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8.2空间图形的基本关系与公理


远东二中导学稿★ 高三数学一轮复习 ★总计 50 期 7.3 空间图形的基本关系与公理
主备: 李建章 审核:
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1.直观认识和理解空间点、线、面的位置关系,掌握平面的基本性质即三个公 理、三个推论; 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 【考点梳理】 一、空间图形的基本关系 1.点与直线、平面的位置关系如下表: 点 A 在直线 a (直线 a 经过点 A) A___a 点 A 在直线 a 点 A 在平面 α (直线 a 不经过点 A) (平面 α 经过点 A) A___a A____α A____α 元素 与集 合间 的关 系

点 A 在平面 α (平面 α 不经过点 A) 2.空间中直线与直线的位置关系.
? ,有且只有_____公共点; ?相交直线 : 同一平面内 ?共面直线? , ____公共点; ? ?平行直线 : 同一平面内 ? , ____公共点. ?异面直线 : 不同在任何一个平面内 3. 直线与平面之间的位置关系.

直线在平面内

A____α

直线与平面相交

a∩α___A

直线与平面平行

a∥ α

4.平面与平面之间的位置关系. 如果两个平面没有公共点,则两平面 如果两个平面有一条公共直线, 则两平面 二、空间图形的公理
7.3

. ? 若 α∩β= ? ,,则 , ,则 α 与 β 相交.. ?若
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空间图形的基本关系与公理(文科)

公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点 (即 公理 2 ). 推理模式: ∵ A ? ? , B ? ? , ∴ .

经过不在同一条直线上的三点, .或者: ∵ A, B, C 不共线, ∴存在

. 推理模式: , 使得 A, B, C ?? .

A, B, C不共线? ? A, B, C ? ? ? ? A, B, C ? ? ? ?

推论 1 经过一条直线和 推论 2 过两条 推论 3 过两条

的一点,有且只有一个平面.

直线,有且只有一个平面. 直线,有且只有一个平面.

公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 . 推理模式:∵ A ?? , A ? ? ,∴ 且 .

公理 4 平行于同一直线的两条直线平行. 推理模式:∵ a ∥ b , b ∥ c ,∴ . 定理: 空间中, 如果两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角 三、异面直线所成的角:设 a , b 为两条异面直线,经过空间中任一点 O 作 直线 ,把

.

所成的锐角(或直角)叫作异面直线 a , b

所成的角. 【预习自测】 1.画图表示下列由集合符号给出的关系: (1)A ? ? , B? ? , A? l , B ? l ; (2) a ? ? ,b ? ? ,a ∥ c , b∩c=P,? ? ? ? c .

2.下列命题中正确的个数是( ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α ②若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D .3

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空间图形的基本关系与公理(文科)

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3. 如图,已知 α∩β=EF,A ? ? ,C、B ? ? ,C 与 EF 相交, 在图中分别画出平面 ABC 与 α、β 的交线. 【合作探究】 考点一 : 点共线、线共点问题 【例 1】点 A ? 平面 BCD , E , F , G, H 分别是 AB, BC, CD, DA 上的点,若 EH 与
FG 交于 P (这样的四边形 ABCD 就叫做空间四边形) 求证:B、D、P 三点共线.
王新敞
奎屯 新疆

A

E

H D G C

B

F

变式训练:如图 ABCD 为空间四边形,点 E,F 分别是 AB,BC 的中点,点 G,H 1 1 分别在 CD,AD 上,且 DH ? AD , DG ? CD .求证:EH、FG、BD 直线必相 3 3 A 交于一点.
E B H G C
王新敞
奎屯 新疆

H D

考点二 共面问题 【例 2】两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内
王新敞
奎屯 新疆

已知:直线 AB, BC , CA 两两相交,交点分别为 A, B, C 求证:直线 AB, BC , CA 共 面
王新敞
奎屯 新疆

A

?

C

B

变式训练: 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, E 是 AB 的中点, F 是 AA 1 的中点, 求证: E,F,D 1 ,C 四点共面.

7.3

空间图形的基本关系与公理(文科)

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考点三 异面直线 【例 3】如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点. (1)哪几条棱所在的直线与直线 A1D 是异面直线? D1 C1 N (2)哪几条棱所在的直线与直线 BD1 是异面直线? M A1 (3)直线 AM 与直线 CN 是否是异面直线?说明理由. B1

D

C B

A

变式训练:在空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且其所成的角是 60 0 ,点 M,N 分别是 BC,AD 的中点,求直线 AB 与 MN 所成的角.

【今日作业】 1.已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所成的角的余弦值为( A. 1
3

) C. 3
3

B. 2
3

D. 2
3

2. 空 间 四 边 形 ABCD 中 ,E,F,G 分 别 在 AB,BC,CD 上 , 且 满 足 AE:EB=CF:FB=2:1,CG:GD=3:1,过 E,F,G 的平面交 AD 于 H, 连接 EH. (1)求 AH:HD; (2)求证:EH,FG,BD 三线共点.

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