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重庆市南开中学2014届高三1月月考数学(文)试题


重庆南开中学高 2014 级高三 1 月月考 数学试题(文)
第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1、已知复数 z ? A、 ?1 ? i

2a ? i 在复平面内对应的点在一、三象限的角平分线上,则 z ? ( i 1 1 1 1 B、 ?1 ? i C、 ? ? i D、 ? ? i 2 2 2 2



2、设集合 A ? ? x y ?

? ? ? ?

? 1 ? 2 ? , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? B ? ( ln ? x ? 1? ? ?

?

?



A、 ? 0, 2 ?

B、 ? 0, 2 ?

C、 ? ?1, 2?

D、 ? ?1, 2?

3、搜集到两个相关变量 X , Y 的一组数据 ? xi , yi ?? i ? 1,? , n ? ,经回归分析之后得到回归直线方程中斜率的 估计值为 2,且

x1 ? x2 ? ? ? xn y ? y ? ? ? yn ? 4, 1 2 ? 5 ,则回归直线方程为( n n
y ? ?3 x ? 2 B、 ? y ? 2x ? 6 C、 ? y ? 2x ? 3 D、 ?



y ? 2x ? 3 A、 ?

4、如右图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形,且其体 积为

? ,则该几何体的俯视图可以是( 4



5、函数 y ? sin ? ? x ?

? ?

??

4? 个单位后与原图像重合, ? 的图像向右平移 4? 3
) C、

则正实数 ? 的最小值是( A、

2 3
3 2

B、

4 3
3 2

3 2

D、3 ) D、 3

6、右图为一程序框图,输出结果为( A、 ? B、 C、 ? 3

7、数列 ? an ? 的首项为 1, ?bn ? 为等比数列且 bn ?

an ?1 ,若 b3 ? 4, b6 ? 32 ,则 a5 ? ( an



A、16

B、32

C、64

D、128

8 、 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 为 偶 函 数 且 关 于 x ? 4 对 称 , 当 x ? ? ?4 , 0 ? 时, f

? x? ?

x? 2 , 则

f ? 0? ? f ? 1 ( ? ?? ? f? 9 ? ?
A、0
2 2

) C、2 D、3

B、1

9、已知圆 O : x ? y ? 4 ( O 为坐标原点) ,点 P ?1, 0 ? ,现向圆 O 内随机投一点 A ,则点 P 到直线 OA 的 距离小于 A、

1 的概率为( 2
B、



2 3

1 2

C、

1 3

D、

1 6

10、双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线分别为 l1 , l2 ,右焦点为 F ,若在右支上存在一点 P ,使得 P 到 l1 的距 a 2 b2


离 d1 、

3 PF 、 P 到 l 2 的距离 d 2 依次成等比数列,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( 2
? ?
B、 1, 2 ?

A、 ? 2, 2 ?

?

?

C、 1, 2

?

?

D、 ?1, 2 ?

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,考生答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答题卡相应位置上。 11 、已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 上 一点 P 到抛物线焦 点的最短距离 为 1 ,则 该抛物线的准线方 程
2





?y ?1 y ? 12、若实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1 ,则 z ? 的最小值为 x ?x ? y ? 4 ?
13、已知 a ? ?1, 2 ? , b ? ? 4, m ? ,且 a ? b ,则 b ? 2a ? 14 、 定 义 在 R 上 且 恒 为 正 的 函 数 f ? x ? 满 足 为 。
2 x? y



?

?

?

?

?

?


2? x ? ?1 , 若 f ? 2 ? ? 1 , 则 f ? x? ? e 的解集

f '? x? f ? x?

15、实数 x, y 满足 2

? 2x?2 y ? 4x ? 4 y ,则

1 1 ? y 的最大值是 x 4 4



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、 (本小题满分 13 分)已知数列 ? an ? 的首项为 (1)求数列 ? an ? 的通项公式 an ; (2)当 n ? 3 时,求数列 log 3 an

1 ,且 ?log 3 an ? 为公差是 1 的等差数列。 9

?

? 的前 n 项和 T

n



17、某学校进行体检,现得到所有男生的身高数据,从中随 机抽取 50 人进行统计(已知这 50 人身材均介于 155cm 到 ,现将抽取结果按如下方式分成八组:第一组 195cm 之间)

?155,160 ? ,第二组 ?160,165? , ? ,第八组 ?190,195? ,
并按此分组绘制如下图所示的频率分布直方图,其中,第六 组和第七组还没有绘制完成,已知第一组与第八组人数相 同,第六组的人数为 4 人。 (1)求第七组的频率; (2) 若从身高属于第一组和第六组的所有男生中随机抽取两名男生, 求两人身高差距不超过 5cm 的概率 P 。 18、已知 ?ABC 的三个内角分别是 A, B, C ,所对边分别为 a, b, c ,满足 BC ? AC ? 3 BA ? 0 。 (1)求

??? ? ????

?

??? ?

?

tan B 的值; tan C
?

(2)若 C ? 30 , a ? 3 ?1 ,求 ?ABC 的面积 S 。 19、如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,

PA ? AD ? 1 , PA ? 面ABCD , E 为线段 PC 上靠近 D 的
一个三等分点。 (1)证明: PC ? 面BDE ; (2)求三棱锥 P ? BED 的体积 V 。 20、今年双十一,淘宝网站一天的销售记录震惊全球,网购已经成为人们消费的主要形式之一。假设一淘 宝网店出售某商品,根据人们的咨询量预估成交额 y (千元)与售价 x (千元)之间满足关系

1 ? ? y ? ax 2 ? ln x ? 2 ? x ? ? 0,1? ? ? a ? ? ,而由于价格原因未能交易成功的成交额 m (千元)与售价 x (千 2e ? ?
元)之间满足关系 m ? x ,记实际成交额为 f ? x ? 。 (1)若发现该商品的实际成交额一直下降,求此时 a 的取值范围; (2)证明:只要实际成交额能出现上升趋势,则实际成交额一定不会小于 2(千元) 。 21、已知椭圆 M :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,左准线方程为 x ? ?4 。 2 a b 2

(1)求椭圆 M 的标准方程;

xx y y x2 y 2 (2)已知过椭圆 2 ? 2 ? 1 上一点 ? x0 , y0 ? 作椭圆的切线,切线方程为 02 ? 02 ? 1 。现过椭圆 M 的右 a b a b
焦点作斜率不为 0 的直线 l 于椭圆交于 A, B 两点,过 A, B 分别作椭圆的切线 l1 , l2 。 ①证明: l1 , l2 的交点 P 在一条定直线上; ②求 ?ABP 面积的最小值。


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