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甘肃省2013届高三第一次诊断考试数学(文)试题(1)


甘肃省 2013 年第一次高考诊断测试

数学(文)试题
注意事项: 1.本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第 1 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ 卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 M={x|-3 <x≤5},N={x|x<-5 或 x>5},则 M ? N= A.{x|x<-5 或 x> -3} C.{x|-3 <x <5} 2.i 是虚数单位,复数 B.{x| -5 <x <5} D.{x|x< -3 或 x>5}

10i ? 2?i

A.-2 +4i B.-2 -4i C.2+4i D.2 – 4i 2 3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x -x,则 f(l)= A.3 B.-1 C.1 D.-3 4.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 16 8
1 3
B.

A.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

5.如果执行右图的程序框图,输入 n=6,m=4.那么输出的 p 等于 A.720 B.360 C.240 D.120 6.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上 的数字之和为奇数的概率为

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1 3 2 C. 3
A. 7.设 sin (

1 ? ? ) ? ,则 sin2 ? = 4 3 7 1 A. ? B. ? 9 9
A.

?

1 2 3 D. 4
B.

D.

1 9

D.

7 9

8.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是

2? 3

B.8 ?

?
3

C.8-

2? 3 1 ,则 m= 5

D.8 ?2?

9.已知双曲线 9y2 一 m2x2=1(m>o)的一个顶点到它的一条渐近 线的距离为

A.1 B.2 C.3 D.4 2 10.点 P 是曲线 y=x 一 1nx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是 A.1 B. 2 C.2 D.2 2

11.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a=(m,n) ,b=(p,q) ,令 a⊙ mq b= -np,下面说法错误的是 A.若 a 与 b 共线,则 a⊙ =0 b B.a⊙ =b⊙ b a C.对任意的 ? ? R,有( ? a)⊙ = ? (a⊙ b b) D. (a⊙ 2+(a· 2= |a|2|b|2 b) b) 12.已知函数 f(x)=sin (2x+ ? ) ,其中 ? 为实数,若 f(x)≤ f ( ) 对 x∈ 恒成立,且 R

?

6

f ( ) ? f (? ) ,则 f(x)的单调递增区间是 2
A. ? k? ?

?

? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

B. ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

C. ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

D. ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?

第Ⅱ 卷

(非选择题,共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

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?x ? 2 y ? 2 ? 13. 已知变量 x, 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 , y 则目标函数: 3x -y 的最大值是 = ?4 x ? y ? ?1 ?



14.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中 点到 y 轴的距离为 。 15. 设△ABC 的内角 A, C 的对边分别为 a, c, cosA= B, b, 且

3 5 , cosB= , 则 c= b=3 5 13



16.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为 lcm, 那么该棱柱的表面积为 cm2。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}是一个等差数列,且 a2=5,a5 =11. ( I)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ )令 bn ?

1 (n ? N * ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 a ?1
2 n

18. (本小题满分 12 分) 已知 ABCD 是矩形,AD =2AB,E,F 分别是线段 AB,BC 的中点,PA⊥ 平面 ABCD. ( I)求证:DF⊥ 平面 PAF; (Ⅱ )在棱 PA 上找一点 G,使 EG∥ 平面 PFD,并说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 某科考试中,从甲、乙两个班级各抽取 10 名同学的成绩进行统计分析,两班成绩的茎叶 图如图所示,成绩不小于 90 分为及格. (I)甲班 10 名同学成绩标准差____ 乙班 10 名同学成绩标准差(填“>”或“=”或 “<”) ; (Ⅱ )从甲班 4 名及格同学中抽取两人,从乙班 2 名 80 分以下的同学中取一人,求三人 平均分不及格的概率.

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20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知点 F1、F2 分别为椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>b>0)的左、右焦点,P 是椭圆 C 上的一 a b
点,且|F1F2 | =2,∠ 1PF2= F (I)求椭圆 C 的方程;

?
3

,△F1 PF2 的面积为

3 . 3

5 ,0) ,过点 F2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点, 4 ???? ???? 对于任意的 k ? R, MA · MB 是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.
(Ⅱ )点 M 的坐标为(

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax-1-lnx(a ? R) . (I)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ )若函数 f(x)在 x=l 处取得极值,对 ?x ? (0?), f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ )当 x>y>e-l 时,求证:ex y>


1n( x ? 1) . 1n( y ? 1)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时 请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1;几何证明选讲 如图,⊙ 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB =AC,延长 BC 到点 D,使 CD =AC,连接 O AD 交⊙ 于点 E,连接 BE 与 AC 交于点 F。 O (I)判断 BE 是否平分∠ ABC,并说明理由; (Ⅱ )若 AE =6,BE =8,求 EF 的长。

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲已知函数 f(x)=log2(|x +1|+|x-2|-m) . (I)当 m=7 时,求函数 f(x)的定义域;
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(Ⅱ )若关于 x 的不等式 f(x)≥2 的解集是 R,求 m 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与菇轴的正半轴重合,且长度单 位相同。圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2 cos ? 7? ,点 Q 的极坐标为(2, ) . (? 为参数) 4 ? y ? ?1 ? 2sin ?

(I)化圆 C 的参数方程为极坐标方程; (Ⅱ )若点 P 是圆 C 上的任意一点,求 P,Q 两点间距离的最小值。

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