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含绝对值不等式


含绝对值符号不等式
一、知识回顾 1、解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号,转化为一般代数式类型来解; 2、证明绝对值不等式主要有两种方法: A)去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明:换元法、讨论法、平方法; B)利用不等式: | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | ,用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、 添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来 二、基本训练 1.设 x<3 则下列不等式一定成立的是 A. x | lg |? 3 | lg |
1 3 1 3


1 3


1 3 1 3

B. | x lg |?| 3 lg |

1 3

C. | x | lg ? 3 lg ③|a+b|<|a-b|

1 3

1 3

D. x | lg |? 1 | lg | ④|a+b|>|a - b| 四 个 式 中 正 确

2.ab>0,则①|a+b|>|a| ②|a+b|<|b| 的是 ( ) B.②③

A.①② 4.不等式

C.①④ ( C.ab>0

D.②④ )

| a?b| ? 1 成立的充要条件是 |a|?|b|

A.ab≠0 5.已知|a|≠|b|,m= A.m>n 三、例题分析

B.a2+b2≠0

D.ab<0 )

| a|?|b| |a|?|b| ,那么 m、n 之间的大小关系为 ( ,n ? | a ?b | | a?b|

B.m<n

C.m=n

D.m≤n

例 1、△ABC 中,求证:

aA ? bB ? cC ? ? . a?b?c 3

例 2、已知 a,b∈R,求证:

| a?b| |a| |b| . ? ? 1? | a ? b | 1? | a | 1? | b |

例 3、设 f ( x) ? lg x , a , b 满足 f (a) ? f (b) ? 2 f (

a?b ) 其中 0 ? a ? b, 求证: 2



a ? 1 ? b,



a ? 4b ? b 2 ? 3

例 4. 已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1 时,|f(x)|≤1,求证: ①|c|≤1 ②当-1≤x≤1 时,|g(x)|≤2.

? R) 例 5.已知 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? 4c , (a, b, c,

⑴若 a ? c ? 0, f ( x)在?? 2, 2? 上的最大值为 ⑵当 b ? 4, c ?

2 1 b ,最小值为 ? ,求证: ? 2 3 2 a

3 时,对于给定的负数 a ,有一个最大的正数 M ( a ) 使得 x ? ?0, M (a)? 时,都有 4

f ( x) ? 5 问 a 为何值时, M (a) 最大,并求出最大值 M (a) ,证明你的结论

四、同步练习含绝对值符号不等式 1、若 a,b,c∈R,且|a-c|<|b|,则正确的是( A.|a|>|b|+|c| B.|a|<|b|-|c| ) C.|a|<|b|+|c| D.|a|>|c|-|b|

2、已知实数 a,b 满足 ab<0,则(

) D.|a-b|<|a|+|b|

A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b| C.|a-b|<||a|-|b||

3、已知 h>0,设命题甲:两个实数 a,b 满足|a-b|<2h;命题乙:两个实数 a,b 满足|a-c|<h 且 |b-c|<h,那么甲是乙成立的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、已知 x,y 是非零实数,则下列各式中不能恒成立的是( A.|x-y|≤|x|+|y| C.|
y x ? |≥2(x,y 同号) x y



B.|x+y|≥2 xy (x,y 同号) D.|x+y|≥|x-y| ) D.|x-y|<2ε )

5、设|x-a|<ε ,|y-a|<ε ,则下列不等式中必成立的是( A.|x+y|<ε B.|x-y|<ε C.|x-y|>2ε

6、如果 a,b 都是非零实数,则下列不等式中不恒成立的是( A.|a+b|≥a-b C.|a+b|-|b|≤|a|

B.2 ab ≤|a+b|(ab>0) D.|
b a ? |≥2 a b

7. (山东卷) 0 ? a ? 1 ,下列不等式一定成立的是(



(A) log (1?a ) (1 ? a) ? log (1?a ) (1 ? a) ? 2 (B) log (1?a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a) (C) log (1?a ) (1 ? a) ? log (1?a ) (1 ? a) ? log (1?a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a ) (D) log (1?a ) (1 ? a) ? log (1?a ) (1 ? a) ? log (1?a ) (1 ? a ) ? log (1?a ) (1 ? a ) 8、已知函数 f(x)=-2x+1,对于任意正数 ε ,使得|f(x1)-f(x2)|<ε 成立的一个充分但不必要条 件是( ) B.|x1-x2|<

A.|x1-x2|<ε 9、设 an=

? 2

C.|x1-x2|<

? 4

D.|x1-x2|>

? 4


sin 1 sin 2 sin n ? 2 ? ? ? n ,则对任意正整数 m,n(m>n),都成立的不等式应是( 2 2 2

A.|am-an|<

m?n 2n

B.|am-an|<

m?2 2n

C.|am-an|<

1 2n

D.|am-an|>

1 2n

10、已知|a|<1,|b|<1,求证: |

a?b |? 1 1 ? ab

11、已知 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),求证:|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2. (提示:|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|)

12、 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx2 (1)当 b ? 0 时,若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 1 ,证明: a ? 2 b (2)当 b ? 1 时,证明:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是 b ? 1 ? a ? 2 b (3)当 0 ? b ? 1 时,讨论:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件。

13、△ABC 中,求证:a2+b2+c2≥4 3 △(△为△ABC 的面积) (提示:利用 ? ? ab sin c, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos c ,再用求差法)
1 2

14、a、b、c 为△ABC 三边,x∈R,求证:a2x2+(a2+b2-c2)x+b2>0. (提示:△=…=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c(a-b-c)<0)

15、△ABC 中,利用代数换元 a=y+z,b=z+x,c=x+y(x,y,z∈R+)求证:sin sin sin ? .

A 2

B 2

C 2

1 8

16、设 a,b∈R,已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c, g(x)=cx2+bx+a,当 |x| ≤1 时,|f(x)| ≤2, (1) 求证:|g(1)| ≤2 (2) 求证:当 |x| ≤1 时,|g(x)| ≤4

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