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【轻松突破120分】2014高考数学精炼11 理


2014 高考数学(理)轻松突破 120 分 11
【选题明细表】 知识点、方法 平行与垂直问题 空间角 空间距离 开放性问题及综合应用 题号 1、3、8 2、4、5、7、9 6、11 10

一、选择题 1.若直线 l 的方向向量为 a,平面α 的法向量为 n,有可能使 l∥α 的是( D ) (A)a=(1,0,0),n=(-2,0,0) (B)a=(1,3,5),n=(1,0,1) (C)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) (D)a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析:若 l∥α ,则 a·n=0. 而选项 A 中 a·n=-2. 选项 B 中 a·n=1+5=6. 选项 C 中 a·n=-1, 选项 D 中 a·n=-3+3=0, 故选 D. 2.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,则直线 AM 与 CN 所成角

α 的余弦值为( A ) (A)

(B)

(C)

(D)

解析:以点 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间

-1-

直角坐标系. 则 A(1,0,0),M ,

C(0,1,0),N

,



=

,

=

.



·

=0×1+ ×0+1× = ,

|

|=

= ,

|

|=

= ,

∴cos α =

=

= ,

即直线 AM 与 CN 所成角α 的余弦值为 .故选 A.

3.如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别在 A1D、AC 上,且 A1E= A1D,AF= AC,则(

B )

(A)EF 至多与 A1D,AC 之一垂直

-2-

(B)EF⊥A1D,EF⊥AC (C)EF 与 BD1 相交 (D)EF 与 BD1 异面 解析:以 D 点为坐标原点,以 DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标

系,设正方体棱长为 1, 则 A1(1,0,1),D(0,0,0), A(1,0,0), C(0,1,0),E ,F ,

B(1,1,0),D1(0,0,1), =(-1,0,-1), =(-1,1,0),

=

,

=(-1,-1,1),

=-

,

·

=

·

=0,

从而 EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选 B. 4.如图所示,ABCDA1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体,E、 F 分别是棱 AB、 BC 上的动点,且 AE=BF.当 A1、

E、F、C1 共面时,平面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为( B ) (A) (B)

(C) (D)

解析:以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,易知当 E(6,3,0) 、 F(3,6,0) 时 ,A1 、 E 、 F 、 C1 共面 , 设平面 A1DE 的法向量为 n1=(a,b,c), 依题意得

-3-

可取 n1=(-1,2,1),同理可得平面 C1DF 的一个法向量为 n2=(2,-1,1),故平面 A1DE 与平面 C1DF 所 成二面角的余弦值为 = .故选 B.

5.如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 的正三角形,侧棱长为 3, 则 BB1 与平面 AB1C1 所成的角为( A )

(A)

(B)

(C) (D) 解析:取 AB 中点 O 为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则 A(1,0,0),

B(-1,0,0),B1(-1,0,3),C1(0,

,3),

=(0,0,3),

=(-2,0,3),

=(-1,

,3).

设 n=(x,y,z)为平面 AB1C1 的法向量, 则

-4-



令 x=3,则 n=(3,-

,2).

设 BB1 与平面 AB1C1 所成的角为θ ,则 sin θ =|cos<n, >|= | |= = .

∴θ = .故选 A. 二、填空题 6.已知在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1 到平面 AB1D1 的距离 是 . 解析:如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz,

则 A1(2,0,4),A(2,0,0), B1(2,2,4),D1(0,0,4), =(-2,0,4), =(0,2,4),

=(0,0,4), 设平面 AB1D1 的法向量为 n=(x,y,z), 则

即 解得 x=2z 且 y=-2z, 不妨设 n=(2,-2,1), 设点 A1 到平面 AB1D1 的距离为 d, 则 d= = .

答案:

-5-

7.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,二面角 CABD 的余弦值为 ,M、N 分别是 AC、 BC 的中点,则 EM、AN 所成角的余弦值等于 .

解析:过 C 点作 CO⊥平面 ABDE,垂足为 O,取 AB 中点 F,连接 CF、OF,则∠CFO 为二面角 CABD 的

平面角, 设 AB=1,则 CF= ,

OF=CF·cos∠CFO= ,OC= , 则 O 为正方形 ABDE 的中心, 如图所示建立直角坐标系 Oxyz, 则E ,M ,

A

,N

,

=

,

=

,

cos<

,

>=

= .

答案: 三、解答题 8.在四棱锥 PABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD, AB=4,AD=2 ,CD=2,PA⊥平面 ABCD,PA=4.

-6-

(1)设平面 PAB∩平面 PCD=m,求证:CD∥m; (2)求证:BD⊥平面 PAC. 证明:(1)因为 AB∥CD,CD?平面 PAB,AB? 平面 PAB, 所以 CD∥平面 PAB. 因为 CD? 平面 PCD,平面 PAB∩平面 PCD=m, 所以 CD∥m. (2)因为 AP⊥平面 ABCD,AB⊥AD, 所以以 A 为坐标原点,AB、AD、AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,

则 B(4,0,0),P(0,0,4),D(0,2

,0),C(2,2

,0),

所以

=(-4,2

,0),

=(2,2

,0),

=(0,0,4),

所以

·

=(-4)×2+2

×2

+0×0=0,

·

=(-4)×0+2

×0+0×4=0,

所以 BD⊥AC,BD⊥AP. 因为 AP∩AC=A,AC? 平面 PAC, PA? 平面 PAC, 所以 BD⊥平面 PAC. 9.如图所示,已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD 垂足为 H,PH 是四棱锥的

-7-

高,E 为 AD 的中点. (1)证明:PE⊥BC; (2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值. (1)证明:以 H 为原点,HA、HB、HP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,

建立空间直角坐标系如图所示, 设 HA=1, 则 A(1,0,0),B(0,1,0). 设 C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0), 则 D(0,m,0),E .

可得

=

,

=(m,-1,0).

因为

·

= - +0=0,

所以 PE⊥BC. (2)解:由已知条件及(1)可得 m=- ,n=1, 则 P(0,0,1). = ,

=(-1,0,1).

易知

为平面 PEH 的一个法向量.

-8-

∴|cos<

,

>|=

= ,

因此直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 . 10.如图所示,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D 是 BC 的中点.

(1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)求二面角 C1ADC 的余弦值; (3)试问线段 A1B1 上是否存在点 E,使 AE 与 DC1 成 60° 角?若存在,确定 E 点位置,若不存在,说 明理由. (1)证明:连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD. 由 ABCA1B1C1 是直三棱柱 得四边形 ACC1A1 为矩形,O 为 A1C 的中点. 又 D 为 BC 的中点, 所以 OD 为△A1BC 的中位线, 所以 A1B∥OD. 因为 OD? 平面 ADC1,A1B?平面 ADC1, 所以 A1B∥平面 ADC1. (2)解:由于 ABCA1B1C1 是直三棱柱, 且∠ABC=90°, 故 BA、BC、BB1 两两垂直. 如图所示建立空间直角坐标系.

设 BA=2,则 B(0,0,0), A(2,0,0),C(0,2,0), C1(0,2,1),D(0,1,0). 所以 =(-2,1,0), =(-2,2,1).

设平面 ADC1 的法向量为 n=(x,y,z), 则有

-9-

所以

取 y=1,得 n=( ,1,-1). 易知平面 ADC 的一个法向量为 v=(0,0,1). 由于二面角 C1ADC 是锐角且 cos<n,v>= =- .

所以二面角 C1ADC 的余弦值为 . (3)解:假设存在满足条件的点 E. 因为 E 在线段 A1B1 上,A1(2,0,1),B1(0,0,1), 故可设 E(λ ,0,1),其中 0≤λ ≤2. 所以 =(λ -2,0,1), =(0,1,1).

因为 AE 与 DC1 成 60°角, 所以 = .



= ,

解得λ =1 或λ =3(舍去). 所以当点 E 为线段 A1B1 的中点时,AE 与 DC1 成 60°角. 11.如图所示,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BAC=90°, AB=AC=AA1=1,D 是棱 CC1 上的一点,P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点,且 PB1∥平面 BDA1.

(1)求证:CD=C1D; (2)求二面角 AA1DB 的平面角的余弦值; (3)求点 C 到平面 B1DP 的距离. (1)证明:连接 AB1 与 A1B 交于点 F,则 F 为 AB1 的中点,再连接 DF.

- 10 -

∵PB1∥平面 BDA1,PB1? 平面 PB1A,平面 PB1A∩平面 BDA1=DF, ∴PB1∥DF, ∴D 为 AP 的中点. 在△PAA1 中,DC1∥AA1, ∴C1 为 A1P 的中点, 易得△ACD≌△PC1D, ∴CD=C1D. (2)解:以 A1 为原点,分别以 A1B1、A1C1、A1A 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. ∵AB=AC=AA1=1, ∴B1(1,0,0),P(0,2,0),D ,

B(1,0,1),C(0,1,1), 由于 A1B1⊥平面 AA1D, ∴平面 AA1D 的一个法向量 n1=(1,0,0). 设平面 BA1D 的法向量为 n2=(x,y,z). ∵ =(1,0,1),

=

,

∴ 取 z=2, ∴ ∴n2=(-2,-1,2). ∴cos<n1,n2>= =- .

- 11 -

由图形可得,二面角 AA1DB 的平面角的余弦值为 . (3)解:设平面 B1DP 的法向量为 n3=(x',y',z'), ∵ =(-1,2,0), = ,

∴ 取 z'=2,则 y'=1,x'=2, ∴n3=(2,1,2), 又 = ,

∴点 C 到平面 B1DP 的距离 d= = = .

- 12 -


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