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2013届高考数学(理)一轮复习教案:第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的奇偶性与周期性(人教A版)


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2013 届高考数学(理)一轮复习教案:第二篇 函数与基本 初等函数Ⅰ 第3讲
【2013 年高考会这样考】 1.判断函数的奇偶性. 2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. 【复习指导】 本讲复习时应结合具体实例和函数的图象,理解函数的奇偶性、周期性的概念, 明确它们在研究函数中的作用和功能.

重点解决综合利用函数的性质解决有关问 题.

函数的奇偶性与周期性

基础梳理 1.奇、偶函数的概念 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函 数 f(x)就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区 间上的单调性相反. (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积都是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内

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的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个 函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这 个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.

一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 三种方法 判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则 y=f(x)的图 象关于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则:y =f(x)是以 2(b-a)为周期的周期函数. (3)若 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 其中一个周期为 T=2a; (3)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a -b|. 双基自测 ? 5? 1. (2011· 全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时, f(x)=2x(1-x), 则 f?-2? ? ? =( 1 A.-2 ). 1 B.-4 1 C.4 1 D.2 1 1 或 f(x+a)=- , 那么函数 f(x)是周期函数, f?x? f?x?

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1 ? 5? ?5? ?1? 解析 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数,所以 f?-2?=-f?2?=-f?2?=-2.故选 A. ? ? ? ? ? ? 答案 A 1 2.(2012· 福州一中月考)f(x)= x -x 的图象关于( A.y 轴对称 C.坐标原点对称 ).

B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称 1 ?1 ? -(-x)=-? x-x?= ? ? -x

解析 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又 f(-x)= -f(x),则 f(x)为奇函数,图象关于原点对称. 答案 C

3. (2011· 广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数, 则下列结论恒成 立的是( ). B.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

A.f(x)+|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数

解析 由题意知 f(x)与|g(x)|均为偶函数,A 项:偶+偶=偶;B 项:偶-偶=偶, B 错;C 项与 D 项:分别为偶+奇=偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选 A. 答案 A 4.(2011· 福建)对于函数 f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取 a,b, c 的一组值计算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( A.4 和 6 C.2 和 4 B.3 和 1 D.1 和 2 ).

解析 ∵f(1)=asin 1+b+c, f(-1)=-asin 1-b+c 且 c∈Z, ∴f(1)+f(-1)=2c 是偶数,只有 D 项中两数和为奇数,故不可能是 D. 答案 D 5.(2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析 法一 ∵f(-x)=f(x)对于 x∈R 恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对于 x∈R 恒成

立,两边平方整理得 ax=0 对于 x∈R 恒成立,故 a=0. 法二 由 f(-1)=f(1), 得|a-1|=|a+1|,得 a=0. 答案 0

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考向一 【例 1】?下列函数: ① f(x) = 1-x2 +

判断函数的奇偶性

x2-1 ;② f(x) = x3 - x ;③ f(x) = ln(x + x2+1) ;④ f(x) = ).

3x-3-x 1-x 2 ;⑤f(x)=lg1+x.其中奇函数的个数是( A.2 B.3 C.4 D.5

[审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断. 解析 ①f(x)= 1-x2+ x2-1的定义域为{-1,1},又 f(-x)=± f(x)=0, 则 f(x)= 1-x2+ x2-1是奇函数,也是偶函数; ②f(x)=x3-x 的定义域为 R, 又 f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 则 f(x)=x3-x 是奇函数; ③由 x+ x2+1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x2+1)的定义域为 R, 又 f(-x)=ln(-x+ ?-x?2+1)=ln -ln(x+ x2+1)=-f(x), 则 f(x)为奇函数; 3x-3-x ④f(x)= 2 的定义域为 R, 3-x-3x 3x-3-x 又 f(-x)= 2 =- 2 =-f(x), 则 f(x)为奇函数; ⑤由 1-x 1-x >0 得-1<x<1,f(x)=ln 的定义域为(-1,1), 1+x 1+x 1+x 1-x ?1-x?-1 ? =-ln =ln? =-f(x), 1-x 1+x ?1+x? 1 = x+ x2+1

又 f(-x)=ln

则 f(x)为奇函数. 答案 D 判断函数的奇偶性的一般方法是:(1)求函数的定义域;(2)证明 f(-x) =f(x)或 f(-x)=-f(x)成立;或者通过举反例证明以上两式不成立.如果二者皆

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未做到是不能下任何结论的,切忌主观臆断. 【训练 1】 判断下列函数的奇偶性: 4-x2 (1)f(x)= ; |x+3|-3 (2)f(x)=x2-|x-a|+2.
2 ?4-x ≥0, ? 解 (1)解不等式组 ?|x+3|-3≠0,

得-2≤x<0,或 0<x≤2, 因此函数 f(x)的定义域是[-2,0)∪(0,2], 则 f(x)= 4-x2 x .

4-?-x?2 4-x2 f(-x)= =- x =-f(x), -x 所以 f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是(-∞,+∞). 当 a=0 时,f(x)=x2-|x|+2, f(-x)=x2-|-x|+2=x2-|x|+2=f(x). 因此 f(x)是偶函数; 当 a≠0 时,f(a)=a2+2, f(-a)=a2-|2a|+2, f(-a)≠f(a),且 f(-a)≠-f(a). 因此 f(x)既不是偶函数也不是奇函数. 考向二 函数奇偶性的应用

1? ? 1 【例 2】?已知 f(x)=x?2x-1+2?(x≠0). ? ? (1)判断 f(x)的奇偶性;(2)证明:f(x)>0. [审题视点] (1)用定义判断或用特值法否定;(2)由奇偶性知只须求对称区间上的 函数值大于 0. (1)解 法一 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)

1? x 2x+1 ? 1 + ∵f(x)=x?2x-1 2?=2·x . 2 -1 ? ?

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-x 2-x+1 x 2x+1 ∴f(-x)= 2 ·-x = · =f(x). 2 -1 2 2x-1 故 f(x)是偶函数. 法二 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), 3 3 ∵f(1)=2,f(-1)=2,∴f(x)不是奇函数. 1? ? 1 1? ? 1 ∵f(x)-f(-x)=x?2x-1+2?+x?2-x-1+2? ? ? ? ?
x 2x ? ? 1 ? ?1-2 +1?=x(-1+1)=0, =x?2x-1+1-2x+1?=x? x ? ? ?2 -1 ?

∴f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)证明 当 x>0 时,2x>1,2x-1>0,

1? ? 1 所以 f(x)=x?2x-1+2?>0. ? ? 当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)>0,又 f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x),所以 f(x)>0. 综上,均有 f(x)>0. 根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对 称区间上的单调性相同; 偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶性 的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单调性即可. 【训练 2】 已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足: f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的取值范围. 解 ∵f(x)的定义域为[-2,2], ?-2≤1-m≤2, ∴有? 2 ?-2≤1-m ≤2, 解得-1≤m≤ 3.① 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1, 即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1.

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考向三 函数的奇偶性与周期性

【例 3】?已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于 x=1 对称, 当 x∈[0,1]时,f(x)=2x-1, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值. [审题视点] (1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)为周期函数; (2)由 f(x)在[0,1]上的解析式及 f(x)图象关于 x=1 对称求得 f(x)在[1,2]上的解析式; (3)由周期性求和的值. (1)证明 函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),函数 f(x)的图象关于 x=1 对称,

则 f(2+x)=f(-x)=-f(x), 所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以 f(x) 是以 4 为周期的周期函数. (2)解 当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],

又 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2]. (3)解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,

f(3)=f(-1)=-f(1)=-1 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013) =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 判断函数的周期只需证明 f(x+ T)= f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函 数,且周期为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重 点问题. 【训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),则 f(2 013)+f(2 015)的值为( A.-1 B.1 C.0 D.无法计算 ).

解析 由题意,得 g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, g(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴g(-x)=-g(x), f(-x)=f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4),

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∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2 013)+f(2 015)=0. 答案 C

规范解答 3——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题 【问题研究】 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质,它们之间既 有区别又有联系,高考作为考查学生综合能力的选拔性考试,在命题时,常常将 它们综合在一起命制试题. 【解决方案】 根据奇偶性的定义知,函数的奇偶性主要体现为 f?-x?与 f?x?的相 等或相反关系,而根据周期函数的定义知,函数的周期性主要体现为 f?x+T?与 f?x?的关系,它们都与 f?x?有关,因此,在一些题目中,函数的周期性常常通过函 数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的 是函数值随自变量变化而变化的规律,因此,在解题时,往往需借助函数的奇偶 性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调 性来解决相关问题. 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 沈阳模拟)设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x +2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间. 第(1)问先求函数 f(x)的周期,再求 f(π); 第(2)问,推断函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,再结合周期画出图象,由 图象易求面积; 第(3)问,由图象观察写出. [解答示范] (1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,(2 分)

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∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π) =-(4-π)=π-4.(4 分) (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x).

故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.(6 分) 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所 示.(8 分) 当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 ?1 ? S=4S△OAB=4×?2×2×1?=4.(10 分) ? ? (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z), 单调递减区间[4k+1,4k+3](k ∈Z).(12 分) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周 期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. 【试一试】 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2] 上是增函数,则( ). B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25) [尝试解答]

由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知, f(x)在[-2,2]

上递增, 又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x), 故函数 f(x)以 8 为周期, f(- 25)=f(-1), f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1), f(80)=f(0), 故 f(-25)<f(80)<f(11). 故 选 D. 答案 D


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