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2013年绍兴市高三第二次模拟考试理科数学(试题含答案)


2013 年绍兴市高三第二次模拟考试理科数学

2013 年绍兴市高三第二次模拟考试

理科数学参考答案
一、BABAA 二、 1 11. BDCAD 12. -10 13.

1 2

14.10

15.

4 3

1

6.

21 或 13 3

17.? ? ?, ? 2

? ?

1? ?

18.证明: (Ⅰ) ? 2 sin( 分

C ? C C C C ? ) cos ? 1,? (sin ? 3 ? cos ) cos ? 1 …………2 2 6 2 2 2 2

? 3 sin

C C C cos ? cos 2 ? 1 2 2 2 C C C ? 3 sin cos ? sin 2 …………………………………………………………… 2 2 2 ? 3 cos
? tan

…4 分

C C ? sin 2 2

C ? 3 …………………………………………………………………………… 2
……………………………………………………………………

…6 分

?
…7 分 (

C ? 2 ? 即C ? ? 2 3 3





c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ……………………………………………………………8 分

? (a ? b) 2 ? 2ab(1 ? cosC) ? a 2b 2 ? ab ? 4 …………………………………………1
0分

? ab ?


1? 17 2

………………………………………………………………………12

1 1 3 1 ? 17 3 ? 51 absin C ? ? ? ? ……………………………14 分 2 2 2 2 8 14 19.解: (Ⅰ) p ? …………………………6 分 81 ?S ?
(Ⅱ)

? 的分布列

?
P

0

1

2

3

14 27

10 27

2 27

1 27

E? =

17 …………………………14 分 27

20. (法一) 解: (Ⅰ) ∵平面 ADEF ? 平面 ABCD , 且平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD , 又 在 正 方 形

ADEF

中 , ED ? AD 平 面



∴ ED ? 平 面 ,

A B C D .
而 ∴ ED ? BC .

………………1 分

BC ?

A

B

C

D

……………………2 分

在直角梯形 ABCD 中, CD ? 2

z
E

BD ? AB ? AD ? 2
2 2

BC ? (CD ? AB ) 2 ? AD 2 ? 2

BD2 ? BC 2 ? CD 2 ,
∴ BC ? BD ………………4 分

F D

G

C

y A

又 ED , BD ? 平面 BDE , ED ? BD ? D , ∴ BC ? 平面 BDE 而 BC ? 平面 BEC , 分 (Ⅱ)取 BE 中点 M,连 MQ,故 MQ∥ BC; …………5 分 ∴平面 BDE ? 平面 BEC .

x

第 20 题

B

…………………6

由(Ⅰ)已得 CB⊥平面 BED;故 MQ⊥平面 BED;……………………………………7 分 延长 QP 与 ED 相交于点 S,则 BS 即为所求二面角的棱. 易知⊿SEQ∽⊿CED,故 故 ES ?

EQ ED ? …………………………………………………8 分 ES EC

EC ? EQ 5 ? ………………………………………………………………9 分 ED 2

所以 SD=SE-ED=

3 17 ,BD= 2 ,故 BS= ………………………………………10 分 2 2



1 1 5 34 ES ? BD ? BS ? h ,可得⊿SEB 的边 BS 上的高 h= ,………………11 分 2 2 17

所以点 M 到棱 BS 的距离为 d ?

h 5 34 ? ……………………………………12 分 2 34

故平面 EBD 与平面 BPQ 所成锐二面角的正切值为:

tan? ?

QM 2 5 34 17 ……………………………………13 分 ? / ? d 2 34 5 5 42 ……………………………………14 分 42
…………………2 分

所以 cos? ?

(法二) (Ⅰ)同法一,得 ED ? 平面 ABCD .

以 D 为原点, DA , DC , DE 分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系. 则 D(0 , 0 , 0) , B(1 , 1 , 0) , C (0 , 2 , 0) , E (0 , 0 , 1) . 分 ∴ BC ? (?1 , 1 , 0) , DB ? (1 , 1 , 0) , DE ? (0 , 0 , 1) , ∵ BC ? DB ? (?1) ?1 ? 1?1 ? 0 ? 0 ? 0 , BC ? DE ? (?1) ? 0 ? 1? 0 ? 0 ?1 ? 0 , ∴ BC ? DB ,BC ? DE . 分 又 DB , DE 不共线, DB , DE ? 平面 BDE , ∴BC ? 平面 BDE . 分 而 BC ? 平面 BEC , 平面 BDE ? 平面 BEC . 分 (Ⅱ)由 ?CQP ∽ ?CDE ,可得 …………………………………7 …………………………………6 ……………………………5 …………………………3

CQ CD 5 ? ,解得 CP ? ,………………8 分 CP CE 4

故 P(0, ,0) ,又 Q (0,1, ) ,可解得平面 PQB 的法向量为 n ? (1,?4,2) ,……………11 分 又平面 BDE 的法向量为 BC , 所以 cos? ?

3 4

1 2

n ? BC n BC

?

5 42 …………………………………14 分 42
2 3 + 2 ? 1 ,……………………………2 2 a 2b

21.解:(Ⅰ)由题意得 2c ? 2 ,所以 c ? 1 ,又 分

1 消去 a 可得, 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 ,解得 b 2 ? 3 或 b2 ? ? (舍去) ,则 a 2 ? 4 , 2 x2 y2 ? 1 .……………………………………………………4 所以椭圆 E 的方程为 ? 4 3


y y0 , k2 ? 1 , x1 ? 2 2 y0 y1 4 y1 4 y12 因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ? , 所以, k1k2 ? ,7 分 ? x1 ? 2 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4)

(Ⅱ)(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ?

4 y12 3 3 因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ? (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ? ? ? ……9 分 2 2( x1 ? 4) 2 4

(ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ?

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1 2 ? x1 ( x ? 2) ,…………………………………………10 y1

则直线 m 的方程为 y ? y0 ? 分
y?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? ? x? y1 y1 y1 x1 ? 2 y1 ( x1 ? 2) y1

?

2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 2 ? x1 x? ( x ? 1) , = = x? y1 y1 y1 y1 ( x1 ? 2) y1

所以直线 m 过定点 (?1, 0) . 分

………………………………………………………15

22.解: (Ⅰ)定义域 ?0,??? ……………………………………1 分

f ' ( x) ? ln x ? 1 ? a
1 2 1 1 ? ax2 ax , g ' ( x) ? ? ax ? …………………………2 分 2 x x 当 a ? 0 时, g ' ( x) ? 0 ,? g (x) 在 (0,??) 单调递增. …………………………4 分 g ( x) ? ln x ? 1 ? a ?

1 1 ) 单调递增, ( ? , ? ?) 单调递减. ……………6 分 a a (Ⅱ)法 1:设 h(b) ? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2
当 a ? 0 时, g (x) 在 (0, ? 则 h' (b) ? f ' (b) ? f ' (a ? b) ? ln 2

? ln b ? ln(a ? b) ? ln 2 ? ln
当 b ? 0 时, t ? 分

2b . ……………………………………………8 分 a?b

2b 单调递增,? h ' (b) 单调递增. ……………………………………9 a?b

令 h ' (b) ? 0, 则 b ? a .………………………………………………………………………10



? 在(0, a )上 h ' (b) ? 0, 在 (a,??) 上 h ' (b) ? 0, ? 在(0, a )上 h(b) 单调递减,在 (a,??) 上 h(b) 单调递增. …………………………11


? hmin (b) ? h(a) ? f (a) ? f (a) ? f (2a) ? 2a ln 2

? 2(a ln a ? a 2 ) ? (2a ln 2a ? 2a 2 ) ? 2a ln 2 ? 2a(ln a ? ln 2a ? ln 2) ? 0
? h(b) ? 0 ,即 f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2 .………………………………15 分
法 2:原不等式可化为: f (a) ? f [(a ? b) ? a] ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2 设函数 g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x)(k ? 0) 则 g ( x) ? x ? ln x ? (k ? x) ? ln(k ? x) ? ak (0 ? x ? k )

x g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln(k ? x) ? 1 ? ln k?x x x 2x ? k k ? 0,? ? 1,? ? 0 ,解得: ? x ? k , 令 g '( x) ? 0 ,则 ln k?x k?x k?x 2 k 令 g ?( x) ? 0, 解得 : 0 ? x ? ………………11 分 2 k k ?函数g ( x)在(0, ) 上单调递减,在 ( , k ) 上单调递增, 2 2 k ? g ( x)在(0, k )上的最小值为g ( ) 2 k ? x ? (0, k ) 时,总有 g ( x ) ? g ( ) , 2 k k k 即 f ( x) ? f (k ? x) ? f ( ) ? f (k ? ) ? 2 f ( ) 2 2 2 k k a?k ? 2( ? ln ? ) ? k ? ln k ? k ? ln 2 ? a ? k ? f (k ) ? k ? ln 2 …………13 分 2 2 2
令 x ? a, k ? x ? b, 则有 : f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b)ln 2. …………15 分


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