kl800.com省心范文网

2015年全国各地高考数学三轮复习试题汇编 专题3 三角函数、解三角形、平面向量 第3讲 平面向量(A卷)理


专题 3

三角函数、解三角形、平面向量
第 3 讲 平面向量(A 卷)

一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1 . ( 绵 阳 市 高 中 2015 届 第 三 次 诊 断 性 考 试 · 2) 已 知 向 量 的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 为非零向量,则

2 . (2015. 江西省上饶市高三第三次模拟考试· 10)P ? Q 为三角形 ABC 中不同的两点 , 若 3 PA ? 2PB ? PC ? 0,3QA ? 4QB ? 5QC ? 0 ,则 S△PAB : S△QAB 为( A.1∶2 B.2∶5 C.5∶2

??? ?

??? ? ??? ?

? ??? ?

??? ?

??? ?

?

) D.2∶1

3.(2015·赣州市高三适用性考试·6)

4. ( 江 西 省 新 八 校 2014-2015 学 年 度 第 二 次 联 考 · 3) 已 知 向 量 a 、 b 满 足

| a ? b |? 2 | a |? 2 | b | ,则向量 a , a ? b 夹角的余弦值为(
A.



2 2

B. ?

2 2

C. 0

D. 1

5、(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·3)设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件

?

?

? ? a b ? 中,一定能使 ? ? ? ? 0 成立的是( |a| |b| ? ? ? ? A. a ? 2b B. a / / b

) C. a ? ? b

?

1? 3

D. a ? b

?

?

1

6. ( 2015 · 山 东 省 淄 博 市 高 三 阶 段 性 诊 断 考 试 试 题 · 5 ) 已 知 不 共 线 向 量

r r r r r r r r r a, b, a ? b ? a ? b , 则a ? b与a 的夹角是(
A.

) C.

? 12

B.

? 6

? 4

D.

? 3

7.(2015·山西省太原市高三模拟试题二·3)

8. (2015 · 山 东 省 潍 坊 市 第 一 中 学 高 三 过 程 性 检 测 · 3) 平 面 向 量 a与b 的 夹 角 为

60?,a ? ? 2, 0 ?, b ? 1,则 a ? 2b 等于(
A. 2 2 二、非选择题(60 分) B. 2 3

) C.12 D.

10

9 .( 2015 · 陕 西 省 安 康 市 高 三 教 学 质 量 调 研 考 试 · 14 ) 已 知 向 量 . 10. (2015·武清区高三年级第三次模拟高考·13)在 ?ABC 中, AC ? 3, BC ? 2, ?C ?

?
3



D 是 AB 边上的一点,且 AD ? 2DB ,则 CD ? AB ?



11.(2015.南通市高三第三次调研测试·11)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB ??? ? ??? ? ? 上的动点,则 PC ?PD 的中点.以 A 为圆心,AE 为半径,作弧交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 EF 的最小值为 .

2

12.(2015·赣州市高三适用性考试·14)

13. (2015.菏泽市高三第二次模拟考试数学 (理) 试题· 11)已知向量 a、 b , 其中 a ?

2,

(a ? b) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是 _____ b ? 2 ,且
14. ( 2015` 临沂市高三第二次模拟考试数学(理)试题· 11) 已知向量 a 与 b 满足

a ? 2, b ? 2,? a ? b? ? b,则 a 与 b 的夹角为_________.
15.(2015·德州市高三二模(4 月)数学(理)试题·13)已知向量 AB与AC 的夹角为 60 , 且 AB = AC =2 ,若 AP ? ? AB ? AC, 且AP ? BC ,则实数 ? 的值为___________. 16 .( 2015 · 苏 锡 常 镇 四 市 高 三 数 学 调 研 ( 二 模 )· 7 ) 已 知 向 量

uu u r uuu r

?

uuur uuu u r

uu u r

uu u r uuu r

uu u r

uuu r

? ? ? ? ? ? a ? ?1, 2 ? , b ? ? 0, ?1? , c ? ? k , ?2 ? ,若 a ? 2b ? c ,则实数 k ?

?

?

17. (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·11)如图,半径为 2 的扇形的圆心 角为 120?, M , N 分别为半径 OP , OQ 的中点, A 为弧 PQ 上任意一点,则 AM ? AN 的取值范 围是 .

18. (2015· 盐城市高三年级第三次模拟考试· 12)在边长为 1 的菱形 ABCD 中,?A ? 若点 P 为对角线 AC 上一点,则 PB ? PD 的最大值为

2? , 3

??? ? ??? ?



??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? 19.已知平面上四个互异的点 A、B、C、D 满足: AB ? AC ? 2 AD ? BD ? CD ? 0 ,则 ?ABC

?

??

?

的形状是





20. (2015·南京市届高三年级第三次模拟考试·9)在△ABC 中, ?ABC=120?,BA=2,BC

3

? ? =3,D,E 是线段 AC 的三等分点,则 BD · BE 的值为



专题 3 三角函数、解三角形、平面向量 第 3 讲 平面向量(A 卷)答案与解析 1.【答案】C 【命题立意】利用向量的运算,平方化简.
2 2 b ? a ? b ? 2a ? b ? a? b?0 【解析】 | a ? b | ?| a ? b | ? a ? b ? 2a ?

?

?

? ?

?2

?2

? ?

?2

?2

? ?

? ?

2.【答案】B 【命题立意】本题重点考查了平面向量的基本运算、三角形的面积公式等知识. 【解析】因为 3 PA ? 2PB ? PC ? 0,3QA ? 4QB ? 5QC ? 0 对两个式子,得到 3 PA ? 2PB ? ?PC,3QA ? 4QB ? ?5QC ,两边平方,得 S△PAB : S△QAB ? 2: 5 ,故选 B. 3.【答案】B 【命题立意】作出对应的平面区域,利用线性规划的知识求出 z 的最大值和最小值即可. 【解析】作出对应的平面区域如图, 设 P( x,y ) ,则 OP ? OA ? ( x, y) ? (?21) , ? ?2x ? y . 设 z = ? 2 x ? y 得 y ? 2 x ? z ,平移直线 y ? 2 x ? z ,由图象知当 y ? 2 x ? z 经过点 A(0,1) 时,直线的截距最大,此时 z 最大为 z ? 0 ? 1 ? 1 ,经过 B(1,0)点时,直线的截距最小, 此时 z 最小为 z ? ?2 ,则 z = ? 2 x ? y 的最大值和最小值之和为 1 ? 2 ? ?1 .选 B.

??? ?

??? ? ??? ?

? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

4

【易错警示】本题的求解,先要通过数量积的坐标公式转化为线性函数,然后结合目标函数 的几何意义,利用数形结合进行求解,注意目标函数的截距和 z 的大小关系,是一道综合性 较强的试题. 4.【答案】A 【命题立意】考查平面向量的模、夹角,考查转化能力,容易题. 【解析】由 | a ? b |? 2 | a |? 2 | b | 可得 a ? b , | a |?| b | ,? 向量 a , a ? b 夹角为

? , 4

其余弦值为 5.【答案】C

2 . 2

【命题立意】本题主要考查向量共线的表示 【解析】6.【答案】D 【命题立意】本题主要考查向量的模的计算,向量的几何意义.

【解析】解法一:根据| a |=| b |,有| a | =| b | ,又由| b |=| a - b |,得
2 2

?

?

?

?

?

? ?

| b | =| a | -2 a · b +| b | ,∴ a · b =
2 2 2

?

?

?

?

?

?

?

| a | .而| a + b | =| a | +2 a · b +| b | =3| a | ,
2 2 2 2 2

?

? ?

?

?

?

?

?

∴| a + b |= ∴θ =

? ?

. 设 a 与 a + b 的夹角为 θ , 则 cosθ =

?

? ?



? . 6
? ? ? ?


解法二:设向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),∵| a |=| b |,∴

由|b|=| a - b |,得 x1x2+y1y2=

? ?

(

),即 a · b =

?

?

(

).

由| a + b | =2(
2

? ?

)+2×

(

)=3(

),得| a + b |=

? ?

(

).

5

设 a 与 a + b 的夹角为 θ ,则 cosθ = θ =

?

? ?

,∴

? . 6
= a ,OB= b ,以 OA、OB

解法三:根据向量加法的几何意义,在平面内任取一点 O,作 为邻边作平行四边形 OACB. ∵| a |=| b |, 即| 这时 =a +b ,

?

?

?

?

|=|

|, ∴OACB 为菱形, OC 平分∠AOB, |=| |=| |.

? ?

= a - b .而| a |=| b |=| a - b |,即|

? ?

?

?

? ?

∴△AOB 为正三角形,则∠AOB=60°,于是∠AOC=30°,即 a 与 a + b 的夹角为

?

? ?

? . 6

7.【答案】B 【命题立意】本题重点考查平面向量的坐标运算和向量模的定义,属于基础题. 【 解 析 】 因 为 a ? b , 所 以 2 x ? 2?

?

?

? ? 0 , 得 x ? 1 , 所 以 a ? b ? (? 1 , 3 , )

? ? | a ? b |? 1 ? 32 ? 10 .
8.【答案】B 【命题立意】本题重点考查向量的坐标运算和向量的模的计算,难度较小. 【解析】因为 | a |? 2 ,所以 | a ? 2b |2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 1? cos 600 ? 4 ? 12 ,得 | a ? 2b |? 2 3 9.【答案】2 【命题立意】本题重点考查了平面向量的基本运算、数量积的运算性质等知识.

?

?

?

?

?

b ? b ? 1 ? 2 ?1? | b | cos 【解析】根据 | a ? b |? 7 ,得到 | a ? b |2 ? a ? 2a?
? ? ? ? 所以 | b |2 ? | b | ?6 ? 0 ,解得 | b |? 2或 | b |? ?3(舍去) ,故答案为 2.
10.【答案】 ?

?

?

? ?

?2

? ? ?2

?

?
3

? ? | b |2 ? 7 ,

4 3

【命题立意】本题主要考查向量的线性运算、数量积 【解析】 CD ? AB ? (CA ? AD) ? (CB ? CA) ? [CA ?

??? ? ??? ?

??? ? ????

??? ? ??? ?

??? ?

? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? (CB ? CA)] ? (CB ? CA) 3

6

= ( CA ?

? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 1 ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? 1 ??? CB) ? (CB ? CA) ? CB ? CA ? CB ? CA 3 3 3 3 3 2 1 1 1 4 ? ? 22 ? ? 32 ? ? 2 ? 3 ? ? ? . 3 3 3 2 3

11.【答案】 5 ? 2 5 【命题立意】本题考查平面向量的数量积,最值,意在考查分析能力,转化能力,中等题. 【解析】以点 A 为坐标原点,建立如图的平面直角坐标系,则 C (2,2) , D(0,2) , 设 P(cos ? , sin ? )( 0 ? ? ?

?
2

) ,? PC ? (2 ? cos? ,2 ? sin ? ) , PD ? (? cos? ,2 ? sin ? ) ,

? PC ? PD ? ?2 cos? ? cos2 ? ? 4 ? 4 sin ? ? sin 2 ? ? 5 ? 2(cos? ? 2 sin ? )
? 5 ? 2 5 sin(? ? ?) (其中 cos? ?
2 5 ) , 5

? 当 sin(? ? ? ) ? 1 时, PC ? PD 取得最小值 5 ? 2 5 .

12.【答案】 135

?

【命题立意】本题主要考查向量夹角的计算,根据向量的坐标公式进行运算求解即可. 【解析】∵ AC ? BO ,∴ OC ? OA ? ?OB , 即 OC=OA ? OB=(2,3) ? (?3, 2) ? (5,1) , 则 OB ? OC ? ?3? 5 ? 2 ?1 ? ?13 , | OB |? 13,| OC |? 26 ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 OB ? OC ?13 ? ??? ? ? ∴ cos ? OB, OC ?? ??? , ?? 2 | OB || OC | 13 ? 26
即 ? OB, OC ?? 135? ,故答案为: 135 13.【答案】

??? ? ??? ?

?

? 4

【命题立意】本题旨在考查平面向量的位置关系,数量积.

7

【解析】设向量 a 和 b 的夹角为 θ ,那么由(a-b)⊥a 可得(a-b) ·a =a -b·a=( 2 )
2 2

- 2 ×2×cosθ =0,即 cosθ =

? 2 ,故 θ = . 4 2

14.【答案】

? . 4

【命题立意】向量的数量积以及夹角的定义.

? b ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 2 ? 【解析】 (a ? b)? b ? 0, a? b ? b? b, a ?b ? cos ? ? b ?b , cos ? ? ? ? ,?? 2 4 a
15.【答案】1 【命题立意】本题旨在考查向量相等的充要条件,平面向量基本定理. 【解析】由题意可知 AP 是∠BAC 的角平分线,从而由平面向量加法的平行四边形法则可知:

? ? 1 .故答案为:1.
16.【答案】8 【命题立意】本题旨在考查平面向量的位置关系,平面向量的坐标运算与数量积. 【解析】由于 a-2b=(1,2)-2(0,-1)=(1,4) ,而(a-2b)⊥c,那么(a-2b) ·c =(1,4) · (k,-2)=k-8=0,解得 k=8. 17.【答案】[

3 5 , ] 2 2

【命题立意】本题旨在考查平面向量的数量积. 【解析】 以 O 为坐标原点、 OQ 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系, 则有 N (1, 0) , M (cos120 ?,sin120?)=(-

1 3 , ) ,设 A(2cosθ ,2sinθ ) (0?≤θ ≤120?) ,那么 AM · AN = 2 2
2

( OM - OA ) · ( ON - OA )= OM ·ON - OA · ( OM + ON )+ OA =-

1 -(2cosθ , 2

2sinθ ) · (

1 7 3 2 7 , )+(2cosθ ,2sinθ ) = - 3 sinθ -cosθ = -2sin(θ +30?) , 2 2 2 2 7 3 7 -2= ;θ =0?或 120?,取得最大值为 2 2 2

而 0?≤θ ≤120?,当 θ =60?时,取得最小值为

8

-1=

5 . 2 1 2

18.【答案】-

【命题立意】本题旨在考查平面向量的线性运算与数量积. 【 解 析 】 设 | PA |=x ∈ [0 , 1] , 那 么 PB · PD = ( PA + AB ) ( PA + AD ) = PA + PA · AD + AB · PA + AB · AD =x +xcos120?+xcos120?+cos120?=x -x- -
2 2 2

1 =(x 2

1 2 3 1 ) - ,则当 x=0 或 1 时, PB · PD 取得最大值为- . 2 4 2

19.【答案】等腰三角形 【命题立意】本题考查向量的运算与向量垂直与共线问题. 【解析】 2 AD ? BD ? CD ? ( AD ? DB) ? ( AD ? DC ) ? AB ? AC , AB ? AC ? BC ,

??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? 由 AB ? AC ? 2 AD ? BD ? CD ? 0 , 即 BC ? ( AB ? AC ) , 由四边形垂直平分可得 ?ABC

?

??

?

的是等腰三角形. 11 20.【答案】 9 【命题立意】本题旨在考查平面向量的线性运算与数量积. ? 2 ? 1 ? ? 1 2 BA + BA + 【 解 析 】 由 于 BD = BC , BE = BC , 故 BD · BE = ( =

2 3

BA

+

3 1 3

3

3

3

BC



·



1 3

BA

+

2 3

BC



11 2 2 5 2 2 5 BA 2+ BC 2+ BA · BC = ×22+ ×32+ ×2×3×cos120?= . 9 9 9 9 9 9 9

9


赞助商链接

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编【三轮】平面向量(...

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编三轮平面向量(理卷B)_高考_高中教育_教育专区。专题 3 三角函数解三角形平面向量 3讲一、选择题(45 分) 1. (...

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编【三轮】三角变换...

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编三轮】三角变换与解三角形(理卷A)_高考_高中教育_教育专区。专题 3 三角函数解三角形平面向量 2讲 三角变换与解三角...

【2015年全国各地高考三模数学试题汇编】专题3 第2讲 ...

2015年全国各地高考三模数学试题汇编专题3 2讲 三角变换与解三角形(理卷B)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题 3 三角函数解三角形平面向量 ...

【2015年全国各地高考三模数学试题汇编】专题3 第1讲 ...

2015年全国各地高考三模数学试题汇编专题3 1讲 三角函数的图象与性质(理...专题3 1讲 三角函数解三角形平面向量 三角函数的图象与性质(A 卷) 一...

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编【三轮】平面向量(...

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编三轮平面向量(理卷A)_高考_高中教育_教育专区。专题 3 三角函数解三角形平面向量 3讲一、选择题(每题 5 分,共...

【2015年全国各地高考三模数学试题汇编】专题3 第1讲 ...

2015年全国各地高考三模数学试题汇编专题3 1讲 三角函数的图象与性质(理...专题 3 三角函数解三角形平面向量 1讲 三角函数的图象与性质(B 卷) ...

高考数学三轮复习试题 专题三角函数、解三角形、平面向...

高考数学三轮复习试题 专题三角函数解三角形平面向量 2讲 三角变换与解三角形(B卷)理(含解析)_高考_高中教育_教育专区。专题 3 三角函数解三角形、...

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编【三轮】三角变换...

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编三轮】三角变换与解三角形(理卷B)_高考_高中教育_教育专区。专题 3 三角函数解三角形平面向量 2讲 三角变换与解三角...

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编【三轮】三角函数...

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编三轮三角函数的图象与性质(理卷A)_高考_高中教育_教育专区。专题 3 三角函数解三角形平面向量 1讲 三角函数的图象...

2015高考数学文科试题分类汇编 三角函数与解三角形

2015高考数学文科试题分类汇编 三角函数解三角形_...(A) 1 3 1 7 (B) 1 6 (C) 5 7 1 ,则...C 所对的边分别为 a , b, c , 向量 m ? (...