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【6年高考4年模拟】2013版高考数学 第二章 函数与基本初等函数 第三节 函数、方程及其应用精品试题


【数学精品】2013 版《6 年高考 4 年模拟》 第三节 第一部分 函数、方程及其应用 六年高考荟萃 2012 年高考题 1.[2012·北京卷] 某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图 1-6 所示.从目前记录 的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 值为( ) 图 1-6 A.5 B.7 C.9 D.11 答案:C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势,也就是函数增减速度的快 慢. 法一:因为随着 n 的增大,Sn 在增大,要使 取得最大值,只要让随着 n 的增大 Sn+1-Sn 的值 超过 Sn n Sn+1-S1 Sn+1-S1 (平均变化)的加入即可,Sn+1-Sn 的值不超过 (平均变化)的舍去,由图像 n n 可知,6,7,8,9 这几年的改变量较大,所以应该加入, 到第 10,11 年的时候, 改变量明显变小, 所以不应该加入,故答案为 C. 法二:假设 是 取的最大值,所以只要 > Sm Sn m n Sm Sm+1 Sm-0 Sm+1-0 即可,也就是 > ,即可以看 m m+1 m-0 ? m+1? -0 作点 Qm(m,Sm)与 O(0,0)连线的斜率大于点 Qm+1(m+1,Sm+1)与 O(0,0)连线的斜率,所以观察 可知到第 Q9(9,S9)与 O(0,0)连线的斜率开始大于点 Q10(10,S10)与 O(0,0)连线的斜率.答案 为 C. 2.[2012·上海卷] 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置 为原点,以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长 度),则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图 1-4.现假设:①失 12 2 事船的移动路径可视为抛物线 y= x ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往 49 救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t. (1)当 t=0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的 大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? 7 12 2 解:(1)t=0.5 时,P 的横坐标 xP=7t= ,代入抛物线方程 y= x ,得 P 的纵坐标 yP=3. 2 49 由|AP|= 949 ,得救援船速度的大小为 949海里/时. 2 7 7 7 由 tan∠OAP= ,得∠OAP=arctan ,故救援船速度的方向为北偏东 arctan 弧度. 30 30 30 -1- (2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为(7t,12t ). 由 vt= ? 12t +12? 1? ? 2 2 整理得 v =144?t + 2?+337. +? 7t? 2 2 2 2 , ? t? 1 2 因为 t + 2≥2,当且仅当 t=1 时等号成立. t 所以 v ≥144×2+337=25 ,即 v≥25. 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. 2 3 3.[2012·北京卷] 已知函数 f(x)=ax +1(a>0),g(x)=x +bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; 2 (2)当 a =4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值. 2 解:(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x +b. 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的

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