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2高三第一轮复习——用均值不等式求最值的类型及方法


高三第一轮复习——用均值不等式求最值的类型及方法
均值不等式是《不等式》一章重要内容之一,是求函数最值的一个重要工具,也是高考常考的一个重 要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式 ① a ? b ? 2ab ? ab ?
2 2

a2 ? b2 (a、b ? R), 当且仅当 a = b 时

,“=”号成立; 2
2

?a?b? ? ② a ? b ? 2 ab ? ab ? ? 当且仅当 a = b 时,“=”号成立; ? (a、b ? R ), ? 2 ?
③ a ? b ? c ? 3abc ? abc ?
3 3 3

a3 ? b3 ? c3 当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立; (a、b、c ? R ? ), 3
?a?b?c? ? ? (a、b、c ? R ) ,当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立. 3 ? ?
3

④ a ? b ? c ? 33 abc ? abc ? ?

注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a 2 ? b2 。 2

二、函数 f ( x) ? ax ? (1)函数 f ( x) ? ax ?

b (a、b ? 0) 图象及性质 x

y
? b 2 ab a

b ?a、b ? 0? 图象如图: x b ?a、b ? 0? 性质: x

o
? 2 ab

x
b a

(2)函数 f ( x) ? ax ?

①值域: (??,?2 ab] ? [2 ab,??) ; ②单调递增区间: (??, ?

b b ] ,[ , ??) ;单调递减区间: (0, a a

b b , 0) . ] , [? a a

三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例 1、求函数 y ? x ?

1 ( x ? 1) 的最小值。 2( x ? 1) 2

解析: y ? x ?

1 1 x ?1 x ?1 1 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ? 1( x ? 1) ? ? ? ? 1( x ? 1) 2 2 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2 2 2( x ? 1)2
3 5 x ?1 x ?1 1 ? ? ?1 ? ? 1 ? , 2 2 2 2 2 2( x ?1)
-1-

? 33

当且仅当

5 x ?1 1 ? ( x ? 1) 即 x ? 2 时,“=”号成立,故此函数最小值是 。 2 2 2 2( x ? 1)

评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添 加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例 2、求下列函数的最大值:
2 ① y ? x (3 ? 2 x )(0 ? x ?

3 ) 2

② y ? sin x cos x(0 ? x ?
2

?

2

)

解析:①

3 ,∴3 ? 2 x ? 0 , 2 3 x ? x ? (3 ? 2 x) 3 2 ] ? 1, ∴ y ? x (3 ? 2 x)(0 ? x ? ) ? x ? x ? (3 ? 2 x) ? [ 2 3 当且仅当 x ? 3 ? 2 x 即 x ? 1 时,“=”号成立,故此函数最大值是 1。 0? x? 0? x?



?
2

,∴sin x ? 0, cos x ? 0 ,则 y ? 0 ,欲求 y 的最大值,可先求 y 2 的最大值。

1 sin 2 x ? sin 2 x ? 2cos2 x 3 4 1 ) ? , y2 ? sin4 x ? cos2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? (sin 2 x ? sin 2 x ? 2cos 2 x) ? ? ( 2 2 3 27
2 2 当且仅当 sin x ? 2cos x (0 ? x ?

?
2

) ? tan x ? 2 ,即 x ? arc tan 2 时,

不等式中的“=”号成立,故此函数最大值是

2 3 。 9

评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要通过乘以 或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子) 、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。

4 (0 ? x ? 1) 的最小值。 x b 4 解法一: (单调性法) 由函数 f ( x) ? ax ? ( a、b ? 0) 图象及性质知, 当 x ? (0,1] 时, 函数 f ( x) ? x ? 是 x x
例 3、若 x、y ? R ,求 f ( x) ? x ?
?

减函数。证明:任取 x1 , x2 ? (0,1] 且 0 ? x1 ? x2 ? 1 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? (

x ?x x x ?4 4 4 , ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,∴ x1 ? x2 ? 0, 即 f ( x) ? x ?

x1 x2 ? 4 ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 x2

4 在 (0,1] 上是减函数。 x 4 故当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 在 (0,1] 上有最小值 5。 x

-2-

解法二: (配方法)因 0 ? x ? 1 ,则有 f ( x) ? x ?

2 4 ?( ? x )2 ? 4 , x x

易知当 0 ? x ? 1 时, ? ? 即 f ( x) ? x ?

2 2 ? x ? 0 且单调递减,则 f ( x) ? ( ? x )2 ? 4 在 (0,1] 上也是减函数, x x

4 4 在 (0,1] 上是减函数,当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 在 (0,1] 上有最小值 5。 x x 4 4 4 解法三: (导数法)由 f ( x) ? x ? 得 f ?( x ) ? 1 ? 2 ,当 x ? (0,1] 时, f ?( x) ? 1 ? 2 ? 0 , x x x 4 4 则函数 f ( x) ? x ? 在 (0,1] 上是减函数。故当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 在 (0,1] 上有最小值 5。 x x
解法四: (拆分法) f ( x) ? x ?

1 3 4 1 3 (0 ? x ? 1) ? ( x ? ) ? ? 2 x ? ? ? 5 , x x x x 1

当且仅当 x ? 1 时“=”号成立,故此函数最小值是 5。 评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法、导数法具有一般性,配方法及拆分法 也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ:条件最值问题。 例 4、已知正数 x、y 满足

8 1 ? ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。 x y
8 x 1 y x 16 y x 16 y ? ? 10 ? 2 ? ? 18 , y x y x

解法一: (利用均值不等式) x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y) ? 10 ?

?8 1 ?x ? y ?1 当且仅当 ? 即 x ? 12, y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。 ? x 16 y ? ? ? x ?y
解法二: (消元法)由

x x 8 1 ,由 y ? 0 ? ? 0又x ? 0 ? x ? 8 ? ?1得 y ? x ?8 x ?8 x y
16 2x 2( x ? 8) ? 16 16 16 ? x? ? x?2? ? ( x ? 8) ? ? 10 ? 2 ( x ? 8) ? ? 10 ? 18 。 x ?8 x ?8 x ?8 x ?8 x ?8

则 x ? 2y ? x ? 当且仅当 x ? 8 ?

16 即 x ? 12, 此时y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。 x ?8

?8 8 ? ? sin 2 x x? ? ? x sin 2 x 解法三: (三角换元法)令 ? 则有 ? ?1 ? 1 ? ? cos 2 x ?y ? 2 ? y ? cos x ? ?
则: x ? 2 y ?

8 2 ? 2 ? 8csc2 x ? 2sec2 x ? 8(1 ? cot 2 x) ? 2(1 ? tan 2 x) ? 10 ? 8cot 2 x ? 2tan 2 x 2 sin x cos x

? 10 ? 2 (8cot 2 x) ? (2 tan 2 x) ? 18 ,
-3-

易求得 x ? 12, 此时y ? 3 时“=”号成立,故最小值是 18。 评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:

8 1 8 1 x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y) ? 2 ? ? x ? 2 y ? 8 。原因就是等号成立的条件不一致。 x y x y
类型Ⅴ:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例 5、已知正数 x、 y 满足 xy ? x ? y ? 3 ,试求 xy 、 x ? y 的范围。 解法一:由 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? x ? y ? 3 ? xy ? 3 ? x ? y ? 2 xy , 即 ( xy ) ? 2 xy ? 3 ? 0 解得
2

xy ? ?1 (舍)或 xy ? 3 ,

当且仅当 x ? y且xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范围是 [9, ??) 。 又 x ? y ? 3 ? xy ? (

x? y 2 ) ? ( x ? y)2 ? 4( x ? y) ?12 ? 0 ? x ? y ? ?2(舍)或x ? y ? 6 , 2

当且仅当 x ? y且xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 x ? y 的取值范围是 [6, ??) 。 解法二:由 x ? 0, y ? 0 , xy ? x ? y ? 3 ? ( x ? 1) y ? x ? 3 知 x ? 1 , 则: y ?

x?3 x?3 ? 0 ? x ? 1, ,由 y ? 0 ? x ?1 x ?1

则: xy ? x ?

4 x ? 3 x 2 ? 3x ( x ? 1)2 ? 5( x ? 1) ? 4 4 ? ? ? ( x ? 1) ? ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? ?5 ? 9, x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
4 ( x ? 0)即x ? 3 ,并求得 y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范围是 [9, ??) 。 x ?1

当且仅当 x ? 1 ?

x? y ? x?

x?3 x ?1 ? 4 4 4 4 ? x? ? x? ? 1 ? ( x ? 1) ? ? 2 ? 2 ( x ? 1) ? ?2?6, x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
4 ( x ? 0)即x ? 3 ,并求得 y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范围是 [9, ??) 。 x ?1

当且仅当 x ? 1 ?

评析:解法一具有普遍性,而且简洁实用,易于掌握,解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析: 例 1. 求函数 y ? 错解: y ?

? x ? 4?? x ? 9? 的最值。 x

? x ? 4?? x ? 9? x 2 ? 13x ? 36 36 36 ? ? 13 ? x ? ? 13 ? 2 x ? ? 25 x x x x
36 即 x ? ?6 时取等号。所以当 x ? ?6 时,y 的最小值为 25,此函数没有最大值。 x

当且仅当 x ?

分析: 上述解题过程中应用了均值不等式, 却忽略了应用均值不等式求最值时的条件, 两个数都应大于零, 因而导致错误。因为函数 y ? 分类讨论。
-4-

? x ? 4?? x ? 9? 的定义域为 ???,0? ??0, ? ?? ,所以必须对 x 的正负加以 x

正解:1)当 x ? 0 时, y ? 13 ? x ? 当且仅当 x ?

36 36 ? 13 ? 2 x ? ? 25 x x

36 即 x ? 6 时取等号。所以当 x ? 6 时, ymin ? 25 x 36 36 36 ?? ? ? ? 2 ?? x ?? ?? ? ? ? 12 ? 0 , ?? x ? ? ? ? x? ? x? x

2)当 x ? 0 时, ? x ? 0 , ?

? y ? 13 ? [( ? x) ? (?
当且仅当 ? x ? ?

36 )] ? 13 ? 12 ? 1 x

36 ,即 x ? ?6 时取等号,所以当 x ? ?6 时, ymax ? 13 ? 12 ? 1. x 9 例 2. 当 x ? 0 时,求 y ? 4 x ? 2 的最小值。 x
错解:因为 x ? 0 ,y ? 4 x ?

9 9 6 ? 2 4x ? 2 ? 2 x x x

所以当且仅当 4 x ?

3 9 6 9 ? 2 3 18 。 x ? 即 时, y min ? 2 x x 4

分析:用均值不等式求“和”或“积”的最值时,必须分别满足“积为定值”或“和为定值”,而上述解法中 4 x 与

9 的积不是定值,导致应用错误。 x2
正解:因为 x ? 0 ,y ? 4 x ?
3 9 9 9 ? 2 x ? 2 x ? ? 3 2 x ? 2 x ? 2 ? 33 36 2 2 x x x 3 3 36 36 时等号成立,所以当 x ? 时, ymin ? 33 36 。 2 2

当且仅当 2 x ?

9 ,即 x ? x2

例 3. 求 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

( x ? R) 的最小值。

错解:因为 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

? x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4
1 x ?4
2

?2

x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4

? 2 ,所以 ymin ? 2
2

分析:忽视了取最小值时须 x ? 4 ?
2

成立的条件,而此式化解得 x ? ?3 ,无解,所以原函数

y 取不到最小值 2 。
正解:令 t ?

1 x 2 ? 4 ?t ? 2? ,则 y ? t ? (t ? 2 ) t 1 5 又因为 t ? 1 时, y ? t ? 是递增的。所以当 t ? 2 ,即 x ? 0 时, y min ? 。 t 2
?

例 4.已知 x, y ? R 且

1 4 ? ? 1 ,求 u ? x ? y 的最小值. x y
-5-

错解:?1 ?

1 4 4 ? ? ? xy ? 4 ,?u ? x ? y ? 2 xy ? 8 ,? u 的最小值为 8 . x y xy
1 4 ? 和 x ? y ,而这两个式子不能同时成立, x y

分析:解题时两次运用均值不等式,但取等号条件分别为 故取不到最小值 8 . 正解: u ? ( x ? y )( ?

1 x

4 4x y ) ? 5? ? ? 5?4 ? 9 y y x

当且仅当

4x y ? 即 x ? 3, y ? 6 时等号成立. ? u 的最小值为 9 . y x

综上所述,应用均值不等式求最值要注意: 一要正:各项或各因式必须为正数; 二可定:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不 出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错; 三能等:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值。 巩固练习:
2 2 2 2 1、已知: x ? y ? a, m ? n ? b 且 a ? b ,则 mx ? ny 的最大值为(

)
2

(A) ab

(B)

a?b 2

(C)

a ?b 2
2

2

(D)

a ?b 2
2

2、若 a, x, y ? R ? ,且 x ? (A) 2 2 (B) 2 3、已知下列不等式: ① x ? 3 ? 2x( x ? R ) ;
3 ? 5 5 3 2 2 3

y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是(
(C)2 (D)1

)

② a ? b ? a b ? a b (a, b ? R ) ; ③ a ? b ? 2(a ? b ? 1) . 其中正确的个数是( ) (A)0 个 (B)1 个
2 2 ?

?

(C)2 个

(D)3 个 ) (C) ab ?

4、设 a, b ? R ,则下列不等式中不成立的是( (A) (a ? b)(

ab 5、设 a, b ? R 且 2a ? b ? 1, S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 的最大值是(
?

1 1 ? )?4 a b

(B)

a ?b
2

2

? 2 ab

1 ab
)

?2

(D)

2ab ? ab a?b

2 ?1 (C) 2 ? 1 2 a b 6、若实数 a , b 满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是(
(A) 2 ? 1 (B) (A)18 (B)6 (C) 2 3 7、若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是
? 8、若 x, y ? R ,且 2 x ? y ? 1 ,则

(D) )

2 ?1 2

(D) 24 3 . . .

1 1 ? 的最小值为 x y

9、若 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1, 且a ? b ,则 a ? b,2 ab, a 2 ? b 2 ,2ab 中最大的是

-6-


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