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高中


模块六 数列 ? 考纲解读最重要的是数列求和性质
? 高考大纲
考试内容 要求层次 A 数列的概念和表示法 数列的概念和表示法 等差数列的概念 等差数列 等差数列的通项公式与前 n 项和公式 等比数列的概念 等比数列 等比数列的通项公式与前 n 项和公式 B C

? ? ? ? ?

? 分析解读
(1)以数

列的前 n 项为背景,考查通项公式. (2)以数列的递推公式为载体,考差数列各项的求法及数列的通项. (3)由数列前 n 项和 S n ,求通项 a n . (4)理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. (5)体会等差数列与一次函数的关系,掌握等差数列的一些基本性质. (6)理解等比数列的概念,探索并掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式. (7)体会等比数列与指数函数的关系. (8)掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. (9)能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能 用有关知识解决相应的问题.

? 知识导航

定义 项,通项 数列基础知识 数列表示法 数列分类 数列 等差数列 等比数列 特殊数列 定义 通项公式 前n项和公式 性质 其他特殊数列求和

? 考点剖析
? 考点一
数列的通项公式

数列的通项的求法: 1、公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。
2、已知 S n (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ?

?S ,(?nS? 1),(n ? 2) S
1 n n ?1



3、已知 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) 。 , (n ? 2)

? f (1), (n ? 1) ? ? f (n ? 1) ?

4、若 an ?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 )

? a1 (n ? 2) 。
5、已知

an ?1 a a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1

6、已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。特别地,形如 an ? kan ?1 ? b 、

an ? kan ?1 ? b n ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列

后,再求 an 。形如 an ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b

? 考点二

数列的前 n 项和

数列求和的常用方法:
1、公式法:①等差数列求和公式; ②等比数列求和公式, 特别声明: 运用等比数列求和公式, 务必检查其公比与 1 的关系, 必要时需分类讨论.;
2 2 2 ③常用公式: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) , 1 ? 2 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ,

2

6

13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [

n(n ? 1) 2 ]. 2

2、分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一 起,再运用公式法求和. 3、相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联, 则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和 公式的推导方法). 4、 错位相减法: 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 5、裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那 么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: ① ②

1 ?1? 1 ; n(n ? 1) n n ? 1 1 ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? k ) k n n ? k
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2? ? ? ; ? 2 ? ( ? ), ? 2 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k k k ?1 2 k ?1 k ?1





1 1 1 1 ? [ ? ] ; n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
n 1 1 ; ? ? (n ? 1)! n! (n ? 1)!



⑥ 2( n ? 1 ? n ) ?

2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) . n ? n ?1 n n ? n ?1

2

6、通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。

? 考点三

等差数列的运算

1、等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d 为常数) an ?1 ? an ? an ? an ?1 (n ? 2) 。 或 2、等差数列的通项: an ? a1 ? (n ? 1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 3、等差数列的前 n 和: Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) , Sn ? na1 ? d。 2 2

4、等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b 。 2

? 考点四

等差数列的性质

1、 当公差 d ? 0 时, 等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数, 且斜率为公差 d ; n 和 Sn ? na1 ? 前 常数项为 0. 2、若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 , 则为常数列。 3 、 当 m ? n ? p ? q , 则 有 am ? an ? a p ? aq , 特 别 地 , 当 m ? n ? 2 p 时 , 则 有 时

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且 2 2 2

am ? an ? 2a p .
4 、 若 {an } 、 {bn } 是 等 差 数 列 , 则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、

{a p ? nq }( p, q ? N * ) 、 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,?也成等差数列,而 {a an } 成等比数列;
若 {an } 是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数列. 5、在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, S偶- S奇 ? nd ;项数为奇数 2n ? 1 时,

S奇 ? S偶 ? a中 , S2 n ?1 ? (2n ? 1) ? a中 (这里 a中 即 an ) S奇 : S ;
6、若等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且



? )? k k 1 ( :



An ? f (n) ,则 Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

7、 “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差 数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 法一:由不等式组 ?an ? 0 ? 或 ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) ; ? ? ? ? ? ?
?an ?1 ? 0? ? a n ?1 ? 0 ?

法二:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意 数列的特殊性 n ? N * 。 8、如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新 等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项 数不一定相同,即研究 an ? bm .

? 考点五

等比数列的运算
an ?1 a a , ? q(q为常数) 其中 q ? 0, an ? 0 或 n ?1 ? n (n ? 2) 。 an an an ?1

1、 等比数列的判断方法: 定义法

2、等比数列的通项: an ? a1q n ?1 或 an ? am q n ? m 。 3、等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, S n ? na1 ;当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q 。 ? 1? q 1? q

4、等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。

? 考点六
1、 m ?n ? p ?q 当

等比数列的性质
时, 则有 a m a n ? a p ? a q , 特别地, m ? n ? 2 p 时, 当 则有 a m a n ? a p .
2

{ { {b 2、 {an } 是等比数列, {| an |} 、 a p ? nq }( p, q ? N ) 、 kan } 成等比数列; {an }、 n } 成 若 则 若
*

等比数列,则 {anbn } 、 {

an } 成等比数列; 若 {an } 是等比数列,且公比 q ? ?1 ,则数列 bn

Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,?也是等比数列。当 q ? ?1 ,且 n 为偶数时,数列 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,?是常数数列 0,它不是等比数列.
3 、 若 a1 ? 0 ,q ? 1, 则 {an } 为 递 增 数 列 ; 若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为 递 减 数 列 ; 若

a1 ? 0, 0 ? q ? 1 ,则 {an } 为递减数列;若 a1 ? 0, 0 ? q ? 1 , 则 {an } 为递增数列;若
q ? 0 ,则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列.
4、当 q ? 1 时, S n ?

? a1 n a q ? 1 ? aq n ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 ,这是等 1? q 1? q

比数列前 n 项和公式的一个特征,据此很容易根据 S n ,判断数列 {an } 是否为等比数列。 5、 Sm? n ? Sm ? q m Sn ? Sn ? q n Sm . 6 、 在 等 比 数 列 {an } 中 , 当 项 数 为 偶 数 2n 时 , S偶 ? qS ; 项 数 为 奇 数 2n ? 1 时 , 奇

S奇 ? a1 ? q S . 偶
7、如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数数列
{an } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

? 考点七

数列的综合应用

1、数列应用题常见模型: (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或 减少)的量就是公差; (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型, 这个固定的数就是公比; (3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化 时,应考虑 a n 与 a n ?1 的递推关系,还是 S n 与 S n ?1 之间的递推关系. 2、数列应用题的求解策略: (1)构造等差、等比数列的模型(有时也会是其他较特殊的数列). (2)运用相关概念、性质及求和公式进行运算. (3)通过“归纳——猜想——证明”的思路探索规律,并尝试应用规律解题. 3、等价转化和分类讨论的思想方法在求解中起重要作用,复杂的数列问题总是要通过转化 为等差、等比数列或常见的特殊数列问题来解决.

?

真题演练

1.【2010 北京,2,5 分】在等比数列 {a n } 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3 a4 a5 ,则 m ? (A)9 (B)10 (C)11 (D)12

? 举一反三
1.1【2010 福建,11,4 分】在等比数列{an}中,若公比 q=4,前 3 项的和等于 21,则该数列 的通项公式 an=.

1.2 【2012 安徽,4,5 分】公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则

log 2 a16 =(



( A) 4 ( B) 5 (C ) ? ( D) ?

1.3 【2012 浙江,13,4 分】 设公比为 q (q>0) 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。 S2=3a2+2, 若 S4=3a4+2,则 q=______________。

2. 【2008 北京,6,5 分】 已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ? N 满足 a p ? q ? a p ? aq , a2 ? ?6 , 且
*

那么 a10 等于( A. ?165

) B. ?33 C. ?30 D. ?21

? 举一反三
2.1 【2012 上海,18,5 分】 a n ? 设 正数的个数是( A.25 ) B.50 C.75 D.100

1 n? S , n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n , S1 , S 2 , ?, S01 中, 在 sin 0 n 25

2.2 【2012 课标全国,16,5 分】数列 {a n } 满足 an ?1 ? (?1) n an ? 2n ? 1 ,则 {a n } 的前 60 项 和为

2.3【2012 福建,14,4 分】数列{an}的通项公式 an=ncos _________ .

+1,前 n 项和为 Sn,则 S2012=

3.【2012 北京,10,5 分】已知 {an } 等差数列 S n 为其前 n 项和。若 a1 ?

1 , S2 ? a3 ,则 2

a2 =_______。

? 举一反三
3.1【2012 重庆,1,5 分】在等差数列 {a n } 中, a 2 ? 1 , a 4 ? 5 则 {a n } 的前 5 项和 S 5 = A.7 B.15 C.20 D.25

3.2【2012 浙江,7,5 分】设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和,则下 列命题错误的是 A.若 d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 n ? N * ,均有 Sn ? 0 D. 若对任意 n ? N * ,均有 Sn ? 0 ,则数列﹛Sn﹜是递增数列

3.3【2012 全国,5,5 分】 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,5=5,5=15, a S 则数列 ? 的前 100 项和为

?

? 1 ? ? a n ? a n ?1 ?

(A)

100 101

(B)

99 101

(C)

99 100

(D)

101 100

4.【2011 北京,11,5 分】在等比数列{an}中,a1=

1 ,a4=-4,则公比 q=______________; 2

a1 ? a2 ? ... ? an ? ____________。

? 举一反三
4.1 【2012 辽宁,14,5 分】 已知等比数列 an} { 为递增数列, a5 ? a10 , 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 , 且 2 则数列{an}的通项公式 an =______________。

4.2【2012 上海,6,4 分】有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、

1 为公比的等比数列,体 2

? ? 积分别记为 V1,V2, ,Vn, ,则 lim (V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ? 。
n ??

4.3 【2012 课标全国,5,5 分】 已知 ? an 为等比数列,a4 ? a7 ? 2 ,a5 a6 ? ?8 , a1 ? a ? 则 1 0 ()

?

( A) 7 ( B) 5 (C ) ?? ( D) ??

5.【2008 北京,14,5 分】某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如 下:第 k 棵树种植在点 Pk ( xk,yk ) 处,其中 x1 ? 1 , y1 ? 1 ,当 k ≥ 2 时,

? ? ? k ?1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? y ? y ? T ? k ? 1 ? ? T ? k ? 2 ?. k ?1 ? ? ? ? ? k ? 5 ? ? 5 ? ?
T (a ) 表示非负实数 a 的整数部分,例如 T (2.6) ? 2 , T (0.2) ? 0 .
按此方案,第 6 棵树种植点的坐标应为;第 2008 棵树种植点的坐标应为 .

? 举一反三

n ? ? 1 2 3 ??? n ? 2 n ? 1 ? ? n 1 ? ? 2 3 4 ??? n ? 1 5.1【2012 上海,10,4 分】在 n 行 n 列矩阵 ? 3 4 5 ??? n 1 2 ? 中, ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? n ? 3 n ? 2 n ? 1? ? ?
记位于第 i 行第 j 列的数为 aij (i, j ? 1, 2 ???, n) 。当 n ? 9 时, a11 ? a22 ? a33 ? ??? ? a99 ?

5.2【2012 湖北,7,5 分】定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比 数 列 {an } , { f (an )} 仍 是 等 比 数 列 , 则 称 f ( x) 为 “ 保 等 比 数 列 函 数 ”. 现 有 定 义 在
(??,0) ? (0, ??) 上的如下函数:

① f ( x) ? x 2 ;② f ( x) ? 2 x ;③ f ( x) ? | x | ;④ f ( x) ? ln | x | . 则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④

5.3 【 2012 四 川 ,12,5 分 】 设 函 数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是 公 差 为
2 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a5 ? (

? 的等差数列, 8



A、 0

B、

1 2 ? 16

C、 ? 2

1 8

D、

13 2 ? 16

6. 【2009 北京,14,5 分】 已知数列 {an } 满足:a4 n ?3 ? 1, a4 n ?1 ? 0, a2 n ? an , n ? N? , 则 a2009 ? ________; a2014 =_________.

? 举一反三
6.1【2012 江西,12,5 分】设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7 , a3 ? b3 ? 21 , 则 a5 ? b5 ? __________。

6.2 【2011 江西,5,5 分】已知数列{an}的前 n 项和 sn 满足:sn+sm=sn+m,且 a1=1,那么 a10= ( ) A. 1 B.9 C.10 D.55

6.3【2012 山东,20,12 分】在等差数列 ? an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 . (Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * ,将数列 ? an ? 中落入区间 (9 , 9
m 2m

) 内的项的个数记为 bm ,求数列

?bm ? 的前 m 项和 Sm .

? 7. 【2008 北京,20,5 分】 对于每项均是正整数的数列 A:a1,a2, ,an , 定义变换 T1 ,T1 将 n , , 数列 A 变换成数列 T1 ( A): ,a1 ? 1 a2 ? 1 ?,an ? 1 .对于每项均是非负整数的数列 B:b1,b2, ,bm , ? T 定义变换 T2 , 2 将数列 B 各项从大到小排列, 然后去掉所有为零的项,
2 2 得到数列 T2 ( B ) ;又定义 S ( B) ? 2(b1 ? 2b2 ? ? ? mbm ) ? b12 ? b2 ? ? ? bm .设 A0 是每项均

1, ? 为正整数的有穷数列,令 Ak ?1 ? T2 (T1 ( Ak ))(k ? 0,2, ) .
(Ⅰ)如果数列 A0 为 5,3,2,写出数列 A1,A2 ; (Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列 A ,证明 S (T1 ( A)) ? S ( A) ; (Ⅲ) 证明: 对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0 , 存在正整数 K , k ≥ K 时, 当

S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ) .

? 举一反三
7.1【2012 四川,16,4 分】记 [ x] 为不超过实数 x 的最大整数,例如, [2] ? 2 , [1.5] ? 1 ,

xn ? [
[?0.3] ? ?1。设 a 为正整数,数列 { xn } 满足 x1 ? a , xn ?1 ? [
列命题:

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有下

①当 a ? 5 时,数列 { xn } 的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列 { xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ; ③当 n ? 1时, xn ?

a ?1;

④对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ] 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号)

7.2【2010 湖南,15,5 分】若数列{an}满足:对任意的 n∈N ,只有有限个正整数 m 使得 am <n 成立,记这样的 m 的个数为(an) ,则得到一个新数列{(an) }.例如,若数列{an}是 1,2,3?,n,?,则数列{(an) }是 0,1,2,?,n-1?已知对任意的 n∈N ,an=n ,则 (a5) =
+ + + 2 + +



7.3【2012 湖南,19,12 分】已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+??+an,B(n) =a2+a3+??+an+1,C(n)=a3+a4+??+an+2,n=1,2,?? (1) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) B(n) C(n)组成等差数列,求 , , 数列{ an }的通项公式. (2) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N? ,三个 数 A(n) B(n) C(n)组成公比为 q 的等比数列. , ,

8. 2009 北京,20,5 分】 【 已知数集 A ? ?a1 , a2 ,? an ??1 ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2 ? 具有性质 P : 对任意的 i, j ?1 ? i ? j ? n ? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1, 2,3, 6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列..k.s.5.

? 举一反三

8.1【2011 山东,20,12 分】等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一 个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? ? ?1? ln an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .
n

, ? 8.2【2012 上海,23,18 分】 对于数集 X ? {?1 x1,x2, ,xn } , 其中 0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ,

n ? 2 ,定义向量集 Y ? {a | a ? ( s, t ), s ? X , t ? X } ,若对任意 a1 ? Y ,存在 a 2 ? Y ,使
得 a1 ? a 2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P .例如 {?1,1,2} 具有性质 P . (1)若 x ? 2 ,且 {?1,1,2, x} 具有性质 P ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 x n ? 1 时, x1 ? 1 ;

? (3)若 X 具有性质 P ,且 x1 ? 1 、 x2 ? q ( q 为常数) ,求有穷数列 x1,x 2, ,x n 的通
项公式.

9. 2011 北京,20,5 分】 【 若数列 An ? a1 , a2, ..., an (n ? 2) 满足 an ?1 ? a1 ? 1(k ? 1, 2,..., n ? 1) , 数列 An 为 E 数列,记 S ( An ) = a1 ? a2 ? ... ? an . (Ⅰ)写出一个满足 a1 ? as ? 0 ,且 S ( As ) 〉0 的 E 数列 An ; (Ⅱ)若 a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ)对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ? An ? =0?如果 存在,写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由。

? 举一反三

9.1【2011 江苏,20,16 分】设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {a n } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知对任意整数 k 属于 M,当 n>k 时, S n ? k ? S n ?k ? 2( S n ? S k ) 都成立。 (1)设 M={1} a 2 ? 2 ,求 a 5 的值; , (2)设 M={3,4} ,求数列 {a n } 的通项公式。

9.2【2012 全国,22,12 分】函数 f(x)=x ﹣2x﹣3,定义数列{ xn}如下:x1=2,xn+1 是过两点 P (4,5),Qn( xn,f( xn))的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标. (Ⅰ)证明:2≤xn<xn+1<3; (Ⅱ)求数列{ xn}的通项公式.

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微米世界里的秩序和斐波纳契数之美
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144??这个神秘的、包含了太多大自然秘 密的斐波纳契数列, 在诞生的 800 年里已经带给人们太多的痴迷。 它的追随者们或许不会想 到,在中科院物理研究所的一个实验室里,科学家们在微米(一微米等于一百万分之一米) 尺度上用无机材料生长出了迷人的斐波纳契数花样。 此前,人们对斐波纳契数列出现在许多植物中已是司空见惯。例如百合有 3 个花瓣,桃 花是 5 个, 这些都是斐波纳契数列中的数字。 一些植物的果实对这个数列也有“特殊偏好”: 向日葵种子的排列可同时看作是两组螺旋线, 如果沿顺时针旋转螺旋的数目是某个斐波纳契 数, 则沿逆时针旋转螺旋的数目一定是相邻的另一个斐波纳契数。 如果向日葵的种子排列用 这样的一对斐波纳契螺旋数表示的话,它可以是(21,34)(34,55)直至(89,144) , ;而 在最常见的菠萝表面,其鳞片的排列一般是(5,8)和(8,13)这样的两对斐波纳契螺旋 数。大自然就是这么地精确,这么地不可思议。 8 月 5 日出版的《科学》杂志发表了中国科学家的这一发现。文章的反响同样热烈,第 二天, 电子邮件便“塞”满了通讯作者曹则贤研究员的邮箱, 来自世界各地不同领域的“斐 迷”们期望能与作者进行更深入的交流。 “这个结果支持了学术界关于叶序学的一个大胆设想。”曹则贤研究员说。 对于生命中为何出现如此奇特的斐波纳契现象, 学术界至今争论不休。 代表性的有“效

率说”,即植物为了竞争有限空间,叶子要尽可能多地获取阳光以进行光合作用,花要尽可 能地展示自己来吸引昆虫传粉,一个花托上要结出尽可能多的种子以利物种的繁衍;也有 “基因说”,即认为是某种化学物质决定的遗传现象;还有来自纯美学方面的考虑,认为由 于数列中相邻两个数字相除可以得到黄金分割数,这是大自然对和谐之美的选择?? 1941 年,英国学生汤姆普森(W.Thompson)曾经在后来成为该领域经典著作的硕士论 文《生长与形状》中提出一种假说,认为有关生物体的许多生长与形状发生的现象,尽管花 样繁多,但在本质上必定只是数学问题和物理问题。 在李超荣研究员和他的同事们设计的实验中, 他们首先在高温条件下形成银为内核、 外 层为氧化硅的 10 微米大小的“液滴”。由于冷却在内外两种物质(银和氧化硅)中造成不 同程度的收缩,这个结构就会引起应力。当这个应力很大时,应力不再均匀分布,而会重新 分布,形成某种花样。在应力不均匀的表面上,来自蒸发源的物质也会出现不均匀的聚集, 这相当于对应力分布的花样做了“标记”。这样,通过观察壳层上生长的更小的(几百个纳 米大小,一纳米是十亿分之一米)颗粒,就能够得到应力分布花样的信息。 在扫描电镜下,他们观察到,在近似球面的大“液滴”上,这些纳米小颗粒以五边形和 六边形规则地排列, 如同自然界中的蒲公英和轮锋菊花托上的小花。 这个结果符合根据多面 体欧拉定理所作的预期,因为如果要铺满整个球面,五边形和六边形同时出现是必须的。 真正吸引《科学》杂志关注的是接下来的工作。在略显扁平的盘状“液滴”结构上,他 们发现那些纳米小颗粒形成了斐波纳契数花样。 用顺时针和逆时针螺旋数来标记, 他们观察 到了(5,8)(8,13)和(13,21)三组不同的斐波纳契数花样。 , “在整个过程中,应力是产生花样的惟一驱动因素。这个实验结果让我们马上想到,植物 中斐波纳契数花样的发生可能也是由于同样的原因: 即在一定形状的范围内如何让应力引起 的应变能最小(能量最小是物理学中的基本原理,最通俗的例子是水总是往低处流) 。”曹 则贤研究员说, “它恰恰验证了汤姆普森的设想——这只是一个物理的问题和数学的问题。 ” 尽管这个实验结果提供了利用应力操纵实现微纳米有序结构大面积自组装的技术, 但来自 不同领域的科学家们更多的是把目光盯在斐波纳契螺旋上。两位《科学》杂志的审稿人都惊 叹于实验结果中“惊人的美”。“在我 35 年研究细小颗粒及材料科学,包括高温过程及热 力学的生涯中,从未看到过如此迷人的结构。”一位审稿人说。 神秘的斐波纳契数列 意大利数学家列奥纳多·斐波纳契(1170-1240)在其惊世之作《算经》里提出了“兔 子问题”: 假定一对兔子每个月可以生一对兔子, 而这新的一对兔子在出生后第二个月就开

始生下另外一对兔子,这样一对兔子一年内能繁殖多少对兔子? 答案是一组非常特殊的数字:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233。不难 发现,从第三个数起,每个数都是前两数之和。把它延续下去,就得到了一个数列。人们为 了纪念这个发现,在这个数列前面增加了一个“1”,并称之为“斐波纳契数列”,其中的 每个数字就是“斐波纳契数”。 斐波纳契数列还暗含着许多有趣的数字规律, 如每隔两个必是 2 的倍数, 每隔 3 个必是 3 的倍数,每隔 4 个必是 5 的倍数??另外,这个数列最具有和谐之美的地方是,越往后, 相邻两项的比值会无限趋向于黄金比率 1.6180339887?? 斐波纳契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用,为此,美国数学 会从 1960 年代起出版了 《斐波纳契数列》 季刊, 专门刊载这方面的研究成果。 (来源: 数苑)


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