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初、高中数学衔接知识复习:二次函数(一)


初、高中数学衔接知识复习:二次函数
一.要点回顾
1. 二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)配方得:
2

y = ax2 + bx + c = a(x2 +

b b b2 x ) + c = a(x2 + x + ) + c - a a 4a 2

b2 b 2 b2 ? 4ac ?

a( x ? ) ? , 4a 2a 4a
所以,y=ax +bx+c(a≠0)的图象可以由函数 y=ax 的图象作左右平移、上下平移而得 到。 2.二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的性质: [1] 当 a>0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向 对称轴为直线 ;当 x ;当 x
2 2 2 2 2

;顶点坐标为 ;当 x . ;顶点坐标为 ;当 x .

, 时,

时,y 随着 x 的增大而 时,函数取最小值

y 随着 x 的增大而

[2] 当 a<0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向 对称轴为直线 ;当 x ;当 x

, 时,

时,y 随着 x 的增大而 时,函数取最大值

y 随着 x 的增大而

上述二次函数的性质可 以分 别通过上 图直观地表 示出来.因此,在今后解决 二次函数问题时,可以借助
O

y

b x=- 2a

y

A (?

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

于函数图像、利用数形结合 的思想方法来解决问题. 3.二次函数的三种表示方式
A (?

x

O x=- 图 2.2-4

x

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

b 2a

图 2.2-3

[1]二次函数的三种表示方式:(1).一般式: (2).顶点式: ; (3).交点式:

; .

说明:确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设 成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下 三种形式:①给出三点坐标可利用一般式来求;②给出两点,且其中一点为顶点时可利用顶 点式来求.③给出三点,其中两点为与 x 轴的两个交点 ( x1 ,0) . ( x2 ,0) 时可利用交点式来求.
1

2 二次函数图像的变换----------平移 2 二次函数 y=a(x+h) +k(a≠0)中, a 决定了二次函数图象的开口大小及方向; h 决定了 二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移” ;k 决定了二次函数图象的上下平移, 而且“k 正上移,k 负下移” . 选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( ) 2 2 (A)y=2x (B)y=2x -4x+2 2 2 (C)y=2x -1 (D)y=2x -4x 2 2 (2)函数 y=2(x-1) +2 是将函数 y=2x ( ) (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2 (3)把函数 y=-(x-1) +4 的图象向左平移 2 个单位,向下平移 3 个单位,所得图象对 应的解析式为 ( ) 2 2 (A)y= (x+1) +1 (B)y=-(x+1) +1 2 2 (C)y=-(x-3) +4 (D)y=-(x-3) +

二.题型演练
例 1. 抛物线 y ? ?

1 2 对称轴是_________, 开口向_____, ? x ? 2 ? ? 5 的顶点坐标是_________, 2 当 x =_______时, y 有最______值,最大值为 ________。
2

例 2.抛物线 y ? 2 x ? 4 x ? 6 的顶点式为 y =

,交点式为 y ? ___ __

__,

顶点坐标是 ,对称轴是 2 例 3. 求二次函数 y=-3x -6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小 值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.

例 4.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1) 某二次函数的最大值为 2, 图像的顶点在直线 y=x+1 上, 并且图象经过点 (3 , ? 1) ; (2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2; (3)已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8).

2

例 5 把二次函数 y=x +bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数

2

y=x2 的图像,求 b,c 的值。

三.巩固练习
1.选择题: (1)把函数 y=-(x-1) +4 的图象的顶点坐标是( (A) (-1,4)
2 2

) (D) (1,4)

(B) (-1,-4)

(C) (1,-4) ) (C)有最大值 10

(2)函数 y=-x +4x+6 的最值情况是 ( (A)有最大值 6
2

(B)有最小值 6

(D)有最大值 2 )

(3)函数 y=2x +4x-5 中,当-3≤x<2 时,则 y 值的取值范围是 ( (A)-3≤y≤1 2.填空: (B)-7≤y≤1 (C)-7≤y≤11

(D)-7≤y<11

(1)已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(1,0),且过点 C(2,4) ,则该二 次函数的表达式为 .

( 2 )已知某二次函数的图象过点(- 1 , 0 ) , (0,3) , (1,4) ,则该函数的表达式 为 .

3.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1)已知二次函数的图象经过点 A(0, ?1 ) ,B(1,0) ,C( ?1 ,2) ; (2)已知抛物线的顶点为(1, ?3 ) ,且与 y 轴交于点(0,1) ; (3)已知抛物线与 x 轴交于点 M( ?3 ,0) , (5,0) ,且与 y 轴交于点(0, ?3 ) ; ? 2 (4)已知抛物线的顶点为(3, ) ,且与 x 轴两交点间的距离为 4. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况, 并画出其图象. 2 2 (1)y=x -2x-3; (2)y=1+6 x-x .

3

4.如图,某农民要用 12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈 养小鸡.已知墙的长度为 6m,问怎样围才能使得该矩形面积最大?

第2题

例 2 某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日销售 量 y(件)之间关系如下表所示:

x /元 y/件

130 70

150 50

165 35

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的 销售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少?

2 6.当 1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ? x ? x ? 1的最大值和最小值.

7. x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围.

4


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