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轨迹方程常用解法初探


轨迹方程常用解法初探 【摘 要】轨迹的问题是现实中很重要的问题,对于轨迹的研究来说,最好 的工具就是方程,本文通过实例、分析、探讨轨迹方程的基本特征,研究方法、 内在联系, 从而使人们更好地了解轨迹的方程,以便更深入地认识和掌握轨迹方 程的求法。 【关键词】轨迹方程;参数;向量;系数;曲线 求曲线的轨迹方程, 实际上就是寻找动点与解析坐标之间的关系。求轨迹问 题是我们在学习解析几何常见的题型,它综合考查学生分析问题解决问题的能 力。常用的轨迹方程的求解方法有:待定系数法、直译解析法、曲线定义法、几 何性质法、向量法、代入法、参数法、交轨法等。 一、轨迹以及轨迹的方程 轨迹:包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨 迹的纯粹性; 凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点 必在轨迹上, 这叫做轨迹的完备性。 符合一定条件的动点所形成的图形, 或者说, 符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。 轨迹的方程: 轨迹上所有的点都是某个方程的解, 这个方程的解都在轨迹上, 这个方程叫做轨迹的方程。 二、轨迹方程的常用解法 1.待定系数法。它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直 接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为:先设出对应类型的轨迹方程;再求 出所设方程中的待定系数。 待定系数法的应用很普遍,但是缺点在于要求知道其 轨迹是什么图形,所以这种方法一般用在已知条件比较具体且直白的时候。 2.直译解析法。该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数 条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方 程。 3.曲线定义法。若动点轨迹直接符合已知圆锥曲线定义,则可直接利用定义 写出其方程。 其条件是必须对一般的图形的轨迹方程有一定的记忆,充分理解各 种轨迹方程的特点及区别。 4.几何性质法。根据动点所满足的平面几何性质得到等量关系求出其轨迹方 程。 例 1:已知圆 O:x2+y2=16,及点 A(2,0) ,求过 A 且与圆 O 相切的诸圆 圆心 P 的轨迹方程。 解:如图 2-2:过 A 且与圆 O 相切的圆,只能与圆 O 相内切,根据两圆相 内切的性质:连心线必过其切点,设切点为 M,则 O、P、M 共线, ∴|OM|=|OP|+|PM|。又因为 A 在圆 P 上,∴|PM|=|PA|,∴|OP|+|PA|=|OM|=4。 故 P 的轨迹是以 O、A 为焦点,长轴长为|OM|=4 的椭圆。 故 P 的轨迹方程:=1。 这种方法需要有很好的图形理解能力, 能够对图形的位置关系进行很好的分 析,找出它们的联系,只要我们理解了题意,根据题意找出了图形之间的位置关 系就能直观、快捷地得出答案。 5.量法。利用向量具有几何和代数形式的双重属性来探求解析几何轨迹问题 也是常见的方法之一。 例 2:两根杆分别绕着定点 A 和 B(AB=2a)在平面内转动,并且转动时两 杆保持相互垂直,求两杆交点的轨迹方程。 分析:由于两根杆做的是平面内转动,并且始终保持垂直关系,我们可以根 据向量的乘积运算得出,由此得出轨迹方程。 解:建立坐标系如图 2-3,设点 P 的坐标为(x,y) ,则=(x+a,y) ,=(x-a, y) =(x+a) (x-a)+y2=0,即所求的轨迹方程为:x2+ y2= a2(x≠±a). 如果所求的问题是关于角度等问题,一般用向量来解决比较简单,根据向量 的加、减、乘运算以及向量的一些基本性质,由问题中所给的已知条件,判断以 及列出方程的向量的等式,

开题

研究内容:一、轨迹的基本概念 二、 高中常用轨迹...其实这 类题目的解法很单一, 用一种创新的思维 ...轨迹方程的纯粹性完备性教学初探[J];数学教学通讯;...

求轨迹方程的常用方法(经典)

轨迹方程常用方法(一)求轨迹方程的一般方法: 1. 待定系数法:如果动点 P ...解法一: 几何法” “ 解法一: 几何法” 设点 M 的坐标为(x,y),因为点 ...

求轨迹方程的常用方法及练习

轨迹方程常用方法及练习_数学_高中教育_教育专区。方法全面 例题具有代表性 ...(可用直译法和参数法) 解法 3:设 M(x,y) ,设直线 l1 的方程为 y-4=k...

求轨迹方程的常用方法00

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高三第一轮复习:轨迹方程的常用求法

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轨迹方程求法汇总

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求曲线轨迹方程的五种方法

y 2 =2 无解 所以 P 点轨迹是抛物线 y2=8x 点评: 解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程, 明显, 解法一优于后一种解法,对于有些求轨迹方程的...