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广东省珠海市2014届高三数学上学期期末考试试题 文


1

2

3

珠海市 2013-2014 学年度第一学期期末学生学业质量监测
4

高三文科数学试题参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1-5:BBBCC 6-10:CBCDA

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题

5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11.

4 3

12.. 3x ? y ? 1 ? 0 13. log 3 2 14. 4 2 15. 4 三、解答题:本题共有 6 个小题,共 80 分. 16.解: (1) f ( x) ? 2sin x ? cos x ? 3 cos 2 x …………………………………1 分

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ………………………………………………2 分

f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2sin 0 ? 0 …………………………………………6 分 6 6 3 ? ? ? 2? (2) ? x ? [0, ] ,? 2 x ? ? [? , ] ………………………………………8 分 2 3 3 3

?

? 2sin(2 x ? ) ……………………………………………………4 分 3

?

?

?

? 3 ? sin(2 x ? ) ? [? ,1] ………………………………………………10 分 3 2
? 2sin(2 x ? ) ?[? 3, 2] ………………………………………………11 分 3
? f max ( x) ? 2 , f min ( x) ? ? 3 ……………………………………………12 分
17.解:

?

1 1 (2.5 ? 2 ? 7.5 ? 6 ? 12.5 ? 4 ? 17.5 ? 2 ? 22.5 ?1) ? ?157.5=10.5 min.--------3 分 15 15 3? 6 8 ? , (2)候车时间少于 10 分钟的概率为 --------4 分 15 15 8 ? 32 人. 所以候车时间少于 10 分钟的人数为 60 ? --------6 分 15
(1) (3)将第三组乘客编号为 a1 , a2 , a3 , a4 ,第四组乘客编号为 b1 , b2 .从 6 人中任选两人有包含以下基

5

本事件: (a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , a4 ), ( a1 , b1 ), ( a1 , b2 ) ,

(a2 , a3 ), (a2 , a4 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ) ,
(a3 , a4 ), (a3 , b1 ), (a3 , b2 ) , (a4 , b1 ), (a4 , b2 ) ,
(b1 , b2 ) ,
其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 ------------10 分

8 . 15

--------12 分

18.(1).证明:? 四边形 BCC1 B1 为矩形,? BC ? B1C1 ……………………………1 分

? BC ? 平面 A1B1C1 , B1C1 ? 平面 A1B1C1

? BC //平面 A1B1C1

………………………………3 分

(2)证明:在 ?ABC 中 AC =5 , AB ? 4 , BC ? 3 , 满 足 A C = A B?
2 2 2 0 , 所 以 ?ABC ? 90 , 即 BC

C

C1

…………………5 分 C B? A B 又因为四边形 BCC1 B1 为矩形,所以 CB ? BB1

B

B1

? CB ? BB1 ? CB ? AB ? ? 又 ? BB1 ? 面AA1 B1 B ,所以 CB ? 面AA1 B1B ? AB ? 面AA B B 1 1 ? BB ? AB ? B ? ? 1

A

A1
(第 18 题图)

又因为 AB1 ? 面AA1 B1 B ,所以 CB ? AB1 ……………………………7 分 又因为四边形 A1 ABB1 为菱形,所以 AB1 ? A1 B

? AB1 ? CB ? AB ? A B 1 1 ? ? 又 ? CB ? 面A1 BC ,所以 AB1 ? 面A1 BC ? A B ? 面A BC 1 ? 1 CB ? A B ?B ? ? 1
6

………………………………………………………9 分 (3)解:过 B 作 BD ? A1 B1 于 D , 由第(1)问已证 CB ? 面AA1 B1B ? C1 B1 ? 面AA1 B1 B

?C1B1 ? BD …………………………10 分

? BD ? 平面AA1B1B
由题设知 BD=2 2

…………11 分 …………………12 分

1 1 1 1 V锥C - A1B1C1 ? ? A1 B1 ? B1C1 ? BD ? ? ? 4 ? 3 ? 2 2 ………………………13 分 ? 3 2 3 2 ?4 2

?三棱锥 C ? A1B1C1 的体积是 4 2 …………………………………14 分
19、解:(1)令 n ? 1 ,则 a1 ? S1 +2S1 ,即 a1 ? a1 +2a1 ,所以 a1 ? 2 或 a1 ? ?1 或 a1 ? 0
3 2 3 2

又因为数列 ? an ? 的各项都是正数,所以 a1 ? 2 …………………………………2 分

S +2 a2 ? a( a2 )? 2 ( a1 ?a2 ) 令n ? 2, 则 a1 ? a 即 a1 ? 2 ?2 2S , 1?
3 3 2 3 3 2

, 解得 a1 ? 3 或 a1 ? ?2 或 a1 ? 0

又因为数列 ? an ? 的各项都是正数,所以 a2 ? 3 ……………………………4 分 (2)? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn +2Sn
3 3 3 3 2

(1)

3 3 3 2 ? a13 ? a2 ? a3 ? ? ? an (2) ?1 ? S n ?1 +2S n ?1 (n ? 2)

由 (1) ? (2) 得 an ? ( Sn +2Sn ) ? ( Sn ?1 +2Sn ?1 )
3 2 2

化简得到 an ? Sn ? Sn ?1 ? 2
2

(3) ………………………………………7 分

2 ? an (4) ?1 ? S n ?1 ? S n ? 2 ? 2 (n ? 3)

由 (3) ? (4) 得 an ? an ?1 ? ( Sn ? Sn ?1 ? 2) ? ( Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 2)
2 2

化简得到 an ? an ?1 ? an ? an ?1 ,即 an ? an ?1 ? 1 (n ? 3)
2 2

当 n ? 2时,a2 ? a1 ? 1 ,所以 an ? an ?1 ? 1 (n ? 2) ………………………………9 分 所以数列 ? an ? 是一个以 2 为首项, 1 为公差的等差数列

7

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 1 …………………………………10 分
(3) bn ? 3 ? (?1)
n n ?1

? ? 2n ?1
n ?1

因为对任意的 n ? N ,都有 bn ?1 ? bn 恒成立,即有 3
*

? (?1)n ? ? 2n ? 2 ? 3n ? (?1)n ?1 ? ? 2n ?1

化简得 (?1)

n ?1

? ? ? ( ) n ………………………………………12 分

1 3 3 2

1 3 n 1 3 1 ? ( ) 恒成立, ? ? ? ( )1 ,即 ? ? 2 3 2 3 2 1 3 n 1 3 2 3 当 n 为偶数时, ? ? ? ? ( ) 恒成立, ? ? ? ? ( ) ,即 ? ? ? 4 3 2 3 2 3 1 ?? ? ? ? ………………………………………………………14 分 4 2
当 n 为奇数时, ? ? 20. 解:(1) f ?( x) ? (1 ? x) ? 2 x(1 ? x) ? (1 ? x)(1 ? 3x)
2

………(1 分)

由 f ?( x) ? 0 解得: x1 ? ?1, x 2 ? ? 当 x ? ?1 或 x ? ? 当 ?1 ? x ? ?

1 3

……(2 分) ……(3 分) ……(4 分)

1 时, f ?( x) ? 0 3

1 时, f ?( x) ? 0 3

所以,有两个极值点:

x1 ? ?1是极大值点, f (?1) ? 0 ;

……(5 分)

1 1 4 ……(6 分) x 2 ? ? 是极小值点, f (? ) ? ? 。 3 3 27 1 4 4 4 (2) 过点 ( ? ,? ,与 y ? f ( x) 的图象的另一个交点为 A ( x,? ) 做直线 y ? ? ) ,则 3 27 27 27 4 ? ? x( x ? 1) 2 ,即 27 x 3 ? 54 x 2 ? 27 x ? 4 ? 0 …(8 分) 27 1 2 已知有解 x ? ? ,则 (3x ? 1)(9 x ? 15 x ? 4) ? 0 3 4 4 解得 A(? ,? ) ……(10 分) 3 27 4 f (a) 1 当 a ? ? 时, F (a) ? f (a) ; k ? ……(11 分) ? (1 ? a) 2 ? 3 a 9 4 4 ? ? 1 4 1 4 当 ? ? a ? ? 时, F (a) ? ? , k ? 27 ? 27 ? , 4 a 9 3 3 27 ? 3

8

其中当 a ? ? 当?

1 4 时, k ? ; 9 3

………(12 分)

1 f (a) 1 …(13 分) ? a ? 0 时, F (a) ? f (a), k ? ? (1 ? a) 2 ? 3 a 9 1 1 4 所以,对任意的 a ? 0 , k 的最小值为 (其中当 a ? ? 时, k ? ).…(14 分) 9 9 3

0) , F2 (1 , 0) 21.解:(1)由已知得 F1 (?1,
设 M ( x0 ,y0 ) ,则 MF1 的中点为 N (

????? ???? ? ? MF1 ? NF2 ? F1M ? F2 N ? 0 ,……………………………………………3 分
即 ( x0 ? 1,y0 ) ? (
2

x0 ? 1 y0 , ) 2 2

x0 ? 3 y0 , )?0 2 2
2

整理得 x0 ? 2 x0 ? 3 ? y0 ? 0 ……………………① …………………………4 分
2 x0 2 ? y0 ? 1 …………………………………② 2

又有

由①②联立解得 x0 ? 2 ? 2 2 或 x0 ? 2 ? 2 2 (舍) …………………………………5 分

?点 M 到 y 轴的距离为 2 2 ? 2 ………………………………………6 分
(2)设 P ( x1 ,y1 ) , Q( x2 ,y2 ) , R( xR ,yR )

? 四边形 OPRQ 是平行四边形

?线段 PQ 的中点即为线段 OR 的中点,即 x1 ? x2 ? xR , y1 ? y2 ? yR ………………7 分
? 点 R 在椭圆上,?
( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 2

( x1 ? x2 )2 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 2m]2 ? 1 即 2
化简得 (1 ? 2k )( x1 ? x2 ) ? 8km( x1 ? x2 ) ? 8m ? 2 ? 0 ………………③
2 2 2

……………………9 分

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 由? 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ? y ? kx ? m ?
9

由 ? ? 0 得 2k ? 1 ? m
2

2

……………………④ ………………………11 分

且 x1 ? x2 ? ? 代入③式得

4km 1 ? 2k 2

16(1 ? 2k 2 )k 2 m 2 32k 2 m 2 ? ? 8m2 ? 2 ? 0 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k
2 2 2

整理得 4m ? 1 ? 2k 代入④式得 m ? 0 ,又 4m ? 1 ? 2k ? 1
2

?m ? ?

1 1 或m ? 2 2

? ]?[ , ? ?) ? m 的取值范围是 (?? ,

1 2

1 2

…………………14 分

10


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