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高中数学 空间向量及其线性运算教学案 苏教版选修2-1


高二数学教学案
周次 6 课题 新授
空间向量及其线性运算

1 课时 审核

定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘 向 量 运 算 如 下 ( 如 图 b ? ? C a OB ? OA ? AB ? a ? b

授课形式 教学目标 重点难点

主编

B

1.运用类比方法,经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; 2.了解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运算及其性质; 3.理解空间向量共线的充要条件 1 空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质; 2 空间向量的线性运算及其性质。

? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

b O

b A

a

? OP ? ?a(? ? R)
运算律: ⑴加法交换律: a ? b ? b ? a

?

?

?

?
A'

D' B'

C'

课堂结构
一、自主探究 1.在空间,我们把既有 又有 的量,叫做空间向量,记为 a 。

? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )
? ? ? ? ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

a
D

C

2.空间向量加法和数乘运算满足如下运算律:

A

(1) a ? b ? b ? a (2) a ? b ? c ? a ? b ? c (3) ? a ? b ? ? a ? ?b?? ? R? 3.共线向量: 4.共线向量定理: 5.在平行六面体 ABCD–A1B1C1D1 中,设 AB ? a, AD ? b, AA1 ? c, 则 D1B = 。 。 。

? ?

? ?

? ?

3.平行六面体:

B

平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A ?B ?C ?D ? 的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面 体,并记作:ABCD- A ?B ?C ?D ? ,它的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面 体的棱。 4.共线向量 与平面向量一样, 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量 叫做共线向量或平行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一 直线,也可能是平行直线. 5.共线向量定理及其推论: 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) , a // b 的充要条件是存在实数 λ , 使 a =λ b . 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O,点

?

1 1 6.已知空间四边形 ABCD,M,N,分别是 BC 和 CD 的中点,则 AB ? BD ? BC 2 2
等于 。 二、教学过程 (一) 、创设情景 1、平面向量的概念及其运算法则; 2、物体的受力情况分析 (二) 、建构数学 1.空间向量的概念: 在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算
王新敞
奎屯 新疆

?

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?

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王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

? ? P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OP ? OA ? t a .其中向量 a 叫做直线 l 的方
向向量.

王新敞
奎屯

新疆

l

P B

a
A

(三) 、数学运用 1、例 1 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,M 是 BB1 的中点, O
用心 爱心 专心

化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量: (1) CB ? BA1 ; (2) AC ? CB ? 4、正方体 AC1 中,点 E,F 分别为棱 BC 和 A1D1 的中点,求证:四边形 DEB1F 为平行四边形。

1 AA1 ; 2
A

A1 C1

B1

(3) AA1 ? AC ? CB
B C

2、如图,在长方体 OADB ? CA D B 中, OA ? 3, OB ? 4, OC ? 2, OI ? OJ ? OK ? 1 ,点 E,F
/ / /

分别是 DB, D / B / 的中点,设 OI ? i, OJ ? j, OK ? k ,试用向量 i, j, k 表示 OE 和 OF
C D/ O E A D B/ F B

A/

3、课堂练习 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC , BD ,设 M , G 分别是 BC , CD 的中点,化简下列各 表达式,并标出化简结果向量: (1) AB ? BC ? CD ;

??? ? ??? ? ??? ?
??? ?

A

3、空间四边形 ABCD 中,连接 AC, BD,△BCD 的重心为 G,若 AG ? x BA ? y BD ? z BC , 求 x,y,z 的值。

? ??? ? 1 ??? ( BD ? BC ) ; 2 ???? 1 ??? ? ???? (3) AG ? ( AB ? AC ) . 2
(2) AB ?

B M C G

D

四、回顾总结 空间向量的定义与运算法则 五、布置作业

思路点拨:高中阶段学习的向量是: “自由向量” ,所以任意两个空间向量都可以“平移”到同 一平面内, 这样, 凡涉及两个空间向量的运算和位置关系问题, 都可以转化为平面向量来解决。 因此空间向量的线性运算及其性质与平面向量是完全一样的。 空间向量共线的充要条件与平面 向量共线的充要条件是一致的。

用心

爱心

专心

学后、教后反思:

用心

爱心

专心


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