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指数运算、指数函数


高中数学必修 1 复习要点

§ 1.4 指数运算、指数函数
【复习要点】 1.指数、对数的概念、运算法则; 2.指数函数的概念, 性质和图象. 【知识整理】 1.指数的概念;运算法则: a ? a ? a
m n m?n

, (a ) ? a
m n

mn

, ( ab ) ? a b
n n

n

m

a

n

?

n

a

m

( a ? 0 , m , n ? N , n ? 1) a
*

?

m n

?

1
m

?
n

1 a
m

( a ? 0 , m , n ? N , n ? 1)
*

a

n

2.指数函数的概念, 性质和图象如表: 图象特征
a ?1 0? a ?1 a ?1

函数性质
0? a ?1

向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1)

函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+
a
0

?1

自左向右看, 自左向右看, 增函数 减函数 图象逐渐上升 图象逐渐下降 在第一象限内的图 在第一象限内的图 x x x ? 0, a ? 1 x ? 0, a ? 1 象纵坐标都大于 1 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 在第二象限内的图 x x x ? 0, a ? 1 x ? 0, a ? 1 象纵坐标都小于 1 象纵坐标都大于 1 3.比较大小是幂、指、对数函数中的常见题型,要熟悉解答这类问题的常用方法与基本技巧。其 中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。 4.会求函数 y=af(x)的单调区间。 5.含参数的指数函数问题,是函数中的难点,应初步熟悉简单的分类讨论。 【基础训练】
3

1.化简[ 3 ( ? 5) ] 4 的结果为
2

( C.- 5 D.-5 ( C. ? 2
? 1 2
5



A.5

B. 5

2.将 3 ? 2 2 化为分数指数幂的形式为
1 1



A. ? 2 2

B. ? 2 3

D. ? 2 6

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3.下列等式一定成立的是
1 3


1 1 1 1



A. a 3 ? a 2 =a

?

1 2

B. a

? a 2 =0

C.(a3)2=a9
4

D. a 2 ? a 3 ? a 6 ( )

4.下列命题中,正确命题的个数为
n ① a =a ②若 a∈R,则(a2-a+1)0=1 ③ 3 x ? y ? x 3 ? y ④ 3 ? 5 ? n
4 3

6

(? 5)

2

A.0 5.化简 ? 1 ? 2
? ?
? 1 32

B.1

C.2

D.3 ( )

1 1 1 1 ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? 1 ? 2 1 6 ? ? 1 ? 2 8 ? ? 1 ? 2 4 ? ? 1 ? 2 2 ? ,结果是 ?? ?? ? ?? ?? ??

1 ? ? 1? 32 A. ? 1 ? 2 ? 2? ?

?1

1 ? ? ? 32 B. ? 1 ? 2 ? ? ?

?1

C.1 ? 2

?

1 32

1 ? ? 1? 32 D. ? 1 ? 2 ? 2? ?

? 6. ? ?

3 6

? ? a ? ? ? ?
9

4

6 3

? a ? 等 于 ?
9

4





A. a

16

B. a

8

C. a

4

D. a

2

【例题选讲】 1.设 y 1 ? a
2x

, y2 ? a

x ?3

2

,其中 a>0,a≠1,问 x 为何值时有 (2)y1<y2?

(1)y1=y2 ?

2.比较下列各组数的大小,并说明理由
3 3 2

(1)1 . 1 4 ,1 . 4 4 ,1 . 1 3

(2) 0 . 16

?

3 4

, 0 .5

?

3 2

3

3 2 2

3

, 6 . 25 8

(3) ( a ? 1) 5 , ( a ? 1) 4

3.已知函数 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 的值域为[7,43],试确定 x 的取值范围.
x x

4.设 0 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式 a

2 x ?3 x? 2

2

?a

2 x ? 2 x?3

2

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5.已知 x ? ? ? 3, 2 ? ,求 f ( x ) ?

1 4
x

?

1 2
x

? 1 的最小值与最大值

6.设 a ? R , f ( x ) ?

a ?2 ? a ? 2
x

2 ?1
x

( x ? R ) ,试确定 a 的值,使 f ( x ) 为奇函数

【反馈练习】 1.已知函数 f ( x ) ? | 2 ? 1 | ,当 a ? b ? c 时,有 f ( a ) ? f ( c ) ? f ( b ) ,则有
x


a c



A.

2

a

? 2

c

B.

2

a

? 2

b

C.

2

?a

? 2

c

D 2 ?2 ?2 . ( )

2.若函数 f ( x ) ? ?
?

? f ( x ? 2 ), ( x ? 2 ) 2
?x

, ( x ? 2)

, ,则 f ( ? 3 ) 的值为

A. 2

B. 8

C.

1 8

D.

1 2

3.函数 y ? A. ( ?? , ? 1)

1 2 ?1
x

的值域是 B. ( ?? , ? 1) ? ( 0 . ? ? ) C. ( ? 1, ?? )



).

D. ( ?? , 0 ) ? ( 0 , ?? ) ).

4.设 f ( x ) ? x ? bx ? c 满足 f ( 0 ) ? 3 ,且对任意 x ? R ,都有 f ( x ) ? f ( 2 ? x ) ,则(
2

A. f ( b ) ? f ( c )
x x

B. f ( b ) ? f ( c )
x x

C. f ( b ) ? f ( c ) D. f ( b ) 与 f ( c ) 不可能比较
x x x x
2 2

a b 5.已知 a ? b , ab ? 0 ,下列不等式(1) a ? b ;(2) 2 ? 2 ;(3)

1 a

?

1 b

1

1

;(4) a 3 ? b 3 ;

?1? ?1? (5) ? ? ? ? ? 中恒成立的有 ?3? ?3?

a

b

( C.3 个
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A.1 个

B.2 个

D.4 个

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6.函数 y ? A.奇函数

2 ?1
x

2 ?1
x

是 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数





7. F ( x ) ? ? 1 ? ?
?

? ? ? f ( x )( x ? 0 ) 2 ?1? 2
x

是偶函数,且 f ( x ) 不恒等于零,则 f ( x ) 是

(

)

A.奇函数 B.既奇又偶函数 C.偶函数 D.非奇非偶函数 8.一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b%,则 n 年后这批设备的价值 为 ( ) n n A.na(1-b%) B. a(1-nb%) C. a[1-(b%) ] D.a(1-b%) 9.函数 y ? ( )
5
x ( ) ? 3, ( x ? 0 ) 10.设函数 f ( x ) ? ? 2 ,若 f ( a ) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是________________. ? 1

4

| x ? 1|

的单调减区间是________,值域为________.

? 1 ? ?

x 2 , ( x ? 0)

11.函数 y ? ( )
3


1

? 2 x ? 8 x ?1

2

( ?3 ? x ? 1) 的值域是

12.若 f(52x 1)=x-2,则 f(125)= 13.求函数 y ? 3
?x ?x
2

的单调区间和值域.

14. 已知函数 f ( x ) ? 是 R 上的增函数。

a ?1
x

a ?1
x

( a ? 1) ,(1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f ( x )

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