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三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心


2016 届高三数学讲义 ————三角形的“五心”————
(Ⅰ) “五心”的概念及性质 一、外心
(1)定义:三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心). (2)外心的位置 锐角三角形的外心在三角形内; 直角三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在三角形外. (3)性质 垂直平分线的性质:到线段两端点距离相等. 外心的性质:到三角形三个顶点距离相等

. 内心到三顶点距离 R(三角形外接圆半径) R= 证明过程如下: 连接 AO 并延长交圆 O 于 D,则 AD 为圆直径,AD=2R. 又 ?ABD ? 90? (直径所对的圆周角是 90 ? ),AB=c, ?ADB ? ?C (同弧 AB 所对的圆周角相等),∴AD= 延伸①:正弦定理
c c b a ? ? ,同理易证 R ? ,变形得到 2 sin C 2sin C 2sin B 2sin A a b c ? ? ? 2 R (每边除以它所对角的正弦为 2R) 正弦定理: sin A sin B sin C c AB c ,即 2R ? , R= . 2 sin C sin ?ADB sin C
D . O B C A
O B C A

c (某边除以它对角正弦的 2 倍) 2 sin C

由于 R=

延伸②:余弦定理
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ( cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ) 2bc

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证明过程如下: 作 CD ? AB 交其于 D, ∴ AD ? AC cos A ? b cos A ,BD= c ? b cos A ,
CD ? b sin A ,又 BC 2 ? BD 2 ? CD 2 ,即
D A

a2 ? (c ? b cos A)2 ? (b sin A)2

B

C

= c2 ? 2bc cos A ? b2 cos2 A ? b2 sin 2 A ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,其他边角也同求.

二、内心
(1)定义:三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心. (2)性质
角平分线的性质:到角两边距离相等. 内心的性质:到三角形三边距离相等.
F M I B D H A E K C A

延伸①:内角平分线定理
如图,AD 为△ABC 中 ?BAC 的平分线,则有

AB B D上左 下左 ? ( = ) A C D C上右 下右
B

c

b C

证明过程如下: 作 BE//AC 交其延长线于 E,则 ?E ? ?DAC . ∵ ?BAD ? ?DAC ,∴ ?E ? ?BAD , AB ? BE =c. 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴
AB EB BD ? = ,得证. AC AC DC
E c

D

延伸②:外角平分线定理
如图,AD 为△ABC 的外角平分线,交 BC 延长线于 D,则有

AB BD ? (同上) AC DC

第 2 页 共 2 页

证明过程如下: 作 CE//AB 交 AD 于 E,则 ?AEC ? ?EAF . ∵ ?EAF ? ?EAC ,∴ ?AEC ? ?EAC , AC ? AE . B 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴ 延伸③:三角形内角平分线长公式
如图,AD 为△ABC 中 ?BAC 的平分线,则有

F A E D

AB AB BD ? = ,得证. AC CE DC

C

AD ?

2bc cos

A A 2 cos 2 2) (或 1 1 b+c + b c
B

A c D F c b C

证明过程如下: 作 BE//AC 交其延长线于 E,BF ? AE 交其于 F. 由前文的内角平分线定理可知,△ADC ∽ △EDB, ∴
AD AC b ? ? . DE BE c

E

b AE .而△ABE 为等腰三角形, BF ? AE, b+c A A 2bc cos 2 cos A 2 2) ∴ AE ? 2 AF ? 2 AB sin ?BAF =2c sin ,∴ AD ? . (或 1 1 2 b+c + b c

又 AD +DE=AE ,即 AD ?

延伸④:内心到三边距离 r(三角形内切圆半径)
设三角形面积为 S,则有 A F B E C

r=

2S (即面积的2倍除以周长) a+b+c

证明过程如下:

. O D

1 1 AB ? OF ? cr ,同理 连接 OA,OB,OC. ∵相切,∴ OF ? AB ,即 S△AOB = 2 2 1 1 1 S△AOC = br ,S△BOC = ar .又∵S=S△AOB + S△AOC + S△BOC ,即 S= (a+b+c)r , 2 2 2 2S ∴ r= . a+b+c

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三、重心
(1)定义:三角形三条中线的交点. (2)性质 中线性质:将三角形面积等分成两部分. 重心性质:分三角形的中线两段长比例为 2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线,G 为其重心,则有
A G: G C ? B: G G ?E C : G ? G2 F: 1
B F
B D F G

A E

C

A

G D H

E C

证明过程如下: 作 BH//FC 交 AD 延长线于 H,易证△GDC ≌ △HDB, ∴ GD ? DH , GH ? 2GD 又∵BH//FG,F 为 AB 中点,∴G 也为 AH 中点,即 AG ? GH ? 2GD , ∴ AG : GC ? 2 :1 ,其他同证. 延伸:三角形中线长公式 如图,AD 为△ABC 的中线,则有
AD ? 1 2 2 b +c +2bc cos A 2
B C D F A

证明过程如下: 作 BE//AC 交 AD 延长线于 E,易证△ADC ≌ △EDB, ∴ AD ? DE ,即AD =
E

1 AE ∵BE//AC,∴ ?ABF ? ?A .作 AF ? EB 交其 2 ,

延长线于 F.又 AB=c,∴BF=AB cos ?ABF = c cos A ,AF= c sin A , 故 EF= c cos A ? b . ∴ AD ?
1 1 1 2 2 AE = (c cos A ? b) 2 ? (c sin A) 2 ? b +c +2bc cos A 2 2 2

四、垂心
(1)定义:三角形三条高的交点. (2)性质 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中, 任何三个为顶点的三角形的垂 心就是第四个点.所以把这样的四个点称为一个“垂心组” .

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五、旁心
(1)定义:三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的

圆心). (2)性质 每个三角形都有三个旁切圆.
三角形的四心(内心、重心、垂心、外心)只有 一个,但旁心有三个,旁心到三角形三边所在直线距离相等.
F B D

A

C

E Ia

(Ⅱ)三角形“四心”与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小.在高中数学“平面向 量” (必修 4 第二章)的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;另一方面, 我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题. 在平面向量的应用中, 用平面向量解决平面几何问题时, 首先将几何问题中的几何元素 和几何关系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合, 把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系. 下面就以三角形的四心为出发点, 应用向量相关知识, 巧妙的解决了三角形四心所具备 的一些特定的性质.既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特 的数学美感.

一、“重心”的向量风采
【命题 1】 已知 G 是 △ ABC 所在平面上的一点, 若 GA ? GB ? GC ? 0 , 则 G 是 △ ABC 的重心.如图⑴.

??? ? ??? ? ??? ?

?

C A' G A B
图⑴

P B
M

A O
图⑵

C

,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 【命题 2】 已知 O 是平面上一定点, A

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?) ,则 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心. OP ? OA ? ?( AB ? AC) , ? ? (0,
? ?) 时,由于 ? ( AB ? AC ) 表示 BC 边 【解析】 由题意 AP ? ? ( AB ? AC) ,当 ? ? (0,
上的中线所在直线的向量,所以动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心,如图⑵.
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??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

二、“垂心”的向量风采
【命题 3】 P 是 △ ABC 所在平面上一点, 若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA , 则 P 是 △ ABC 的垂心. 【解析】 由 PA ? PB ? PB ? PC ,得 PB ? ( PA ? PC) ? 0 ,即 PB ? CA ? 0 ,所以

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PB ⊥ CA .同理可证 PC ⊥ AB , PA ⊥ BC .∴ P 是 △ ABC 的垂心.如图⑶.

A
E

C M

B

C P
A

P

H F B

O
图⑶ 图⑷

,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 【命题 4】 已知 O 是平面上一定点, A

??? ? ???? ? ? ??? ? ??? ? AB AC ? , ? ? (0, OP ? OA ? ? ? ??? ? ???? ? ?) ,则动点 P 的轨迹一定通过 ? ? AB cos B AC cos C ? ? ?
△ ABC 的垂心.

??? ? ???? ? ? ??? ? AB AC ? ,由于 ? 【解析】 由题意 AP ? ? ? ??? ? ???? ? AB cos B AC cos C ? ? ? ??? ? ???? ? ? ??? ? AB AC ? ??? ? ? BC ? 0 , ? ???? ? ? AB cos B AC cos C ? ? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? ???? ? ??? ? ??? ? AB ? BC AC ? BC ? ???? ? BC ? CB ? 0 ,所以 AP 表示垂直于 BC 的向量, 即 ??? 即P点 ? AB cos B AC cos C
在过点 A 且垂直于 BC 的直线上,所以动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的垂心,如图⑷.

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三、“内心”的向量风采 【命题 5】 已知 I 为 △ ABC 所在平面上的一点,且 AB ? c , AC ? b , BC ? a .若 ?? ? ?? ? ??? ? aIA ? bIB ? cIC ? 0 ,则 I 是 △ ABC 的内心.
B

C O

c I A

a

P
C

b

A
图⑹

B

图⑸

【解析】 ∵ IB ? IA ? AB ,IC ? IA ? AC , 则由题意得 (a ? b ? c) IA ? bAB ? cAC ? 0 ,

?? ?

?? ? ??? ?

???

?? ? ??? ?

?? ?

??? ?

??? ?

?

??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ? AB ∵ b AB ? c AC ? AC ? AB ? AB ? AC ? AC ? AB ? ? ??? ? ? ? AB ?
??? ∴ AI ?
量, ∴ AI 与∠ BAC 平分线共线,即 AI 平分 ?BAC .

???? ? AC ???? ? , AC ? ?

bc ? ? a?b?c? ?

??? ? ???? AB AC ??? ? ? ???? AB AC

? ?. ∵ ? ?

??? ? ???? ??? ? ???? AC AB ??? ? 与 ???? 分别为 AB 和 AC 方向上的单位向 AC AB

???

同理可证: BI 平分 ?ABC , CI 平分 ?ACB .从而 I 是 △ ABC 的内心,如图⑸. ,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 【命题 6】 已知 O 是平面上一定点, A

? ???? ? ? ??? ??? ? ??? ? AB AC OP ? OA ? ? ? ??? ? ?) ,则动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的内心. ? ? ???? ? , ? ? (0, ? AB AC ? ? ? ? ???? ? ? ??? ??? ? ??? ? AB AC ? ?) 时, AP 表示 ?BAC 的平 【解析】 由题意得 AP ? ? ? ??? ? ? ???? ? ,∴当 ? ? (0, ? AB AC ? ? ?
分线所在直线方向的向量,故动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的内心,如图⑹.

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四、 “外心”的向量风采
【命题 7】 已知 O 是 △ ABC 所在平面上一点, 若 OA2 ? OB2 ? OC 2 , 则 O 是 △ ABC 的 外心.

???? ?

???? ?

?????

C A O B
O A

B M P C

图⑺ 【解析】 若 OA ? OB ? OC ,则 OA

图⑻

??? ?2

??? ?2

??? ?2

??? ?2

??? ? ??? ? ???? ??? ? 2 ??? ?2 ? OB ?OC ,∴ OA ? OB ? OC ,则 O

是 △ ABC 的外心,如图⑺. ,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 【命题 7】 已知 O 是平面上的一定点, A

??? ? ???? ??? ? ???? ? ? ??? ? OB ? OC AB AC ? ? ,? ? (0, OP ? ? ? ??? ? ???? ? ?) ,则动点 P 的轨迹一定通过 ? ? AB cos B AC cos C ? 2 ? ?
△ ABC 的外心.

??? ? ???? ??? ? ??? ? ? ? AB AC OB ? OC ? ? ???? ? ?) 时,? ? ??? 【解析】 由于 过 BC 的中点, 当 ? ? (0, ? ? AB cos B AC cos C ? 2 ? ?
表示垂直于 BC 的向量(注意:理由见二、命题 4 解释. ) ,所以 P 在 BC 垂直平分线上, 动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的外心,如图⑻.

??? ?

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