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2014届高考数学一轮复习课件:第四章第1课时向量的概念及线性运算(新人教A版)


第四章

平面向量、数系的扩 充与复数的引入

第1课时 向量的概念及线性运算

2014高考导航
考纲展示 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理 解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运 算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其 几何意义,理解两个向量共 线的含义. 6.了解向量线性运算的性质 及其几何意义. 备考指南
1.平面向量的线性运 算是考查重点. 2.共线向量定理的理 解和应用是重点, 也是难点. 3.题型以选择题、填 空题为主,常与解 析几何相联系.

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.向量的有关概念 大小 方向 (1)向量:既有______又有______的量.向量的大小叫作向
长度 量的______ (或模). 任意 (2)零向量:长度为0的向量,其方向是______的. 1个单位长度 (3)单位向量:长度等于______________ 的向量. 相同或相反 (4)平行向量:方向______________的非零向量. 相等 相同 (5)相等向量:长度______且方向______的向量. 相等 相反 (6)相反向量:长度______且方向______的向量.

2.向量的加法与减法

(1)加法
①法则:服从三角形法则和平行四边形法则. b+a ②性质:a+b= ______ (交换律);

(a+b)+c=a+(b+c)(结合律);
a+0=0+ a=a. (2)减法:减法与加法互为逆运算,服从三角形法则.

3.实数与向量的积

(1)|λa|=|λ||a|. λ<0 λ>0 (2)当______ 时,λa与a的方向相同;当______时,λa与a的方
向相反;当λ=0时,λa=0.

(3)运算律:设λ,μ∈R,则: (λμ)a ①λ(μa)= _________;
λa+μ a ②(λ+μ)a= ________ ; λa+λb ③λ(a+b)= _________. 4.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使 b=λa 得________ .

思考探究

如何用向量法证明三点A、B、C共线? → → → → 提示:首先求出AB、AC,然后证明AB=λ AC(λ ∈R), → → 即AB与AC共线即可.

课前热身
1.设a0,b0分别是与a,b同向的单位向量,则下列结论 中正确的是( A.a0=b0 C.|a0|+|b0|=2 ) B.a0·0=1 b D.|a0+b0|=2

解析:选C.因为是单位向量,所以|a0|=1,|b0|=1.

2.已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一 → → → 点 C,满足 2AC+CB=0,则OC等于( → → A.2OA-OB 2→ 1→ C. OA- OB 3 3 → → B.-OA+2OB 1→ 2→ D.- OA+ OB 3 3 )

答案:A

3.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误 的是( ) → → A.AB=DC → → → B.AD +AB=AC → → → C.AB-AD =BD → → D.AD +CB=0
解析:选 C.A 显然正确,由平行四边形法则知 B 正确. → → → C 中AB-AD =DB,所以错误. → → → → D 中AD +CB=AD +DA=0.

4.已知|a|=1,|b|=2,a=λb,则λ等于________.
解析:因为 a=λb,所以|a|=|λ|· |b|,即 1=2· |λ|,所以 λ 1 =± . 2
1 答案:± 2

5.若a=“向东走8 km”,b=“向北走8 km”,则|a+ b|=_____________;a+b的方向是________.
解析:根据向量加法的几何意义,|a+b|表示以 8 km 为 边长的正方形的对角线长,∴|a+b|=8 2,a+b 的方向 是东北方向.
答案:8 2 东北方向

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 例1 平面向量的基本概念 ①有向线段就是向量,向量就是有向线段;

②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; → → ③向量AB与向量CD 共线,则 A、B、C、D 四点共线; ④如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c. 以上命题中正确的个数为( ) A.1 C.3 B.2 D.0

【解析】

①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量

不是有向线段,有向线段也不是向量;
②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不 确定的,故两向量方向不一定相同或相反; ③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; ④不正确,如果b=0时,则a与c不一定共线. 所以应选D. 【答案】 D

【题后感悟】

准确理解向量的基本概念是解决这类题目的

关键.共线向量即为平行向量,非零向量平行具有传递性,

两个向量方向相同或相反就是共线向量 ,与向量长度无
关.两个向量方向相同且长度相等,才是相等向量.共线向 量和相等向量均与向量起点无关.

跟踪训练

1.给出下列命题:
(1)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. (2)两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. (3)λa=0(λ为实数),则λ必为零. (4)λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.

其中错误命题的个数为(
A.1 C.3

)

B.2 D.4

解析:选C.(1)错误.两向量共线要看其方向而不是起点 与终点. (2)正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比

较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.
(3)错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0. (4)错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意 向量.

考点 2

平面向量的线性运算 例2 如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F → 是 BC 的一个三等分点,那么EF=( ) 1→ 1→ A. AB- AD 2 3 1→ 1 → B. AB+ AD 4 2 1→ 1→ C. AB+ DA 3 2 1→ 2→ D. AB- AD 2 3

→ → → 【解析】 在△CEF 中,有EF=EC+CF.因为点 E 为 DC → 1→ 的中点,所以EC= DC.因为点 F 为 BC 的一个三等分点, 2 → 2→ → 1→ 2→ 1→ 2 → 1→ 所以CF= CB.所以EF = DC+ CB= AB+ DA= AB - 3 2 3 2 3 2 2→ AD ,故选 D. 3
【答案】 D

【方法提炼】

三角形法则和平行四边形法则是向量线性

运算的主要方法,共起点的向量和用平行四边形法则,差 → 1 用三角形法则;在△ABC 中,当 M 为 BC 中点时,AM= 2 → → (AB+AC)应作为公式记住.

跟踪训练 → → → → 2.在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD =2DC, → 则AD =( 2 1 A. b+ c 3 3 2 1 C. b- c 3 3 ) 5 2 B. c- b 3 3 1 2 D. b+ c 3 3

→ → → → → → 解析:选 A.∵BD =2DC,∴AD -AB=2(AC-AD ), → → → ∴3AD =2AC+AB, 1 → 2→ 1→ 2 ∴AD = AC+ AB= b+ c. 3 3 3 3

考点 3

平面向量共线定理的应用 已知非零向量 e1,e2 不共线.

例3

→ → → (1)如果AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD =3(e1-e2), 求证:A、B、D 三点共线; (2)欲使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线,试确定实数 k 的值.

→ 【解】 (1)证明:∵AB=e1+e2, → → → → BD =BC+CD =2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5AB, → → ∴AB与BD 共线,且有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线. (2)∵ke1+e2 与 e1+ke2 共线, ∴存在 λ,使 ke1+e2=λ(e1+ke2), 则(k-λ)e1=(λk-1)e2.由于 e1 与 e2 不共线,
?k-λ=0, ? 只能有? ? ?λk-1=0,

∴k=± 1.

【名师点评】
相表示.

(1)向量共线是指存在实数λ使两向量能互

(2)向量共线的充要条件中,通常只有非零向量才能表示与 之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用. (3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向 量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共 点时,才能得出三点共线.

跟踪训练

3.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,
向量c=2e1-9e2.问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa +μb与c共线?
解:∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2) =(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2, 要使 d 与 c 共线,则应有实数 k,使 d=kc, 即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,
?2λ+2μ=2k, ? 即? 得 λ=-2μ. ? ?-3λ+3μ=-9k,

故存在这样的实数 λ、μ,只要 λ=-2μ,就能使 d 与 c 共线.

方法感悟
1.共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方 向相同或相反.当然向量所在的直线可以平行,也可以重合. 其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义.实 际上,共线向量有以下四种情况:方向相同且模相等;方向

相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.这
样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不 一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.

2.向量的加、减法运算,要在所表达的图形上多思考,多
联系相关的几何图形,比如平行四边形、菱形、三角形等, 可多记忆一些有关的结论.

3.对于向量共线定理及其等价定理,关键要理解为位 置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关

系.用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线
平行问题.但是向量平行与直线平行是有区别的,直线 平行不包括重合的情况.也就是说,要证明三点共线或 直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b=λa, 再结合条件或图形有无公共点证明几何位置.

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难题易解


破解平面向量中的新定义问题

(2012· 高考广东卷)对任意两个非零的平面向量 α·β 1 α 和 β,定义 α?β= ?.若两个非零的平面向量 a,b 满 β·β ?π,π ?,且 a?b 和 b?a 都在集合 足 a 与 b 的夹角 θ∈ 4 2 ? ? ?n ? ? | n∈Z?中?,则 a?b= ( 2 ) ?2 ? 5 3 A. B. 2 2 1 C.1 D. 2

抓信息

破难点

α·β 转化数量积运算,可知 α?β 是实数; 1 定义 α?β= β·β
2 由于 a?b 和 b?a 都在集合{ |n∈Z},可设两数为 , ,

n 2

n m 2 2

1 两式相乘,可判断 mn 的范围. 4

【解析】

a· |a||b| b |a| |b| a?b= 2 = 2 cos θ= cos θ,b?a= cos θ. b |b| |b| |a|

?n ? 2 因为|a|>0,|b|>0,0<cos θ< ,且 a?b、b?a∈?2 n∈Z?, 2 ? ?

|a| n |b| m 所以 cos θ= , cos θ= ,其中 m、n∈N*,两式相乘, 2 |a| 2 |b| m· n 2 1 2 2 得 =cos θ.因为 0<cos θ< ,所以 0<cos θ< ,得到 4 2 2 1 0<m· n<2,故 m=n=1,即 a?b= ,故选 D. 2

【答案】

D

【方法提炼】

解答这类问题,首先需要分析新定义的特点,

把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,然后应用到具体的 解题过程之中,这是破解新定义信息题难点的关键所在.

跟踪训练 4. (2013· 安 十 校 联考 )定 义 平面 向 量之 间 的一 种 运算 泰 “⊙”如下:对任意的 a=(m,n),b=(p,q), 令 a⊙b= mq-np,下面说法错误的是( ) A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的 λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a· 2=|a|2|b|2 b)

解析:选B.a⊙b=mq-np,b⊙a=pn-qm,只有当mq-

np=0时,a⊙b=b⊙a,故B错误.

知能演练轻松闯关

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