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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义


2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

兰州九中 姜旭东
教学目标: 知识与技能 : 1、利用物理中功的概念了解平面向量数量积的物理背景,理解向量的数量积概念及几 何意义;能够运用这一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆用等式求 向量的夹角; 2、 掌握由定义得到的数量积的 5 条 重要性质, 并能运用性质进行相关的判断和 运算; 3、 了

解 用平面向量数量积可 以处理有关长度、 角度和垂直的问题, 培养学生的应用 意 识. 过程与方法: (1)在学习和运用向量的数量积的过程中,进一步体会平面向量本质及它与生活和自然 科学联系,认识事物的统一性,并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法; (2)培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神,培养学 生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。 (3)通过对向量的数量积的探究、交流、总结,从各角度、用各方法来体会向量之间的 关系和作用,不断从感性认识提高到理性认识, 。 学习重点:平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 学习难点: 平面向量的数量积与向量投影的关系;运算律的理解和平面向量数量积的应用。 教学方法:探究、精讲 学习方法: 自主、合作探究学习法 学习过程: 回顾复习:向量的夹角: 两个非零向量夹角的概念:非零向量 a 与 b ,作 OA = a ,OB = b , 则∠AOB=θ (0 ≤θ ≤π )叫 a 与 b 的夹角(两向量必须是同起点的) 特别地:当θ =0时, a 与 b 同向;当θ =π 时, a 与 b 反向; 当θ =

?

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? ? ? ? ? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥ b ; 2

物理问题:一个物体在力 F 的作用下产生的位移 s ,那么力 F 所做的功应当怎样计算?

W ? F s cos ? (其中? 为F 与s的夹角)

结论:功是一个标量,功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示:能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢? 一、 平面向量的数量积的定义 1、定义:已知两个非零向量 a 和 b ,我们把数量 a b cos? 叫做 a 和 b 的数量积(或内 积) ,记作 a ? b ,即 a ? b ? a b cos? .其中 ? 是 a 和 b 的夹角(0≤θ ≤π )

说明:(1)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由夹角决定. (2)记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。 问题 1:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负?

a ? b ? a b cos?

当0 ? ? ? 90 且a ? 0, b ? 0时,a b为正 当90 <? ? 180 且a ? 0, b ? 0时,a b为负 当? ? 90 或a ? 0, 或b ? 0时,a b为零
问题 2:向量的数量积运算与同向量的线性运算的结果有什么不同? 向量的线性运算的结果是向量,两向量的数量积是一个实数,是一个数量 。 问题 3:设 a 和 b 都是非零向量, a ? b 时, a ? b 等于多少?反之成立吗?

a ? b ? a ?b ? 0
问题 4:当 a 与 b 同向时, a ? b 等于多少?当 a 与 b 反向时, a ? b 等于多少? 特别地, a ? a 等于多少? 当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b

a?a ? a , a ? a
问题 5: a ? b 与 a b 的大小关系如何?为什么?

2

2

| a ? b |? | a || b |
问题 6:对于 a 与 b ,如何求他们的夹角 ? ?

cos ? ?
2、向量数量积的性质

a ?b | a || b |

以上五条

例1、已知 a ? 5, b ? 4,求a b (1)a与b的夹角? ? 120?; (2)a与b共线; (3)a ? b.

练习、已知?ABC中,a ? 5, b ? 8, C ? 60 ,求BC CA.

练习1、已知?ABC中, AB ? a , AC ? b , 当a ? b ? 0或a ? b ? 0时,试判断?ABC的形状。
二、平面向量数量积的几何意义 (1)向量投影的概念:如图,我们把 a cos ? 叫做向量 a 在 b 方向上的投影; b cos ? 叫做 向量 b 在 a 方向上的投影. 说明: (1) 作图:

当 ? 为锐角时投影为正值

当 ? 为钝角时投影为负值

当?=90?时投影为 0

? ? 当? = 0?时投影为 | b |;当?=90?时投影为 0;当? = 180?时投影为 ?| b |
(2)投影是一个数量,不是向量。 向量的数量积的几何意义:数量积 a · b 等于 a 的长度︱ a ︱与 b 在 a 的方向上的投影︱

b ︱cos ? 的乘积。
(2)向量的数量积的几何意义:数量积 a · b 等于 a 的长度︱ a ︱与 b 在 a 的方向上的投 影︱ b ︱cos ? 的乘积。

练习:已知 a ? 6, e为单位向量,当a与e之间的夹角分别等于45 , 90 , 135 时, 画图表示a在e方向上的投影,并求其値.
三、数量积的运算律

已知向量 a 、 b、 c 和实数 ? , 则
(1) 交换律 a ? b ? b ? a (2) 对数乘的结合律 (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b) (3) 分配律 (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c 运算律(2)与(3)的证明下节给出

思考:实数满足(ab)c ? a(bc ),向量的数量积满足交换律吗? 即:(a b)c ? a (b c )成立吗?

思考:实数满足ab ? bc, b ? 0 ? a ? c, a b ? b c , 能否推出a ? c?a b ? b c , b ? 0能否推出a ? c?
例、判断正误,并简要说明理由

?1? a ? 0 ? 0
(3) a ? b = a b

? 2 ? 0 ? a =0

? 4 ? 若a ? 0, 则对任一非零向量b有 a ? b ? 0 b 中至少有一个为 0 ? 5? 若a ? b=0,则 a , b c ? 6 ? 对任意向量a,,都有 ? a ? b ? ? c ? a ? ?b ? c ?
b a ? 7 ? 若a,是两个单位向量,则
2

?b

2

例2、我们知道,对任意的a,b ? R,恒有(a+b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ,(a+b) (a ? b) ? a 2 ? b 2 . 对任意的向量a , b , 是否也有下面类似的结论?(a+b) 2 ? a 2 ? 2a b ? b 2 ,(a+b) (a ? b ) ? a 2 ? b 2 .
例3、已知 | a |? 6,| b |? 4, a与b的夹角为60?,求a b, a , b ,
2 2

(a ? 2b) ? (a ? 3b).

2 1 , a ? b= 时, (1)求a与b的夹角?; (2)求 a ? b . 2 2 例4、已知 | a |? 3 , | b |? 4 ,且 ( a 与 b 不共线 ) .k为何值时,向量a ? kb与a ? kb互相垂直? 例:已知 a =1, b =
课堂小结: 1、向量的数量积的定义 2、向量数量积的性质 3、向量数量积的几何意义 4、数量积运算律 作业布置 课后反思


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