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高中北师大版数学同步教学参考课件必修一 第2章-4.1二次函数的图像


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思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标

§ 4

二次函数性质的再研究 4.1 二次函数的图像
教师用书独具演示

●三维目标 1.知识与技能 (1)能够作出函数y=

a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像, 并能理解它与y=ax2的图像的关系. (2)掌握二次函数y=a(x-h)2+k图像的开口方向、对称 轴和顶点坐标及a,h,k对二次函数图像的影响.
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2.过程与方法 经历二次函数y=a(x-h)2+k图像的形成过程,提高作 图能力,学会观察比较,体验数形结合的数学思想. 3.情感、态度与价值观 (1)经历观察、猜想、总结等数学活动过程,发展合情 推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐 述自己的观点. (2)让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程 和结果.
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●重点难点 重点:二次函数图像的变换. 难点:二次函数图像的上下左右移动. 结合几何画板动态的演示函数图像的各种变换,让学 生直观的感受到a,h,k对二次函数图像的影响.

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●教学建议 二次函数是中学数学一个非常重要的函数,是初中和 高中数学的一个知识的交汇点,是研究一般函数图像、性 质的一个很典型的函数模板.从具体的二次函数的图像和 性质方面去研究一些函数图像之间的变换特点和规律,进 而引导学生对一般函数图像间的变换特点和规律的了解和 掌握.从特殊到一般,再由普遍的一般规律去指导具体的 函数问题.
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●教学流程

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演示结束
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课标解读

1.理解y=x2与y=ax2(a≠0),y=ax2 与y=a(x+h)2+k及y=ax2+bx+c的 图像之间的关系.(重点) 2.掌握a,h,k对二次函数图像的 影响.(难点、易混点)

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函数y=x2与函数y=ax2(a≠0)的图像间的关系

【问题导思】 1.在初中已学习过二次函数,那么二次函数是如何定 义的?它的定义域是什么?
【提示】 函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它 的定义域为R.

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2.由y=x2的图像如何得到y=2x2和y=-x2的图像?
【提示】 把y=x2图像上各点的纵坐标变为原来的2倍 即可得到y=2x 的图像;把y=x 图像上各点的纵坐标变为原 来的相反数,即可得到y=-x2的图像.
2 2

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二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由y=x2的图像各点的

纵坐标 变为原来的 a倍 得到.
此时,a决定了图像的 开口方向 和在同一直角坐标系 中的 开口大小 .

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函数y=ax2(a≠0)与函数y=a(x+h)2+ k(a≠0)的变换

【问题导思】 1.函数y=x2的图像与函数y=(x-1)2的图像有怎样的 关系?如何由y=x2的图像得到y=(x-1)2的图像?
【提示】 它们的形状相同,位置不同.把y=x2的图 像向右平移1个单位就可得到y=(x-1)2的图像.
2.如何由y=x2的图像得到y=x2-1的图像? 【提示】 把y=x2的图像向下平移1个单位.
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3.如何由y=x2的图像得到y=x2-2x-1的图像?

【提示】 y=x2-2x-1=(x-1)2-2,故只需把y=x2 的图像先向右平移1个单位,再向下平移2个单位.

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1.二次函数y=a(x+h)2+k的图像可由y=ax2向 左 平移

h 个单位长度(h>0),再向 上平移 k 个单位长度(k>0)得到.
2.二次函数y=a(x+h)2+k的图像可由y=ax2向右 平移

|h| 个单位长度(h<0),再向 下 平移|k| 个单位长度(k<0)得到.
在二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a决定了二次函数图 像的开口大小及方向. 3.将二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)通过配方化为y=a(x

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+h)2+k

(a≠0)的形式,然后通过函数y=ax (a≠0)的图像左

2

右、上下平移得到函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图像.
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二次函数图像的画法

画出函数y=2x2-4x-6的草图.
【思路探究】 选取二次函数上的特殊点及特殊的直 线确定函数的草图. 【自主解答】 y=2x2-4x-6

=2(x2-2x)-6 =2(x2-2x+1-1)-6 =2[(x-1)2-1]-6 =2(x-1)2-8.
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函数图像的开口向上,顶点坐标为(1,-8),对称轴为 直线x=1. 令y=0得2x2-4x-6=0,即x2-2x-3=0,∴x=-1或 x=3,故函数图像与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0). 画法步骤: (1)描点画线:在平面直角坐标系中,描出点(1,-8), (-1,0),(3,0),画出直线x=1;

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(2)连线:用光滑的曲线连点(1,-8),(-1,0),(3,0), 在连线的过程中,要保持关于直线x=1对称,即得函数y= 2x2-4x-6的草图,如图所示.

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画二次函数的图像重点体现图像的特征“三点一线一 开口”: 1.“三点”中有一个点是顶点,另两个点是关于对称 轴对称的两个点,常取与x轴的交点; 2.“一线”是指对称轴这条直线; 3.“一开口”是指抛物线的开口方向.

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画出函数y=x2-4x-12的图像.

【解】 y=x2-4x-12=(x-2)2-16. 函数图像开口向上,对称轴为x=2,顶点坐标为(2,- 16). 令y=0,即x2-4x-12=0得x=-2或x =6. 故图像与x轴的交点坐标为(-2,0), (6,0).图像如图所示:

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二次函数图像的变换
在同一坐标系中作出下列函数的图像,并分析 如何把y=x 的图像变换成y=2x -4x的图像. (1)y=x2;(2)y=x2-2;(3)y=2x2-4x.
2 2

【思路探究】 解答本题可就每个函数列表、描点、 连线,作出相应图像,然后利用图像以及二次函数的平移 变换规律分析y=x2与y=2x2-4x的图像之间的关系.

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【自主解答】 (1)列表:

x y=x2 y=x2-2 y=2x2-4x

-3 -2 -1 9 4 1 7 30 2 16

0 0

1 1

2 3 4 9

-1 -2 -1 2 7 6 0 -2 0 6

描点、连线即得相应函数的图像,如图所示.

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(2)y=2x2-4x =2(x2-2x) =2(x2-2x+1-1) =2(x-1) -2. 由y=x2到y=2x2-4x的变化过程如下: 法一 先把y=x2的图像横坐标不变,纵坐标变为原来 的2倍得到y=2x 的图像,然后把y=2x 的图像向下平移2个 单位长度得到y=2x2-2的图像,最后把y=2x2-2的图像向 右平移1个单位长度得到y=2(x-1) -2,即y=2x -4x的图 像.
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法二 先把y=x2的图像向右平移1个单位长度得到y=(x -1)2的图像,然后把y=(x-1)2的图像横坐标不变,纵坐标 变为原来的2倍得到y=2(x-1)2的图像,最后把y=2(x-1)2 的图像向下平移2个单位长度便可得到y=2(x-1)2-2,即y =2x2-4x的图像.

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所有二次函数的图像均可以由函数y=x2的图像经过变 换得到,变换前,先将二次函数的解析式化为顶点式,再 确定变换的步骤.常用的变换步骤如下: y=x
2

――――――→

横不变

纵变为原来的a倍

y=ax

2

――――→
k<0,下移

k>0,上移

y=ax2+

k ――――→ y=a(x+h)2+k,其中a决定开口方向及开口大小
h<0,右移

h>0,左移

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(或纵坐标的拉伸);h决定左、右平移,k决定上、下平移.

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(1)由y=-2x2的图像,如何得到y=-2(x+1)2-3的图 像? (2)把y=2x2的图像,向右平移3个单位长度,再向上平 移4个单位长度,能得到哪个函数的图像? (3)将函数y=4x2+2x+1写成y=a(x+h)2+k的形式,并 说明它的图像是由y=4x2的图像经过怎样的变换得到的?

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【解】 (1)把y=-2x2的图像向左平移1个单位长度, 再向下平移3个单位长度就得到y=-2(x+1) -3的图像. (2)把y=2x2的图像,向右平移3个单位长度,再向上平 移4个单位长度,就得到函数y=2(x-3)2+4,即y=2x2- 12x+22的图像.
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(3)y=4x2+2x+1 1 =4(x + x)+1 2
2

1 1 1 =4(x + x+ - )+1 2 16 16
2

12 1 =4[(x+4) -16]+1 12 3 =4(x+4) +4. 1 3 把y=4x 的图像向左平移 4 个单位长度,再向上平移 4 个
2

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单位长度,就可得到函数y=4x2+2x+1的图像.
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求二次函数的解析式

根据下列条件,求二次函数y=f(x)的解析式. (1)图像过点(2,0),(4,0),(0,3); (2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4); (3)过点(1,1),(0,2),(3,5).

【思路探究】

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【自主解答】 (1)设二次函数解析式为y=a(x-2)· (x- 4). 整理得y=ax2-6ax+8a, 3 ∴8a=3,∴a=8. 3 ∴解析式为y=8(x-2)(x-4); (2)设二次函数解析式为y=a(x-1) +2. 整理得y=ax2-2ax+a+2, ∴a+2=4,∴a=2. ∴解析式为y=2(x-1)2+2;
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(3)设函数解析式为y=ax2+bx+c, ?a+b+c=1, ? 由题设知?c=2, ?9a+3b+c=5, ? ?a=1, ? ??b=-2, ?c=2. ?

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∴函数解析式为y=x2-2x+2.

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求二次函数解析式的方法,应根据已知条件的特点, 选择解析式的形式,利用待定系数法求解. 1.若已知条件是图像上的三个点,则设所求二次函数 为一般式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的形式. 2.若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最 大(小)值,则设所求二次函数为顶点式y=a(x-h)2+k(其中 顶点为(h,k),a为常数,a≠0). 3.若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为 (x1,0),(x2,0),则设所求二次函数为两根式y=a(x-x1)(x- x2)(a为常数,且a≠0).
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二次函数的顶点坐标是(2,3),且经过点(3,1),求这个二 次函数的解析式.
【解】 法一 设所求二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知函数图像经过点(2,3)和点(3,1),函数图像的对称 b 轴是- =2. 2a ? ?9a+3b+c=1, ?4a+2b+c=3, 得方程组? ? b - =2. ? ? 2a 解这个方程组,得a=-2,b=8,c=-5.
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∴二次函数解析式为y=-2x +8x-5. 法二 二次函数的顶点式是y=a(x-h)2+k,而顶点坐 标是(2,3), 故有y=a(x-2)2+3,这样只需确定a的值. 因为图像经过点(3,1),所以x=3,y=1满足关系式y= a(x-2)2+3, 从而有1=a(3-2)2+3,解得a=-2. ∴函数解析式为y=-2(x-2)2+3, 即y=-2x2+8x-5.
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数形结合思想在二次函数问题中的应用 (12分)若方程x2-2x-3=a有两个不相等的实 数解,求实数a的取值范围.

【思路点拨】 令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,将方程有 两个不相等的实数解转化为两个函数的图像有两个不同的 交点.

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【规范解答】 令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a. 作出f(x)的图像如图所示.

2分

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∵f(x)与g(x)图像的交点个数即为方程x -2x-3=a解的 个数. 由图可知①当a<-4时,f(x)与g(x)无交点,即方程x - 2x-3=a无实根;
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2

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6分

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②当a=-4时,f(x)与g(x)有一个公共点,即方程x2-2x -3=a有一个实根; 8分

③当a>-4时,f(x)与g(x)有两个公共点,即方程x2-2x -3=a有两个实根.
2

10分
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综上所述,当方程x -2x-3=a有两个实数解时,实数 a的取值范围是(-4,+∞). 12分

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1.所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系,通 过数与形的相互转化来解决数学问题的思想. 2.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学 问题,可以起到事半功倍的效果,数形结合的重点是“以 形助数”.

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1.y=ax2(a≠0)的图像与y=ax2+bx+c(a≠0)的 图像之间进行变换时应先将y=ax +bx+c进行配方, 平移时应注意平移的方向及单位长度. 2.求二次函数的解析式一般采用待定系数法, 当抛物线过三点时,可选用一般式;当已知条件与顶 点坐标和对称轴有关时,可选用顶点式;当已知条件
2

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与x轴的交点坐标有关时,可选用两根式.

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3.在利用数形结合的思想解决与二次函数 的图像有关的问题时,只需要画出二次函数的 大致图像(画出开口方向、对称轴、与坐标轴的 交点、特殊点)即可.

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1.下列关于二次函数y=x2+x+1的开口方向和顶点的 说法,正确的是( )

A.开口向下,顶点(1,1) B.开口向上,顶点(1,1) 1 3 C.开口向下,顶点(- , ) 2 4 1 3 D.开口向上,顶点(- , ) 2 4

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12 3 【解析】 ∵y=x +x+1=(x+ ) + , 2 4
2

1 3 ∴抛物线开口向上,顶点为(- , ). 2 4
【答案】 D

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2.将函数y=x2-2x的图像向右平移2个单位,再向下 平移1个单位后所得图像的解析式为( A.y=x2+6x+7 C.y=x2+2x-1 )

B.y=x2-6x+7 D.y=x2-2x+1

【解析】 ∵y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴平移后y=(x-3)2-2=x2-6x+7.
【答案】 B

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3.已知二次函数y=f(x)的图像如图2-4-1所示,则此 函数的解析式为____.

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图2-4-1

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【解析】 由图像设f(x)=ax2+3(a≠0). 把(2,0)代入得4a+3=0, 3 ∴a=- . 4 3 2 ∴f(x)=-4x +3.

3 2 【答案】 y=-4x +3

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4.如何由函数y=2x2-4x+3的图像得到函数y=2x2+ 4x-1的图像?

【解】 y=2x2-4x+3=2(x-1)2+1, y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3. 将函数y=2(x-1)2+1的图像向左平移2个单位长度,再 向下平移4个单位长度,就得函数y=2[(x+2)-1]2+1-4= 2(x+1)2-3=2x2+4x-1的图像.

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课时作业(九)

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已知二次函数y=2x2-4x-6. (1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标,并 画出函数图像; (2)求此函数图像与x轴,y轴的交点坐标,并求出以此 三点为顶点的三角形面积; (3)x为何值时,y>0,y=0,y<0?

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【思路探究】 (1)已知二次函数,通过配方可求得对 称轴及顶点坐标,再由函数的对称性列表描点可画出图 像; (2)函数图像与x轴,y轴相交的条件分别是y=0,x=0, 可求对应的变量值,进一步求出三角形的面积; (3)观察图像可得到图像在x轴上方(即y>0)时x的取值范 围,y=0与y<0时亦可得.

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【自主解答】 (1)配方,得y=2(x-1)2-8. ∵a=2>0, ∴函数图像开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标是 (1,-8). 列表:

x -1 0 1 2 3 y 0 -6 -8 -6 0

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描点并画图,得函数y=2x2-4x-6的图像,如图所 示:

(2)由图像得,函数图像与x轴的交点坐标为A(-1,0), B(3,0),与y轴的交点坐标为C(0,-6). 1 1 S△ABC=2|AB |· |OC|=2×4×6=12;
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(3)由函数图像知,当x<-1或x>3时,y>0;当x=-1或 x=3时,y=0;当-1<x<3时,y<0.

观察图像主要是把握其本质特征:开口方向决定a的符 号,在y轴上的交点决定c的符号(值),对称轴的位置决定- b 的符号,另外还要注意与x轴的交点,函数的单调性等, 2a 进而解决其它问题.

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(1)已知二次函数y=kx2-7x-7的图像和x轴有交点,则 k的取值范围是( 7 A.k>- 4 7 C.k≥-4 ) 7 B.k≥- 且k≠0 4 7 D.k>-4且k≠0
2

7 【解析】 ∵Δ≥0即(-7) -4k×(-7)≥0,∴k≥- 4 且k≠0.
【答案】 B
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(2)已知f(x)=1-(x-a)(x-b),并且m,n是方程f(x)=0 的两根,则实数a,b,m,n的大小关系可能是( A.m<a<b<n C.a<m<b<n B.a<m<n<b D.m<a<n<b )

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【解析】 由f(x)=1-(x-a)(x-b)可知,二次函数f(x) 的开口向下,且f(a)=f(b)=1>0. ∵m,n是方程f(x)=0的两根,∴f(m)=f(n)=0. 由f(x)的图像可知,实数a,b,m,n的关系可能是 m<a<b<n(如图所示).

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【答案】 A
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