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两角和与差的余弦公式市级公开课


两角和的余弦

一、 新课引入
问题1:

cos75°=cos( 45° +30°)

cos45° + cos15°=? =cos75 ° =cos30 ? °?

cos15°=cos(45°- 30°) = cos45°- cos30° ?
问题2:

>cos(α-β) = cos(α+β) =

? ?

探究:如何用任意角α,β的正弦、
余弦值表示
? cos(? ? ?) 思考1:设α ,β 为两个任意角, 你能判断 cos(α -β )=cosα -cosβ 恒成立吗?

例:cos(30°-30°)≠cos30°-cos30°
因此,对角α,β cos(α-β)=cosα-cosβ 一般不成立.

〖探究1〗 cos(α-β)公式的结构形式应该与哪些量有关系 ?

? ? ? ? , 令 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? sin ? 则 2 2

令 ? ? ? , 则 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? cos ?

? ? 令 ? ? , 则 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? sin ? 2 2 令 ? ? ? , 则 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? cos?
发现: cos(α-β)公式的结构形式

应该与sinα ,cosα ,sinβ ,cosβ均有关系

思考2:我们知道cos(α -β )的值与α ,β 的三角函数值有一定关系,观察下表中的数 据,你有什么发现?
cos(60° - 30°)

cos60° cos30° sin60° sin30°
1

1 3 3 3 2 2 2 2 2 cos(120° cos120° cos60° sin120° sin60° - 60°) 1 2

1 ? 2

1 2

3 2

3 2

从表中,可以发现:
cos(60° - 30°)=cos60°cos30°+sin 60°sin30° cos(120° - 60°) =cos120°cos60°+sin 120°sin60°

现在,我们猜想,对任意角α

,β 有:

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

〖探究2〗 借助三角函数线来推导cos(α -β )公式

1

y

P1
A

?

sin

?

OM= cos(α-β) OB=cosαcosβ BM=sinαsinβ
P 又 OM=OB+BM

cos ?

C

?

?

cos ?? ? ? ? ? ? ? sin ? sin ?
M 1

O

B

x

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

cos ? cos ?

+

〖探究3〗 两角差的余弦公式有哪些结构特征?

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
上述公式称为差角的余弦公式,记作 C(? ?? )

注意:1.公式的结构特点:等号的左边是复角α-β的
余弦值,等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘 积的和。 简记“余余正正号相反”
2.公式中的α ,β 是任意角,公式的应用要讲究一个 “活”字,即正用、逆用、变形用,还要创造条件应用 ? ?? ? ?? ? 公式,如构造角β =(α +β )-α ,β = 等. 2 2

〖公式应用〗

引例:求cos15°的值.
分析:将150可以看成450-300而450和300均为特殊角,

借助它们即可求出150的余弦.

cos150 =cos(450- 300)
=cos450cos300 + sin450sin300

=
=

×

+

×

应用

? 例1: 已知sinα= ,?),cosβ= 2 第三象限角,求cos(α-β)的值。
4 ,α∈( 5

5 , β是 13

小结:要求cos(α-β)应先求出α,β的正余弦, 4 ? 解:由sinα= 5 , α∈( ,? 2),得
3 ?4? cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5?
2 2

分析:由Cα-β和本题的条件,要计算cos(α-β),还应求什么?

所以cos(α-β)= cosβcosα+sinβsinα

12 ? 5 ? sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 13 13 ? ?

5 又由cosβ= 13 ,β是第三象限的角,得

33 ? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? ? ?? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?

应用

公式的逆用

cos(α -β ) ? cosα cosβ + sinα-sin cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α β) β
1 ? 0 0 0 0 练习: 2 1. cos175 cos55 ? sin 175 sin 55 ?

2. cos(? ? 210 ) cos(? ? 240 ) ? sin(? ? 210 ) sin(? ? 240 ) ?

2 2

〖探究4〗 两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式?

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
? ,得到 cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
用? ? 替换 上述公式称为和角的余弦公式,记作 C? ? ?

注意:1.公式的结构特点:等号的左边是复角α+β的
余弦值,等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘 积的差。 简记“余余正正号相反”

2.公式中的α ,β 是任意角。

应用

附条件的求值问题 1 例2: 已知cos α +cos β2= ,sin 1 ? β = α -sin ,求cos(α +β )的值.
3

解:有已知得,
13 ?cos? ? cos ? ? ? ?sin ? - sin ? ? ? 36 13 2 ? 2?cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ? 36 11 ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ? 72 11 ? cos?? ? ? ? ? ? 72
2 2

练习
1、化简 sin(x+y)sin(x-y)-cos(x+y)cos(x -y)的结果是 ( ) C (A) sin 2x (B)cos 2y (C)-cos 2x (D)-cos 2y

3 ? 3? ? ?? ? sin ? ? ? , ? ? ? ,2? ?, 则cos? ? ? ?的值 2、 5 ? 2 ? ?4 ? 为( A )
2 A. 10 2 B. ? 10 7 2 C. 10 7 2 D. ? 10


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