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高一数学必修4三角函数知识点及典型练习


第一、任意角的三角函数
一:角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角),正确理解角, 与角 终边相同的角的集合

?? | ? ? 2k? ? ? , k ? z ?
1 2 1 2



弧度制,弧度与角度的换算,

弧长 l

?

? r 、扇形面积 s ? lr ? ? r 2 ,

二:任意角的三角函数定义:任意角 ? 的终边上任意取一点 p 的坐标是(x,y),它与原点的距 y x y 离是 r ? x 2 ? y 2 (r>0),那么角 ? 的正弦 sin a ? 、余弦 cos a ? 、正切 tan a ? ,它们都是以角 r r x 为自变量,以比值为函数值的函数。 三角函数值在各象限的符号: 三:同角三角函数的关系式与诱导公式:
2

1. 平方关系: sin

? ? cos2 ? ? 1

2. 商数关系:

sin ? ? tan ? cos ?

3.诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。

正弦 余弦 正切

? ?sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? 4. 两角和与差公式 : ?cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 tan ? tan ? ? ?

? ?sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 2 2 2 5.二倍角公式: ?cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ? ? 2 tan ? ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ? ?
余弦二倍角公式变形:

2cos2 ? ? 1 ? cos 2? ,

2sin2 ? ? 1 ? cos 2?

三角函数图象和性质
基础知识:1、三角函数图像和性质
y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
y
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

解析式 定义域

y=sinx

y=cosx

y ? tan x

y?


y?
, 当

x? x?
T ? 2?
奇函数

x? x?
T ? 2?
偶函数



值域 和最 值

y取最小值- 1
当 ,

y取最小值- 1
当 ,

y?
无最值

y取最大值1
周期性 奇偶性

y取最大值1
T ??
奇函数 在 ? k? ?

k ?Z 在 2k? ? ? , 2k? ? ? 2 2
单调性 上是增函数
? k ?Z 在 2k? ? ? , 2k? ? 32 2

?

?

2k? ? k ? Z 上 是 增 在 ?2k? ? ?,
函数

? ?

?
2

, k? ?

??

? k ?Z 2?

?

?



?2k?, 2k? ? ? ? k ? Z 上是减
?? 2 ,0) k ? Z

上为增函数

上是减函数 对称中心 (k? ,0) 对称性 对称轴方程

函数

k ?Z


对称中心 (k?

对称中心 (k? ,0) 或者 对称中心 (k?

k ?Z

x ? k? ? ? 2

对称轴方程 x ? k? , k ? Z

k ?Z

?? 2 ,0) k ? Z

2、熟练求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的值域,最值,周期,单调区间,对称轴、对称中心等 ,会用五

点法作 y ? A sin(? x ? ? ) 简图:五点分别为: 、 、 、 、 。

3、图象的基本变换:相位变换: y ? sin x ? y ? sin( x ? ? ) 周期变换: y ? sin( x ? ? ) ? y ? sin(? x ? ? ) 振幅变换: y ? sin(? x ? ? ) ? y ? A sin(? x ? ? )

4、求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的解析式:即求 A 由最值确定,ω 有周期确定,φ 有特殊点确定。 5、三角函数最值类型: (1)y=asinx+bcosx 型函数最值的求法:常转化为 y=

a2 ? b2 sin(x+ ? )

(2)y=asin2x+bsinx+c 型:常通过换元法(令 sinx=t, t ? ? ?1,1? )转化为 y=at2+bt+c 型: (3) 同一问题中出现 sin x ? cos x,sin x ? cos x,sin x ? cos x , 求它们的范围时, 一般是令 sin x ? cos x ? t 或 sin x ? cos x ? t ? sin x ? cos x ? 三、三角形知识: (1) ?ABC 中, a, b, c 分别为 A, B, C 的对边, A ? B ? C ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C 。 (2)在 ?ABC 中,A+B+C=180°。 基础练习: 1、 tan(?600 ) ?
2、 ? .
sin 225? ?

t 2 ?1 t 2 ?1 sin x ? cos x ? ? 或 ,转化为关于 t 的二次函数来解决 2 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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的终边与 的终边关于直线 y ? x 对称,则 ? =_____。 cm2.

? 6

3、已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该圆心角是 1 弧度,则扇形的面积=
4、设

a<0,角 α 的终边经过点 P(-3a,4a),那么 sinα+2cosα 的值等于 __

5、函数 y ? 2cos x ?1 的定义域是_____
6、 .化简 1 ? sin 150? 的结果是
2

。 。

7、已知 cos ? ?

12 3? ? , ? ? ( ,2? ) ,则 cos (? ? ) ? 13 2 4

8、若均 ? , ? 为锐角, sin? ? 9、化简 (cos

2 5 3 , sin (? ? ? ) ? , 则cos? ? 5 5



)? 12 12 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? cos sin 10、 根据 sin ? ? sin ? ? 2sin 及 cos ? ? cos ? ? ?2sin ,若 2 2 2 2 12 12 )(cos

?

? sin

?

?

? sin

?

sin ? ? sin ? ?

3 (cos ? ? cos? ), 且? ? (0, ? ), ? ? (0, ? ) ,计算 ? 3

? ? ? ____ .


11、集合{ ? | kπ ?
y
o

π π ? ? ? kπ ? , k ? Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( 4 2 y y y
x
o

x

o

x

o

x

(C) (D) ? 12、函数 y ? 3 sin 2 x 的图象可以看成是将函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象-------------( ) 3 ? ? ? ? (A)向左平移个 单位 (B)向右平移个 单位(C)向左平移个 单位 (D)向右平移个 单位 6 6 3 3
13、已知 sin ? ? 0, tan? ? 0 ,那么 ? 是 。

(A)

(B)

14.已知点 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在

15.若 cos ? ? 0, tan ? ? 0 ,化简
16.已知 ? 是第二象限角,那么 A.第一象限角 17.已知 sin

1 ?1 = cos 2 ?




? 是 ( 2

B. 第二象限角

C. 第二或第四象限角

D.第一或第三象限角 )

? 3 ? 4 ? , cos ? ? ,则角 ? 终边所在象限是--------------------------------( 2 5 2 5

(A) 第三象限 (B)第四象限 (C)第三或第四象限 (D)以上都不对 18.已知 ? 是锐角,则下列各式成立的是------------------------------------------------------( (A) sin ? ? cos ? ?



1 4 5 (B) sin ? ? cos ? ? 1 (C) sin ? ? cos ? ? (D) sin ? ? cos ? ? 2 3 3 ? 19.右图是函数 y ? 2 sin( ?x ? ?)(| ? |? ) 的图象,那么-------------------( ) 2 10 ? 10 ? y ,? ? ,? ? ? (A) ? ? (B) ? ? 11 6 11 6 11? 1 ? ? 12 (C) ? ? 2, ? ? (D) ? ? 2, ? ? ? 6 6 o
x

20 、 已 知 f ( x) 是 奇 函 数 , 且 x ? 0 时 , f ( x) ? c o s x?sin 2 x , 则 当 x ? 0 时 , f ( x) 的 表 达 式 是 ------------------------------------------------------------------------------------------------------( ) (A) cos x ? sin 2 x (B) ? cos x ? sin 2 x (C) cos x ? sin 2 x (D) ? cos x ? sin 2 x 21、已知 f (tanx) ? sin 2x ,则 f (?1) 的值是 。

22.已知 f (cos x) ? cos 3x ,则 f (sin x) 等于( (A) sin 3 x



(B) cos 3 x (C) ? sin 3x (D) ? cos 3x 1 ? 1 ? 23、已知 tan( ? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? ) 的值为 2 4 3 4 ? 24、下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? 对称的是( ) 3 ? ? ? x ? A. y ? sin(2 x ? ) B. y ? sin(2 x ? ) C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? sin( ? ) 3 6 6 2 3
25、函数 y ? sin x ? cos x 的最大值为 26、函数 y ? 3 sin x ? cos x , x ? [ ?

? ?

27、下列函数中,周期为 ? 的偶函数是( A. y ? cos x B. y ? sin 2 x

, ] 的最大值为 2 2
) C. y ? tan x ( ) B.是偶函数但不是奇函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 D. y ? sin(2 x ?

?
2

)

28、 已知函数 f ( x) ? x sin x ,则 f ( x) A.是奇函数但不是偶函数 C.是奇函数也是偶函数 29、函数 y ? 1 ? 2sin ( x ?
2

?
4

) 是(

) B. 最小正周期为 ? 的奇函数 D. 最小正周期为

? 的偶函数 2 30、函数 y=cos2x –3cosx+2 的最小值是
C. 最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的偶函数

? 的奇函数 2 。

31、 、若方程 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? k ? 1有解,则 k 的取值范围是 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 第一类型:1、已知角 ? 终边上一点 P(-4,3) ,求 的值 11? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2

?

2、求证:

sin( 2? ? ? ) sin ? ? 2 cos( ? ? ? ) ? sin ? sin ?

3、已知 sin ?

1 ? ,? 是第二象限角,求cos? ? tan? 的值。 3

4、已知 0 ? x ?

?

?? ? 5 , sin? ? x? ? , 求 ?4 ? 13 4

cos 2 x 的值. ?? ? cos? ? x? ?4 ?

5、已知 tan?

? ?2, 求sin? +cos? 的值。

6、已知 tan(

?
4

??) ? 2 .求

sin ? ? cos ? 1 和 的值。 2 sin ? ? cos ? sin ? -cos2 ?

tan ? 是方程 x 2 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且 ?、? ? (? 7、已知 tan?、

? ?

, ) ,求 ? ? ? 的值 2 2

8、已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? =

1 10

,cos ? =

1 5

,求 ? ? ? 的值.

9、△ABC 中,已知 cosA ?

3 5 , sinB ? , 求sinC 的值 5 13

第二类型: 1. 已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin(

?
2

? x) .

(Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ )求 f ( x ) 在区间 [

? 2?
6 , 3

] 上的最大值和最小值.

2. 已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2sin x cos x ?1 . (Ⅰ )求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ )求函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 上的最大值与最小值.

3、设函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x . (Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ )当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值.

2 2 4. 已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? 2sin x cos x .

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ )当 x ? ? ?

? ? ?? 时,求函数 f ( x ) 的最大值,并写出 x 相应的取值. , ? 4 4? ?

5、已知函数 f ( x) ? 2a sin

x x x x cos ? sin 2 ? cos 2 (a ? R ). 2 2 2 2

(I)当 a=1 时,求函数 f ( x) 的最小正周期及图象的对称轴方程式; (II)当 a=2 时,在 f ( x) ? 0 的条件下,求

cos 2 x 的值. 1 ? sin 2 x

第三类型:1、如下图为函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? c( A ? 0, ? ? 0, ? ? 0) 图像的一部分 (1)求此函数的周期及最大值和最小值 (2)求与这个函数图像关于直线 x ? 2 对称的函数解析式

2、已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

),其部分图象如图所示.

(I)求 f ? x ? 的解析式;(II)求函数 g ( x ) ? f ( x ?

?
4

) ? f (x ?

?

? ?? ) 在区间 ?0, ? 上的最大值及相应的 x 值. 4 ? 2?

第四类型:1. 已知向量 a ? (cos ? ,1) , b ? (?2,sin ? ) , ? ? (? , (Ⅰ )求 sin ? 的值; (Ⅱ )求 tan(? ?

?
4

3? ) ,且 a ? b . 2

) 的值.

2 已知向量 a ? (sin x, cos x) , b ? (cos x,sin x ? 2cos x) , 0 ? x ?

?
2

.

(Ⅰ )若 a ∥ b ,求 x ; (Ⅱ )设 f ( x) ? a ? b , (1)求 f ( x ) 的单调增区间; (2)函数 f ( x ) 经过怎样的平移才 能使所得的图象对应的函数成为奇函数?


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