kl800.com省心范文网

2014·高三复习数学(理)2第7章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系


第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

第七章

第3讲

第1页

不同寻常的一本书,不可不读哟!

第七章

第3讲

第2页

1.理解空间直线、平面位置关系的定义.
2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的 位置关系的简单命题.

第七章

第3讲

第3页

1点必须注意

“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一
个平面,因此异面直线既不相交,也不平行. 2种必会方法 异面直线的判定方法: (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内

不经过该点的直线是异面直线.
(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能 共面,从而可得两线异面.
第七章 第3讲
第4页

3个必知作用 1. 公理1的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③ 由直线在平面内判断直线上的点在平面内.

2. 公理2的作用:公理2及其推论给出了确定一个平面或判
断“直线共面”的方法. 3. 公理3的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的 交线;③证明多点共线.

第七章

第3讲

第5页

课前自主导学

第七章

第3讲

第6页

1.平面的基本性质
图形 文字语言 如果一条直线 上 的 ________ 公理 1 在一个平面内, 那么这条直线 在此平面内. A∈l ? ? B∈l ? ??l?α A∈α? B∈α? ? 符号语言

第七章

第3讲

第7页

图形 公理 2

文字语言

符号语言

A,B,C三点不 共线?有且只有 过不在 ___________,有 一个平面α,使 且只有一个平面. A∈α,B∈α, C∈α. 如果两个不重合 的平面有一个公 共点,那么它们 ________过该点 的公共直线. 若P∈α且 P∈β,则α∩β =a,且P∈a.

公理 3

第七章

第3讲

第8页

有以下命题: ①若平面α与平面β相交,则它们只有有限个公共点;②经 过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;③经过

两条相交直线有且只有一个平面;④两两相交的三条直线确定
一个平面;⑤空间中不同的三点确定一个平面;⑥梯形一定是 平面图形 其中真命题的是________

第七章

第3讲

第9页

2.空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类
直线:同一平面内,有且只有 公共点; ?共面? ? ? 直线:同一平面内, 公共点; ?直线? ?异面直线:不同在 一个平面内, 公共点. ?

(2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相________.

第七章

第3讲

第10页

(3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 ________. (4)异面直线所成的角(或夹角)

①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作
直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的________叫做异面直线a与b 所成的角. ②范围:________.

第七章

第3讲

第11页

(1)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ________. ①l 1 ⊥l 2 ,l 2 ⊥l 3 ?l 1 ∥l 3 l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面 ②l 1 ⊥l 2 ,l 2 ∥l 3 ?l 1 ⊥l 3 ③ ⑤ ④l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面

l1∥l2,l1与l3异面?l2与l3异面.
(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是 AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 ________.
第七章 第3讲
第12页

3.空间直线、平面的位置关系 图形语言 相交 直 线 与 平 面 符号语言 a∩α=A 公共点 ____个

平行 在平 面内

a∥α

____个

a?α

____个

第七章

第3讲

第13页

图形语言 平 面 与 平 面 平 行 相 交

符号语言 α∥β

公共点 ____个

α∩β=l

____个

第七章

第3讲

第14页

判断下列七个命题是否正确 ①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平

行.( )
②两条直线不异面,则这两条直线相交.( ) ③分别在两个平面内的直线是异面直线.( )

④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条
直线和这个平面平行.( ) ⑤不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线.( )

⑥互相垂直的两条直线是相交直线.( )
⑦没有公共点的两条直线平行.( )
第七章 第3讲
第15页

1.两点 2.相交 等或互补

同一条直线上的三点 一个 平行 没有 π (0,2]

有且只有一条 任何 没有 平行 相

填一填:②③⑥

锐角(或直角)

填一填:(1)② (2)60° 提示:易知 EF∥BD,BD∥B1D1,∴EF∥B1D1, ∠CB1D1 即为所求. 3.1 0 无数 0 ②× 无数 ③× ④× ⑤√ ⑥×
第七章

判一判:①×

⑦×
第3讲
第16页

核心要点研究

第七章

第3讲

第17页

例1

[2013·安顺检测]如图,在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1

中,E、F分别是AB和AA1的中点,求证:

(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.

第七章

第3讲

第18页

[审题视点]

(1)根据中位线定理可证明EF∥CD1,即可证

得结论;
(2)先确定其中两条直线的交点,说明该交点也在第三条直 线上.

第七章

第3讲

第19页

[证明] (1)如图,连接 CD1,EF,A1B, ∵E,F 分别是 AB 和 AA1 的中点, 1 ∴EF∥A1B 且 EF=2A1B. 又∵A1D1 綊 BC,

∴四边形 A1BCD1 是平行四边形.

第七章

第3讲

第20页

∴A1B∥CD1, ∴EF∥CD1, ∴EF 与 CD1 确定一个平面 α. ∴E,F,C,D1∈α, 即 E,C,D1,F 四点共面. 1 (2)由(1)知,EF∥CD1,且 EF=2CD1, ∴四边形 CD1FE 是梯形.

第七章

第3讲

第21页

∴CE与D1F必相交.设交点为P, 则P∈CE?平面ABCD,

且P∈D1F?平面A1ADD1,
∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1. 又∵平面ABCD∩平面A1ADD1=AD, ∴P∈AD,∴CE,D1F,DA三线共点.

第七章

第3讲

第22页

1.证明四点共面的基本思路有:一是直接证明,即利用公理 或推论来直接证明;二是先由其中不共线的三点确定一个平 面,再证第四个点也在这个平面内即可.

2.要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直
线上,也就是利用公理3,即证点在两个平面的交线上.或者 选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.

第七章

第3讲

第23页

[变式探究]

如图,空间四边形ABCD中,E、F分别是

AB、AD的中点,G、H分别在BC、CD上,且BG∶GC= DH∶HC=1∶2.

(1)求证:E、F、G、H四点共面;
(2)设EG与FH交于点P. 求证:P、A、C三点共线.

第七章

第3讲

第24页

证明:(1)∵E、F 分别为 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD. BG DH 1 在△BCD 中,GC=HC =2, ∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E、F、G、H 四点共面.

第七章

第3讲

第25页

(2)∵EG∩FH=P,P∈EG,EG?平面ABC,

∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC∩平面ADC=AC, ∴P∈AC,∴P、A、C三点共线.

第七章

第3讲

第26页

例2

[2013·安庆模拟]如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1

中,M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问: (1)AM和CN是否是异面直线?说明理由. (2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.

第七章

第3讲

第27页

[解] (1)不是异面直线,证明如下:连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点, ∴MN∥A1C1.又∵A1A 綊 C1C,

∴四边形 A1ACC1 为平行四边形. ∴A1C1∥AC,得到 MN∥AC. ∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直 线.
第七章 第3讲
第28页

(2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体, ∴B、C、C1、D1不共面.

假设D1B与CC1不是异面直线,
则存在平面α,使D1B?平面α, CC1?平面α, ∴D1、B、C、C1∈α, 这与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾.

∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.
第七章 第3讲
第29页

1.异面直线的判定常用的是反证法,先假设两条直线不是异 面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件出发,经过

严格的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异
面.此法在异面直线的判定中经常用到. 2.客观题中,也可用下述结论:过平面外一点和平面内一点 的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.

第七章

第3讲

第30页

[变式探究]

对于四面体ABCD,下列命题正确的是

________(写出所有正确命题的编号). ①相对棱AB与CD所在直线异面;

②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交
点; ③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所 在的直线异面; ④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于

一点.
第七章 第3讲
第31页

答案:①④ 解析:由四面体的概念可知, AB与CD所在的直线为异面直线, 故①正确;

由顶点A作四面体的高,当四面体ABCD的对棱互相垂直
时,其垂足是△BCD的三条高线的交点,故②错误;当DA= DB,CA=CB时,这两条高线共面,故③错误;设AB、BC、 CD、DA的中点依次为E、F、M、N,易证四边形EFMN为平行 四边形,所以EM与FN相交于一点,易证另一组对棱也过它们

的交点,故④正确.
第七章 第3讲
第32页

例3

[2012·大纲全国高考]已知正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1

中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成
角的余弦值为________.

第七章

第3讲

第33页

[审题视点]

将所研究的异面直线“平移”到同一平面内

解决.

第七章

第3讲

第34页

[解析] 设正方体的棱长为a.连结A1E,可知D1F∥A1E,

第七章

第3讲

第35页

∴异面直线 AE 与 D1F 所成的角可转化为 AE 与 A1E 所 成的角,在△AEA1 中, a cos∠AEA1= 2
2

?a? ?a? 2 2 +?2? +a +?2?2-a2 3 ? ? ? ? =5. ?a? ?a? a2+?2?2 a2+?2?2 ? ? ? ?

[答案]

3 5

第七章

第3讲

第36页

奇思妙想:本题已知不变,问题改为“异面直线AE与B1D 所成角的余弦值”,该如何求?

第七章

第3讲

第37页

解:设底面 ABCD 的中心为 O,连结 EO,则 EO∥B1D, 1 设正方体棱长为 2,则 B1D=2 3,在△AEO 中,OE=2DB1 = 3, AE= 5, OA= 2, 2=OE2+OA2, AE ∴∠AOE=90° , 15 OE ∴cos∠AEO= AE = 5 ,也可用余弦定理求得.

第七章

第3讲

第38页

求异面直线所成的角采用用“平移线段法”,平移的方法一 般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线 段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所

成的角通常放在三角形中进行.

第七章

第3讲

第39页

[变式探究] 的中点.

[2013·大连模拟]如图所示,三棱锥P—ABC

中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC

(1)①求证AE与PB是异面直线;
②求异面直线AE和PB所成角的余弦值; (2)求三棱锥A-EBC的体积.

第七章

第3讲

第40页

解:(1)①证明:假设AE与PB共面,设平面为α, ∵A∈α,B∈α,E∈α,∴平面α即为平面ABE, ∴P∈平面ABE,这与P?平面ABE矛盾,

所以AE与PB是异面直线.

②取BC的中点F,连结EF、AF,则EF∥PB,所以∠AEF

或其补角就是异面直线AE和PB所成角.
第七章 第3讲
第41页

∵∠BAC=60° ,PA=AB=AC=2,PA⊥平面 ABC, ∴AF= 3,AE= 2,EF= 2, 2+2-3 1 cos∠AEF= =4, 2× 2× 2 1 所以异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为4. 1 (2)因为 E 是 PC 中点, 所以 E 到平面 ABC 的距离为2PA 1 1 3 3 =1,VA-EBC=VE-ABC=3×(2×2×2× 2 )×1= 3 .
第七章 第3讲
第42页

课课精彩无限

第七章

第3讲

第43页

【选题·热考秀】 [2013·江门模拟]已知m,n是两条不同的直线,α,β为两

个不同的平面,有下列四个命题:
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥β, m⊥n,则 α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;④若

m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.
其中所有正确的命题是( A.①④ C.① ) B.②④ D.④
第七章 第3讲
第44页

[规范解答]

我们借助于长方体模型来解决本题.对于

①,可以得到平面α,β互相垂直,如图(1)所示,故①正确;对 于②,平面α、β可能垂直,如图(2)所示;对于③,平面α、β可 能垂直,如图(3)所示;对于④,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,因 为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β=g,如图(4)所示,所以n与

交线g平行,因为m⊥g,所以m⊥n.

[答案] A
第七章 第3讲
第45页

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角

判断空间线面的位置关系,常利用正(长)方体及其他几何
体模型来判断,把平面、直线看作正(长)方体内及其它几何体 平面、侧棱、对角线等进行推导验证,使抽象的推理形象具体 化.

第七章

第3讲

第46页

No.2

角度关键词:技巧点拨

由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线

垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系,故构造长方体或
正方体来判断空间直线、平面间的位置关系,显得直观、易判 断.减少了抽象性与空间想象,构造时注意其灵活性,想象各 种情况反复验证.

第七章

第3讲

第47页

经典演练提能

第七章

第3讲

第48页

1.[2013·徐州测试]下列说法正确的是( A.若a?α,b?β,则a与b是异面直线

)

B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面 D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面 答案:D

第七章

第3讲

第49页

2.如右图所示,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1= 2AB,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( 1 A.5 3 C.5 2 B.5 4 D.5 )

第七章

第3讲

第50页

答案:D

解析:连接 D1C,AC,易证 A1B∥D1C, ∴∠AD1C 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角. 设 AB=1,则 AA1=2,AD1=D1C= 5,AC= 2, 5+5-2 4 ∴cos∠AD1C= = . 2× 5× 5 5

第七章

第3讲

第51页

3.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则 在下列命题中,错误的为( )

A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC=BD

D.异面直线PM与BD所成的角为45°
第七章 第3讲
第52页

答案:C

解析:注意P、Q、M、N不一定为中点,选C项.

第七章

第3讲

第53页

4.[2013·汕头质检]一个正方体纸盒展开后如图所示,在 原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF; ②AB与CM所成的角为60°;

③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案:①③ 解析:作成纸盒如图,可知,①③正确.

第七章

第3讲

第54页


第七章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

第七章第3讲空间点直线平面之间的位置关系_高三数学_数学_高中教育_教育...一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有...

第七章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

第七章第3讲空间点直线平面之间的位置关系_数学_高中教育_教育专区。第 3...点的公共直 线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2.空间直线...

2018届高考数学(文)大一轮复习检测:第7章第3讲空间点、...

2018届高考数学(文)大一轮复习检测:第7章第3讲空间点直线平面之间的位置关系_高考_高中教育_教育专区。第 3 讲 空间点直线平面之间的位置关系 , [...

...第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习第八篇 第3讲 空间点直线平面之间的位置关系_数学_高中教育_教育专区。第3讲 空间点直线、平面之间的位置...

...限时集训:7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 Wo...

2014高考数学(理,浙江专版)一轮复习限时集训:7.3 空间点直线平面之间的位置关系 Word版含答案]_高中教育_教育专区。2014高考数学(理,浙江专版)一轮复习限时...

...7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系)

2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 7.3 空间点直线平面之间的位置关系)_高中教育_教育专区。2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 7.3...

...立体几何 第讲 空间点、直线、平面之间的位置关系习...

【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第讲 空间点直线平面之间的位置关系习题-课件_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 第七...

7.3空间点、直线、平面之间的位置关系

7.3空间点直线平面之间的位置关系_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 3 课时 空间点直线平面之间的位置关系 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2...

...一轮复习 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

2013版高三(理)一轮复习 7.3 空间点直线平面之间的位置关系_高三数学_数学...2 第 8 页共 8 页 今日推荐 67份文档 九妖笑话 2014年笑话大全之让你...

...立体几何第3讲_空间点、直线、平面之间的位置关系

2013高考数学(理)一轮复习:立体几何第3讲_空间点直线平面之间的位置关系 隐藏>> 第3讲【2013 年高考会这样考】 空间点直线平面之间的位置关系 1.本讲...

相关文档