人作为样本进行测试.在饮用了 250ml(60%) 60 度纯粮白酒(相当于 5 瓶啤酒)恰好一小时,血清中酒精含量(最大值)统计数据: 血清酒精含量 [0.2,0.4‰‰) [0.4‰,0.8‰) [0.8‰,1.2‰) [1.2‰,1.6‰) [1.6‰,+∞) 人数 1 2 12 13 2 以上数据为参考依据. (1)试估计 20~55 岁的饮酒男性在饮用了 250ml(60%)60 度纯粮白酒(相当于 5 瓶啤酒) 恰好一小时,血清中酒精含量 0.8%及以上的概率是多少? (2)在午夜 12 点,酒吧营业两小时,客人餐饮大约一小时.有 5 名 20~55 岁的男性(每人 饮用相当于 60 度纯粮白酒饮酒量 250ml 左右)从酒吧走出并驾车离开(已知其中 4 人血清酒 精含量 0.8‰及以上,一人 0.8‰以下) ,恰有两人途中被交警拦截检查,则这两人均是醉酒驾 车的概率是多少? 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)设“血清中酒精含量 0.8%及以上”的事件为 A,根据概率公式计算即可, (2)设血清中酒精含量 0.8‰以下那人为 a,其余 4 人为 b、c、d、e,分别列举出所有的基本 事件,再找到两人均是醉酒驾车的基本事件,根据概率公式计算即可. 解答: 解: (1)设“血清中酒精含量 0.8%及以上”的事件为 A, 其中基本事件 n(A)=27,总事件数为 N=30, 则 P(A)= = = ,

∴血清中酒精含量 0.8‰及以上的概率是



(2)设血清中酒精含量 0.8‰以下那人为 a,其余 4 人为 b、c、d、e, 5 个人两两组合共有 ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de 十种, 其中 bc、bd、be、cd、ce、de 为二人均是醉驾, 设“二人均是醉驾”为事件 B, 故 n(B)=6,N=10, ∴ ,

∴两人均是醉酒驾车的概率为 . 点评: 本题考查了古典概型的概率问题,关键是掌握概率公式,属于基础题. 18. (14 分)如图为一多面体 ABCDFE,AB⊥AD,AB∥CD,CD=2AB=2AD=4, 四边形 BEFD 为平行四边形,BD=DF,∠BDF= (1)求证:平面 BCE⊥平面 BEFD. (2)求点 B 到面 DCE 的距离. ,DF⊥BC,

考点: 点、线、面间的距离计算;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)取 CD 中点 G,连接 BG,通过证明 BC⊥平面 BDFE,然后证明平面 BCE⊥ 平面 BEFD. (Ⅱ)求出几何体 C﹣BDE 的体积,设点 B 到面 DCE 的距离为 h,由等体积法求解即可. 解答: (Ⅰ)证明:取 CD 中点 G,连接 BG,∵AB∥CD,CD=2AB=2AD=4, ∴AB∥GD,AB=GD=AD=2,∵AB⊥AD,∴四边形 ABGD 是正方形;…1 分 ∴ ,GB⊥CD,BG=GD=GC=2,∴ , 且∠ADB=∠BDC=∠BCD=45°;…2 分 ∴BD⊥BC∵DF⊥BC,BD∩DF=D∴BC⊥平面 BDFE,…4 分 ∵BC?平面 BCE∴平面 BCE⊥平面 BEFD;…6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 BC⊥平面 BDFE,∴ 由∠BDF= 又 BC=2 ,得 ,∴ ,且 ,∴ ;…9 分 ,… 7 分 …8 分

设点 B 到面 DCE 的距离为 h,由等体积法,…10 分

∴ 在△ DCE 中,易得: .…14 分.

.…11 分 ,∴ ,…13 分

点评: 本题考查空间几何体的体积的求法,点到平面的距离的求法,直线与平面垂直的判 定定理的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力. 19. (14 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn. 2 (1)若 4Sn﹣an ﹣2an﹣1=0,求{an}的通项公式; (2) 若{an}是等比数列, 公比为 q (q≠1, q 为正常数) , 数列{lgan}的前 n 项和为 Tn, 为定值, 求 a1. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 4Sn﹣an ﹣2an﹣1=0 与
﹣1

2

作差可得 an﹣an

=2,进而可得结论; 可得数列{lgan}是 lga1 为首项、lgq 为公差的等差数列,利用等差数

(2)通过设

列的求和公式并化简可得 解答: 解: (1)∵4Sn﹣an ﹣2an﹣1=0 ∴ 即 a1=1, 由①得:当 n≥2 时, ①﹣②得: (an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣2)=0, ∵an>0,∴an﹣an﹣1﹣2=0,即 an﹣an﹣1=2, ∴数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, ∴an=2n﹣1;
2

(其中 p 为定值) ,计算即得结论. ① ,



(2)由题设可知:



令 bn=lgan=nlgq+lga1﹣lgq, ∴数列{lgan}是 lga1 为首项、lgq 为公差的等差数列, 若 为定值,令 (定值) ,





即{[(k+1) ﹣pk ]lgq}n+[(k+1)﹣pk]( ∵q≠1,q>0, ∴(*)式等价于 ,

2

2

)lgq=0 对 n∈N 恒成立

*

(*)


*

,将其代入(k+1)﹣pk=0,得:p=0 或 p=1, ,

∵k∈N ,∴p>0 且 p≠1,∴ ∵an>0,∴q>0, ∴ .

点评: 本题考查求数列的通项及求和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中 档题. 20. (14 分)已知 a>0,a≠1,f(x)=x﹣ak,g(x)=x ﹣a . (1)若方程 loga
f(x) 2 2

=loga

有解,求 k 的取值范围;

(2)若函数 h(x)满足:h'(x)=g(x)﹣kf(x) ,求当 a=2 时函数 h(x)的单调区间. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数与方程的综合运用. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1) 根据已知条件得到 , 由②便可得到 2kx=a (1+k ) ,
2

容易说明 k≠0, 从而可解出 x, 带入①便可得到关于 k 的不等式, 解不等式即得 k 的取值范围; 2 2 (2)容易求出 a=2 时,h′(x)=x ﹣kx+2k ﹣4,要判断 h(x)的单调性,显然需要判断 h′ (x)的符号,从而需讨论△ 的取值:△ ≤0 时,h′(x)≥0,从而得到 h(x)此时在 R 上单调 递增,△ >0 时,可设 h′(x)=0 的两根为 x1,x2,这时候即可判断 h′(x)的符号,从而判 断出此时 h(x)的单调性.

解答: 解: (1)由题意得:



易知①③成立时,②显然成立,所以只需解①③; 2 由③得:2kx=a(1+k )④; 当 k=0 时,由 a>0 知④无解; 所以 k≠0, ,代入①得:

?

?



解得 k<﹣1,或 0<k<1; ∴k 的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(0,1) ; 2 2 (2)a=2 时,h′(x)=g(x)﹣kf(x)=x ﹣kx+2k ﹣4; 2 △ =16﹣7k ; 当k ,或 时,△ ≤0,h′(x)≥0 恒成立;

∴h(x)在 R 上单调递增; 当 时,△ >0;

令 h′(x)=0 得,



∴h(x)在(﹣∞,x1) , (x2,+∞)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减. 点评: 考查对数中的真数大于 0,解分式不等式,以及判别式和二次函数取值的关系,函数 导数符号和函数单调性的关系,并且要熟悉二次函数的图象.

21. (14 分)已知双曲线 E:

=1(a>2) .

(1)若 E 的离心率为

,求 E 的方程;

(2) 设 E 的左、 右焦点为 F1、 F2, 点 P 为双曲线上的点, 直线 F2P 交 y 轴于点 Q, 并且 F1P⊥F1Q, 当 a 变化时,若点 P 是第一象限内的点,则点 P 在某一条定直线上吗?如果这条定直线存在, 请求出直线方程;如果不存在这条定直线,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用双曲线的离心率,解得 a=3,然后求出椭圆 E 的方程. 2 2 2 (2)假设这条定直线存在.设 P(x,y) 、Q(0,yQ) ,利用 F1P⊥F1Q,推出 x ﹣y =2a ﹣4, 与双曲线方程联立,然后求出直线方程.

解答: (1)解: 解得:a =9…(3 分) ∵a>0,∴a=3…(4 分) E: …(5 分)
2

,…(2 分)

(2)解:假设这条定直线存在. 设 P(x,y) 、Q(0,yQ) ,而 ,F1(﹣c,0) 、F2(c,0)

由 P、F2、Q 三点共线知

,…(6 分)



,…(7 分)

所以

=(x+c,y) ,

=

…(8 分)

因为 F1P⊥F1Q,所以
2 2 2 2 2 2

=

,…(9 分)

故 x ﹣y =c ,即 x ﹣y =2a ﹣4,…(10 分)

与双曲线方程联立得:

解得



,…(12 分)

若点 P 为第一象限内的点,则 x>0,y>0, 所以 , ,…(13 分)

∴x﹣y=2, 即点 P 在定直线 x﹣y=2 上.…(14 分) 点评: 本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用,双曲线方程的求法,考查分析问题 解决问题的能力.


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