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广东省中山市2015届高三上学期期末考试数学文试题Word版含答案


中山市高三年级 2014–2015 学年度第一学期期末统一考试 数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。 参考公式:锥体体积公式 V锥体 ? Sh ;

1 3

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)

, 2, 3, 4, 5,6} , A ? {1,3} , B ? {3, 4,5} ,则集合 CU ( A 1. 已知全集 U ? {1
A. {3, 6} B. {4,5} C. {3,4,5,6}

B) ? (



2, 4, 5,6} D. {1,

2 3 2 x ?x 2. 给出下列函数① y ? x cos x ,② y ? sin x, ③ y ? x ? x ,④ y ? e ? e ,其中是奇函

数的是( A. ① ②

) B. ① ④
?0.1

C. ② ④ ,则( ) B. b ? a ? c D. c ? b ? a )

D. ③ ④

3. 设 a ? log3 2 , b ? ln 2, c ? 0.5 A. a ? b ? c C. c ? a ? b

4. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是(

3

(8 ? ? ) 3 A. 6

(8 ? 2? ) 3 B. 6

1

正视图

2

2 侧视图

俯视图

C.

(6 ? ? ) 3 6

D.

(9 ? 2? ) 3 6


5. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120? , a ? 3 , A. 5 B. 4

a ? b ? 1 3,则 b ? (
C. 3 D. 1

? 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是由不等式 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的区域, E 是到原点的 ? ?y?0
距离不大于 1 的点构成的区域, 若向 E 中随机投一点, 则所投点落在 D 中的概率是 ( ) A.

? x ? y ?1 ? 0

2

?

B.

1

?

C.

1 2?

D.

1 2

7. 已知 x ? 0 , y ? 0 , x,a,b,y 成等差数列, x,c,d,y 成等比数列,则 的最小值是( A. 0 ) B. 1 C. 2 D. 4

( a ? b) 2 cd

8. 下列说法中, ①命题 “存在 x ? R, x 2 ? x ? 0 ” 的否定是 “对于任意 x ? R, x2 ? x ? 0 ” ; ②命题“ p 且 q 为真”是“ p 或 q 为真”的必要不充分条件; ③已知数据 x1 , x2 ,L , xn 的平均数 x ? 5 ,方差 S 2 ? 4 ,则数据 2 x1 ? 1,2 x2 ? 1,L ,2 xn ? 1 的平均数和方差分别为 11 和 16 ④已知向量 a ? (3, ?4) , b ? (2,1) ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是
3 2 2

⑤ f ? x ? ? x ? ax ? bx ? a 在x ? 1 处有极小值 10,则 a+b=0 或 a+b= -7 正确的个数是( A.1
2 2

2 . 5

) B.2 C.3 D.4

9. 从圆 x ? 2x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ?3,2? 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余 弦值为( )

A.

1 2

B.

3 5

C.

3 2

D. 0

10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ?( x) ? 1 ? f ( x) , f (0) ? 6 , f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函 数,则不等式 e f ( x) ? e ? 5 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为(
x x



A. ? 3, ?? ?

B. ? ??, 0 ? U ? 3, ?? ? C. ? ??, 0 ? U ?1, ?? ? D. ? 0, ?? ?

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11.

?1 ? 2i ? 复数
i

2

的模为

12. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 200 名年龄为 17.5 岁到 18 岁 的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如图: 根据上图可得这 200 名学生中体重在 ?56.5,64.5? 的学生人数是 13.各项均为正数的等比数列 {an } 中, 若 a5 ? a6 ? 8 ,则 log2 a1 ? log2 a2 ? 14.给出下列四个命题: ① 函数 f ? x ? = 2 ? x ?
2

? log2 a10 ?

1 2 ? x2

有最小值 2 ;

② “ x 2 - 4 x - 5 = 0 ”的一个必要不充分条件是“ x = 5 ”; ③ 命题 p : ?x ? R, tan x ? 1 ;命题 q : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 .则命题“ 是假命题;
3 2 ④ 函数 f (x)= x - 3x +1在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y = - 3 .

p ? ? ?q ? ”

其中正确命题的序号是



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 12 分)已知 0 ? ? ?
2

?
2

,sin ? ?

4 5

(1)求

5? sin ? ? sin 2? ) 的值 的值; (2)求 tan(? ? 2 4 cos ? ? cos 2?

16.(本小题满分 12 分)为调查乘客的候车情况,公交公司在 某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成 5 组,如表所示:

组别 一 二 三 四 五

候车时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25)

人数 2 6 4 2 1

(1)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (2)若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一 步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.
? 17. 如图,在梯形 ABCD 中, AB ∥CD , AD ? DC ? CB ? a , ?ABC ? 60 ,平面

ACFE ? 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上.
(1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM ∥ 平面 BDF ?证明你的结论;

18. (本小题满分 14 分)数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1

? t , an?1 ? 2Sn ?1(n ? N? ) .

(1)当 t 为何值时,数列 {an } 是等比数列? (2)在(1)的条件下,若等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 ,

a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn .

19. (本小题满分 14 分) 如图所示, 将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN, 要求 M 在 AB 的延长线上, N 在 AD 的延长线上, 且对角线 MN 过 C 点。 已知 AB=3 米, AD=2 米。
N P

D

C

A

B

M

(1)设 AN ? x (单位:米) ,要使花坛 AMPN 的面积大 于 32 平方米,求 x 的取值范围; (2)若 x ? [3,4) (单位:米) ,则当 AM,AN 的长度分别是多少时,花坛 AMPN 的 面积最大?并求出最大面积。

20.(本小题 14 分) 对定义域分别是 F 、 G 的函数 y ? f ( x) 、 y ? g ( x) ,

? f ? x ? ? g ? x ? , 当x ? F 且x ? G, ? 规定:函数 h ? x ? ? ? f ? x ? , 当x ? F 且x ? G, ? 当x ? F 且x ? G. ?g ? x? ,
已知函数 f ? x ? ? x , g ? x ? ? alnx ? a ? R ? .
2

(1)求函数 h ? x ? 的解析式; (2)对于实数 a ,函数 h ? x ? 是否存在最小值,如果存在,求出其最小值;如果不存在, 请说明理由.

中山市高三年级 2014–2015 学年度第一学期期末统一考试 数学试卷(文科)答案
一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) DBAAB BDABD 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 11.5 12.80 13.15 14.③ ④

三、解答题 15. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ )由 0 ? ? ?

?
2

,sin ? ?

4 3 ,得 cos ? ? ,………………2 分 5 5

sin 2 ? ? sin 2? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 20 。………………5 分 所以 = 3cos 2 ? ? 1 cos 2 ? ? cos 2?
(Ⅱ )∵tan ? ?

sin ? 4 ? ,………………7 分 cos ? 3 5? tan ? ? 1 1 )? ? 。………………12 分 ∴tan(? ? 4 1 ? tan ? 7

16. (本题满分 12 分) 解析: (1)由频率分布表可知:这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8, 所以,这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数大约等于 60 ? (2)设第三组的乘客为 a, b, c, d ,第四组的乘客为 1,2; “抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件 A .………………………………5 分 所得基本事件共有 15 种,即: ………………2 分

8 ? 32 人.…4 分 15

ab, ac, ad , a1, a 2, bc, bd , b1, b 2, cd , c1, c 2, d1, d 2,12 …………………8 分
其中事件 A 包含基本事件 a1, a 2, b1, b 2, c1, c 2, d1, d 2 ,共 8 种,………10 分 由古典概型可得 P ( A) ? 17. (本题满分 14 分) 解: (1)在梯形 ABCD 中,? AB // CD , AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60 ,
?

8 , ………………………12 分 15

? 四边形 ABCD 是等腰梯形,………………2 分
??ADC ? 1800 ? 600 ? 1200 , DC ? AC,? ACD为等腰三角形. ?DCA ? ?DAC ? 30? , ?DCB ? 120? ,………………4 分
? ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ? AC ? BC .………………5 分
又? 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,交线为 AC ,? BC ? 平面 ACFE . (2)当 EM ? …………7 分

3 a 时, AM // 平面 BDF , 3
F M E

在 梯 形 A B C D中 , 设 AC ? BD ? N , 连 接 FN ,

AC ? BC ,?BAC ? 300 ,? AB ? 2a. ……………9 分

CD / / AB,?

CN CD a 1 ? ? ? , NA AB 2a 2
, 而

D N A

C

B

? EM ?

3 a 3

EF ? AC ? 3a



? EM : MF ? 1 : 2 . ………………11 分

? MF // AN ,? 四边形 ANFM 是平行四边形,? AM // NF .
又? NF ? 平面 BDF , AM ? 平面 BDF ? AM // 平面 BDF .………………14 分 18. (本题满分 14 分) 解: (1)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 ,可得 an ?1 ? 2Sn ?1 ? 1 (n ? 2) , 两 式 相 减 得 an?1 ? an ? 2 an , 即an?1 ? 3an (n ? 2) , ∴当 n ? 2 时 , {an } 是 等 比 数 列,………………3 分 要使 n ? 1 时, {an } 是等比数列,则只需

a2 2t ? 1 ? ? 3 ,从而 t ? 1 .………………6 分 a1 t

(2)设 {bn } 的公差为 d,由 T3 ? 15 得 b1 ? b2 ? b3 ? 15,于是 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d ,又 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 9 ,………………9 分 由题意可得 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) ,解得 d1 ? 2 , d 2 ? ?10 ,
2

∵ 等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,∴d ? 0 , d ? ?10 ,

………………11 分

∴Tn ? 15n ?

n( n ? 1) ? ( ?10 ) ? 20 n ? 5n 2 . 2

………………14 分

19.(本小题 14 分) 解:由于

DN DC 3x2 3x ? , 则 AM= 故 SAMPN=AN?AM= …………4 分 AN AM x?2, x?2

(1)由 SAMPN > 32 得

3x2 > 32 , x?2

因为 x >2,所以 3x2 ? 32 x ? 64 ? 0 ,即(3x-8) (x-8)> 0 从而 2 ? x ? 是 (2, )

8 或 x?8 3

即 AN 长的取值范围

8 3

(8,+? ) …………8 分

6 x( x ? 2) ? 3x 2 3( x x ? 4) 3x2 ? (2)令 y= ,则 y′= ………… 10 分 2 x?2 ( x ? 2) ( x ? 2)2
3x2 因为当 x ? [3, 4) 时,y′< 0,所以函数 y= 在 [3, 4) 上为单调递减函数, x?2
从而当 x=3 时 y=

3x2 取得最大值,即花坛 AMPN 的面积最大 27 平方米, x?2
…………….13 分

此时 AN=3 米,AM=9 米 答: (略)…………14 分

20 .解: ( 1 )因为函数 f ? x ? ? x 的定义域 F ? ? ??, ??? ,函数 g ? x ? ? a ln x 的定义域
2

? x 2 ? a ln x, ? G ? ? 0, ??? ,所以 h ? x ? ? ? 2 ? ?x ,
(2)当 x≤0 时,函数 h ? x ? ? x 单调递减,
2

x ? 0, x≤0.

………………4 分

所以函数 h ? x ? 在 ? ??,0? 上的最小值为 h ? 0? ? 0 . 当 x ? 0 时, h ? x ? ? x ? a ln x .
2 2 若 a ? 0 ,函数 h ? x ? ? x .此时,函数 h ? x ? 存在最小值 h(0)=0.………………5 分

若 a ? 0 ,因为 h? ? x ? ? 2 x ?

a 2x2 ? a ? ? 0 ,………………6 分 x x

所以函数 h ? x ? ? x ? a ln x 在 ? 0, ??? 上单调递增.此时,函数 h ? x ? 不存在最小值.
2

? a ?? a? 2 x ? ? x ? ? ? ?? ? 2 ?? 2? 2 x2 ? a ? 若 a ? 0 ,因为 h? ? x ? ? , ? x x
所以函数 h ? x ? ? x ? a ln x 在 ? 0, ?
2

? ? ?

? ? a? a 上单调递减,在 ? ? , ?? ? 上单调递增.此时, ? ? ? 2? 2 ? ? ?

函数 h ? x ? 的最小值为 h ? ?

? ? ?

a? ? .………………10 分 2? ?

因为 h ? ?

? ? ?

a? a a a a ? a? a? ? a ?? ? ? ? a ln ? ? ? ? ln ? ? ? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? , ? ? 2? 2 2 2 2 ? 2? 2? ? 2 ?? ? ? ? ? a? a? ≥0 ,当 a ? ?2e 时, h ? ? ? ? 0 .………………13 ? ? 2? 2? ? ? ?

所以当 ?2e≤a ? 0 时, h ? ? 分

综上可知,当 a ? 0 时,函数 h ? x ? 没有最小值; 当 ?2e≤a≤0 时,函数 h ? x ? 的最小值为 h ? 0? ? 0 ;当 a ? ?2e 时,函数 h ? x ? 的最小 值为 h ? ?

? ? ?

a? a? ? a ?? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? .……………………………………14 分 ? ? 2? 2? ? 2 ??


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