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双曲线的几何性质


双曲线的几何性质
高二数学第8章第2节

标 准 方 程
范 围 对称性

椭圆的图形与几何性质
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

|x|?a,|y|≤b
关于x,y轴, 原点对称

顶点 焦 点
对称轴 离心率 准 线

(±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2 e= x=
c a

a2 ? c

双曲线图形(1)
标 准 方 程
范 围

Y
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

B2

对 称 性

顶 点 焦 点
对 称 轴 离 心 率 渐 进 线

F1

A1

A2

F2

X

B1

双曲线的图形与几何性质(1)
?

双曲线标准方程: 双曲线性质:

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

Y
B2

1、 范围: x≥a或x≤-a 2、对称性:关于x轴,y轴,原点对称 3、顶点: A1(-a,0),A2(a,0) 4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2 x y ? ?0 5、渐近线方程: a b A1

X
A2

c 6、离心率: e= a

B1

双曲线的图形与几何性质(1)
?
2 2 x y 双曲线标准方程: ? 2 ?1 2 a b

双曲线性质: 1、范围: x≥a 或 x ? ? a

Y
B2

2、对称性:关于x轴,y轴,原点对称。 3、顶点: A1(-a,0),A2(a,0) 4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2 5、渐近线方程: A1 A2

X

c 6、离心率: e= a

x y ? ?0 a b
B1

双曲线图形(2)

Y F2 A2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

标 准 方 程
范 围

对 称 性





焦 点
对 称 轴 离 心 率 渐 进 线

B1

O A1

B2

X

F1

双曲线的图形与几何性质(2)
Y
?

y2 x2 双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b 双曲线性质:
1、范围: y≥a或y≤-a 2、对称性: 关于x轴,y轴,原点对称 3、顶点: B (0,-a),B (0,a) 1 2 4、轴:实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 A1

F2 B2

A2

X

o
B1

x y ? 5、渐近线方程: a b
6、离心率: e=c/a

?0

F2

例题1:求双曲线 9 x 2 ? 16y 2 ? 144 的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率,渐近线方程。 解:把方程化为标准方程 可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c= 42 ? 32 ? 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5)
y2 x2 ? 2 ?1 2 4 3

离心率:

e?

c 5 ? a 4

渐近线方程: x ? ?

4 3 y, 即 y ? ? x 3 4

练习题1:填表
标准方程
2a 2b 范 围

x ? 8 y ? 32
2 2

9 x ? y ? 81 x ? y ? ?4
2 2
2 2

x2 y2 ? ? ?1 49 25

8 2

6
18

4
4 |y|≥2

10
14 |y|≥5 (0,±5)

4
|x|≥

4 2
2 ,0

|x|≥3 (±3,0)





?? 4
e?

焦 点
离 心 率 渐 近 线

?? 6,0?
3 2 2

?

(0,±2)

?? 3 10,0?
e ? 10

?0,?2 2 ?
e? 2

?0,?
e ?

74

?

74 5

y??

2 x 4

y=±3x

x ? ?y

x??

7 y 5

例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上. Y 证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x y x2 y2 ? ? 0 ? 2 ? 1 渐近线为 2 a b a b

F1 B2

则它的共轭双曲线方程是:
y x y2 x2 ? ? 0 ? 2 ? 1 渐近线为: b 2 a b a x y ? 显然,它可化为 a b ? 0

X
A2

F’1

A1

o
B1

F’2

故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; 证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’), ∴ c=c' ∵ c ? a 2 ? b 2 c? ? a 2 ? b 2 ∴四个焦点 F1 , F2 ,F1? , F2? 在同一个圆

F2

x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 上.

问:有相同渐近线的双曲线方 程一定是共轭双曲线吗 ?

一、选择题:

A

B

C

D

一、选择题:

A

B

C

D

一、选择题:

A

B

C

D

一、选择题:

A

B

C

D

一、选择题:

A

B

C

D

二、填空题

二、填空题

二、填空题:

二、填空题:

小结(注意研究方法):
1.范围 2.对称性 3.顶点,实轴 、虚轴 4.渐近线 5.离心率 作业 课本习题8.4第2(1)(2)(4),第4 题


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