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高中数学必修五总复习课件-知识点+题型


必修五 总复习

第一部分 解三角形
1、解三角形、求面积 2、边角互化 3、应用题

解三角形公式
1、正弦定理

a b c ? ? sin A sin B sin C
2 2

2、余弦定理
①求边的形式:

a ? b ? c ?

2bccosA 2 2 2 b ? a ? c ? 2accosA 2 2 2 c ? a ? b ? 2abcosA
2

②求角的形式:
2 2 2 b2 ? c2 ? a2 a 2 ? c 2 ? b 2 cosC ? a ? b ? c cos A ? cos B ? 2ab 2bc 2ac

3、三角形面积公式(条件:两边一夹角)

1 1 1 S ? ab sin C ? bc sin C ? ac sin B 2 2 2

1、解三角形的四类题

题型一 已知三边,求三角(余弦定理)
题型二:已知两边一夹角,求边和角(余弦定理) 题型三:已知两边一对角,求角用(正弦定理), 只求边用(余弦定理) 题型四:已知两角一边,求边用(正弦定理) 总之,如果边的条件比较多,优先考虑余弦

如果角的条件比较多,优先考虑正弦

(如果题目告知了两个角,先用内角和180°求出第三角)

注意: 用正弦定理求角,可能多解

例:1

也可先求边b, 再算sinC 用S= absinC 求面积
1 2

2、边角互化
题目条件有边有角,需用正余弦定理进行边角互化, (或全部化为边,或全部化为角)

例:

C

判断三角形形状

例: 2、在△ABC中,a,b,c分别是A、B、C的对 边,若a=2bcosC ,则此三角形一定是( )

A、等腰直角三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形
答案:C

补充:若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 , 则△ ABC ( C) (A)一定是锐角三角形. (B)一定是直角三角形. (C)一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.
解析:要判断是钝角三 角形还是锐角三角形, 主要看最大角 由正弦定理:sinA : sin B:sinC ? a:b:c ? 5: 11 : 13 故最长的边为边 c,最大的角为角 C a 2 ? b 2 ? c 2 5 2 ?112 ? 132 cosC ? ? ?0 2ab 2 ? 5 ? 11 故角C为钝角 三角形为钝角三角形

例:2题

答案:

3、应用题

解:在三角形 ABC中,AC ? b ? 100 3, BC ? a ? 100, A ? 30?
由余弦定理
B
2

A

b ? c ? a ? 2bc cosA
2 2
2 即( 100 3) ? c 2 ? 1002 ? 2 ?100 3 ? c ? cos30?

30° 60°
C

求得c=100或200

答:渔船B与救护船A的距离为100或200海里

第二部分 数列
1、等差数列与等比数列 2、数列的通项公式 3、数列的和

1、等差数列和等比数列 等差数列 定义 通项公式 等比数列
a n?1 ? q(q ? 0) an

an?1 ? an ? d

an ? a1 ? (n ? 1)d 或an ? am ? (n ? m)d

a n ? a1q

n ?1 n?m

或an ? a m q
则G 2 ? ab

中项性质 下标 2n=p+q m+n=p+q

若a,A,b三项成等差, 若a,G,b三项成等比, 则2A ? a ? b

2a n ? a p ? aq
a n ?a m ? a p ? a q

a n ? a p aq
a n am ? a p aq

2

等差数列
前n项和
a1 ? a n Sn ? n 2 n(n ? 1) S n ? a1 n ? d 2

等比数列
a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q Sn ? ? 1? q 1? q

若q≠1

若q ? 1, S n ? na1

性质 S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2 n ? S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2 n ? (片段和)
成等差数列 成等比数列

等差和等比通项的规律:
等差数列的通项公式的特点:关于n的一次函数

a n ? 3n ? 2

5 3 首项:_______ 公差:_______

-2 -2 a n ? ?2n 首项:_______ 公差:_______

等比数列的通项公式的特点:关于n的指数幂
?1? an ? ? ? ? 3?
2 n ?1

1 27 首项:_______

an ? 4

?n

1 4 首项:_______

1 公比:_______ 9 1 4 公比:_______

例:复习卷第二部分第4题

答案:A

数列与指对数结合

例:等比数列 {an }的各项均为正数,且 a5 a6 ? a4 a7 ? 18,
10 则log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ______
解:因为数列 {a n }为等比数列,a5 a 6 ? a 4 a 7 ? 18 所以a5 a 6 ? a 4 a 7 ? 9 而 log3 a1 ? log3 a 2 ? ? ? log3 a10 ? log3 a1 a 2 ? a9 a10 ? log3 (a1 a10 )(a 2 a9 ) ? (a5 a 6 ) ? log3 9 5 ? log3 310 ? 10

2an

2、数列的通项公式
(1)等差数列、等比数列,直接用公式

等差要先求出a1和d,等比要先求出a1和q
(2)由Sn求an 当n ? 1时,a ? S ? S n n n ?1
当n ? 1时,a1 ? S1
满足的话写一个式子, 不满足写分段的形式

检验②式满不满足①式,

(3)根据递推公式(an与an+1的关系式)求通项公式

1、定义法(例如:an+1-an=2

等差


an+1-an=2an 等比 2、迭加法、迭乘法、构造法等

例:

答案:B

由Sn求an
当n ? 1时,an ? Sn ? S n?1 当n ? 1时,a1 ? S1

补充:求a n?

解:当n ? 1时,a1 ? S1 ? 21 ? 1 ? 1 当n ? 1时,a n ? S n ? S n ?1 ? (2 n ? 1) ? (2 n ?1 ? 1) ? 2 n ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ∵ a1 ? 1满足a n ? 2 n ?1 所以a n ? 2 n ?1

例 1:若 an ? an?1 ? 2n ?1 ,且 a1 ? 1 ,求 an
解:因为a n ? a n ?1 ? 2n ? 1 a n ?1 ? a n ? 2 ? 2n ? 3 ? a3 ? a 2 ? 5 a 2 ? a1 ? 3 这n ? 1个式子相加得 a n ? a1 ? (2n ? 1) ? (2n ? 3) ? ? ? 5 ? 3 (2n ? 1) ? 3 ? ? (n ? 1) ? n 2 ? 1 2
an ? n 2 ? 1 ? a1 ? n 2 ? 1 ? 1 ? n 2

an ? an?1 ? f (n) 迭加法

an ?1 例 2、若 ? 2 n ,且 a1 ? 2 ,求 an an
a n ?1 解:因为 ? 2n an an 所以 ? 2 n ?1 a n ?1 a n ?1 ? 2 n?2 a n?2 ? a3 ? 22 a2 a2 ?2 a1

将这n - 1个式子相乘得 an n -1 n?2 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 a1 ?2 ?2 ?2
(n ?1) ? ( n ? 2 ) ??? 2 ?1 (n ?1) ?1 ? (n ?1) 2 n ( n ?1) 2
n ( n?1) 2

an ? f ?n ? a n ?1

迭乘法
n 2 ?n 2

an ? a1 ? 2

? 2? 2

?2

n 2 ?n ? 2 2

例 3 :已知数列 {an } 中, a1 ? 3, an?1 ? 2an ?1(n ? 1) 求数列 ?an ?的通项公式

解:设a n ?1 ? x ? 2(a n ? x) 则a n ?1 ? x ? 2a n ? 2 x即a n ?1 ? 2a n ? x 与原式相比较得 x ? ?1 所以a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) a n ?1 ? 1 故 ?2 a n ?1

an ? pan?1 ? q

构造法

所以{a n ? 1}为以2为公比的等比数列,首 项a 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 故a n ? 1 ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n 所以a n ? 2 n ? 1

求an的方法总结: 一、已知Sn求an
当n ? 1时,an ? Sn ? S n?1 当n ? 1时,a1 ? S1
① ②

检验第②式满不满足第①式,满足的话写一个式子,不满足 写分段的形式

二、根据递推公式求通项公式 1、定义法

2、迭加法: an?1 ? an ? f (n) an?1 ? f ( n) 3、迭乘法: an 4、构造法: an?1 ? qan ? p

3、数列的和
步骤:

1、先写出通项判断数列类型 (等差?等比?其他?)
2、等差等比用公式解,其他把Sn展开再找求和方法: 一、公式法:适用于等差数列、等比数列 二、分组求和法:适用于形如{an + bn}的数列 三、错位相减法:适用于“等差×等比”型数列

四、裂项相消法:
分式形式且展开Sn后分母有共同部分 五、倒序相加法:能凑出定值 六、绝对值求和:先判断项的正负、去绝对值

方法探究
课堂例题: 已知数列 {a n }的通项公式为a n ? n, 等差数列 数列{b n }的通项公式为b n ? 2 n 等比数列 (1)求数列{a n }的前n项和 (2)求数列{b n }的前n项和

公式法

(3)求数列{a n ? bn }的前n项和 (4)求数列{a n ? bn }的前n项和 (5)求数列{a n bn } 的前n项和

分组求和法
错位相减法

an (6)求数列 { }的前n项和 bn

1 (7)求数列 { }的前n项和 a n a n?1

裂项相消法

复习卷大题第6题

补充:看图找规律:
1.如图,一组蜂巢的截面图,其中第一个图甲有一个蜂巢,第二个图乙有 7 个 蜂巢,第三个图丙有 19 个蜂巢,按此规律,以 f ?n ? 表示第 n 个图蜂巢总数,则

3n ? 3n ? 1 n ? N ? )。 f ?n ? =_______________( f ?4? =___________; 37
2







阶段二联考

第三部分 不等式
1、解不等式 2、已知解集求参数 3、不等式恒成立问题 4、二元一次不等式组与线性规划 5、基本不等式

1、不等式的解集
(1)一元二次不等式(求两根画图,注意开口方向) 例:x? >1解集为
1? x 例: ? 0解集为 1? x

{x|x<-1或x>1}

(2)分式不等式(除化为乘,注意分母不为0) {x|-1<x<1}

(3)指数不等式(利用单调性)
(4)对数不等式(利用单调性,注意真数>0)

例:复习卷第二部分第6、7题

(分段讨论)

2、已知解集求参数 例:若关于x的不等式 ? x 2 ? 2 x ? mx的解集为 2 {x|0<x<2},求m的值
1

解:由题意得:
0,2是方程 ?
1 2 1 x ? 2 x ? mx ,即 ? x 2 ? (2 ? m) x ? 0的两个根 2 2

即x1=0,x2=2,由韦达定理 x1+x2=0+2=2= ?

2?m ? 2(2 ? m) ? 4 ? 2m 1 ? 2

故求得m=1

注:1、不等式解集的两个端点 就是方程的两根 2、韦达定理x1+x2=
b ? a ,x1x2=

c a

3、不等式的恒成立问题

分析:对于一切实数恒成立,理解为解集为R
解:①当2 ? a ? 0即a ? 2时,不等式变为 4 ? 0,该式子恒成立,故 a ? 2可取 ②当2 ? a ? 0时,不等式为一元二次 不等式,如果对一切实 数都成立, 那整个图像必须都落在 x轴上方 ?2 ? a ? 0 故? 2 ? ? ( ? 2 ( a ? 2 )) ? 4 ? (2 ? a) ? 4 ? 0 ? 求得 ? 2 ? a ? 2 综上,a的取值范围是(?2,2]

解法: (在区间内恒成立问题的通用解法:转化为最值问题求解)

解:m ? x 2 ? 4 x在x ? [0,1]上恒成立 只需m ? (x 2 ? 4 x) min , x ? [0,1] 由图可得当x ? 1时,x 2 ? 4 x取最小值 12 ? 4 ? 1 ? ?3 所以m ? ?3

4、二元一次不等式组与线性规划 (1)不等式表示的平面区域(求面积、求最值)

例:早练17第7题

答案:A

例:复习卷第二部分第8、10题

答案:C

答案:8

(2)线性规划应用题
18. (2014汕头文数一模) 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品 要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用 A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利 润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元。该企业 在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料 不超过18吨,那么在一个生产周期内该企业生产 甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润,最大利 润是多少?

解应用题的步骤:
1、设

2、列:列线性约束条件(即x、y满足的不等式组)
目标函数(要求最值的式子) 3、画:画可行域、需要平移的目标直线,找出最优的 (画两条:一条是过原点的,一条是平移的最终位置,都用虚线) 4、解:联立方程,求交点(最优点)的坐标

5、求:将交点坐标代入式子,算出最值
6、答

5、基本不等式 对于任意的a>0,b>0,有 a ? b ? 2 (当且仅当a=b时取“=”号)

ab

关键点:
一正——指的是a,b为正值是公式成立的前提条件; 二定——指的是若a,b的积为定值,则a,b的和有最小值 若a,b的和为定值,则a,b的积有最大值 三相等——指的是a, b相等是等号成立的条件;

例:复习卷早练17第6题 D
一正

三相等 符号

例1

积定和最小,和定积最大

3 ( 1 )已知x ? 0, y ? 0且xy ? , 求2 x ? 3y的最小值 2 (2)已知x ? 0, y ? 0且2x ? 3 y ? 6, 求xy的最大值
(1 )分析:x , y都是正数,可用基本不 等式a ? b ? 2 ab 解:x ? 0, y ? 0, 故2 x ? 0,3 y ? 0 3 2 x ? 3 y ? 2 2 x ? 3 y ? 2 6 xy ? 2 6 ? ? 6 2 3 当且仅当2 x ? 3 y即x ? , y ? 1时取等号 2 所以2 x ? 3 y的最小值为 6

a?b 2 (2)分析1:x , y都是正数,求积可用基 本不等式的变形 ab ? ( ) 2 解法1:x ? 0, y ? 0, 故2 x ? 0,3 y ? 0 6 2 ? 2x ? 3 y ? 2x ? 3 y ? ? ? ? ( ) ? 9, 2 ? 2 ? 3 即6 xy ? 9 故xy ? 2 3 当且仅当2 x ? 3 y即x ? , y ? 1时取等号 2 3 所以xy的最大值为 2
2

1 1 例2:已知x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1, 求 ? 的最小值 x y

变式题型1:条件的是和,要求的也是和

(技巧:相乘构造乘积)
解: ∵ x ? y ? 1且x ? 0, y ? 0 1 1 1 1 x y x y x y ? ? ? ( x ? y)( ? ) ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ?4 x y x y y x y x y x x y 1 当且仅当 ? ,即x ? y ? 时,不等式取等号 y x 2 1 1 所以 ? 的最小值为 4 x y

构造:互为倒数,乘积为定值
x 例3:若x>0,求 y ? 2 的最大值 x ? x ?1
解: ∵ x ? 0,同时除以x x 1 1 ?y ? 2 ? ? 1 1 x ? x ?1 x ?1? x ? ?1 x x 1 1 ∵x ? ?1 ? 2 x ? ?1 ? 3 x x 1 1 1 ? ? 即原式 ? 1 3 3 x ? ?1 x x 1 故y ? 2 的最大值为 3 x ? x ?1

基本不等式的应用题:一般跟面积长度等相关
例:某单位建造一间背面靠墙的小房,地面面积为12 ㎡,房屋正面每平方米的造价为1200元,房屋侧面每 平方米的造价为800元,屋顶造价为5800元,如果墙 高3m,且不计房屋背面和地面的费用,问如何设计才 能使总造价最低,并求出最低总造价。


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