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【数学】2014版《6年高考4年模拟》:第六章 数列 第二节 数列的应用


【数学】2014 版《6 年高考 4 年模拟》 第六章 数列

第二节 数列的应用 第一部分 六年高考题荟萃

2013 年高考题
一、选择题 1 .(2013 年高考新课标 1(理))设 ?An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , ?An BnCn 的面积

为 Sn , n ? 1, 2,3,? , 若 b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an ?1 ? an , bn ?1 ? ) A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 答案:B 因为 an+1=an, 所以 bn+1+cn+1=an+ 所以 bn+1+cn+1﹣2a1= , =a1+ , ,

cn ? an b ? an , cn ?1 ? n ,则( 2 2

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

,所以 an=a1,

又 b1+c1=2a1,所以 bn+cn=2a1, 于是,在△ AnBnCn 中,边长 BnCn=a1 为定值,另两边 AnCn、AnBn 的长度之和 bn+cn=2a1 为 定值, 因为 bn+1﹣cn+1= 所以 bn﹣cn= = , ,

当 n→+∞时,有 bn﹣cn→0,即 bn→cn, 于是△ AnBnCn 的边 BnCn 的高 hn 随着 n 的增大而增大, 所以其面积 故选 B.
2 .(2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版))函数 y =f (x) 的

=

为递增数列,

图像如图所示,在区间 ? a,b? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数 x1 ,x2 ...,xn , 使得

f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) = = , 则 n 的取值范围是 x1 x2 xn

(A) ?3,4? 答案:B

(B) ?2,3,4?

(C)

?3,4,5?

(D) ?2,3?

由题知,过原点的直线 y = x 与曲线 y =f (x) 相交的个数即 n 的取值.用尺规作图,交点可取 2,3,4. 所以选 B
3 . (2013 年高考新课标 1 (理) ) 设等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 ,

则m? ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:C am=Sm﹣Sm﹣1=2,am+1=Sm+1﹣Sm=3,所以公差 d=am+1﹣am=1, Sm= =0,得 a1=﹣2,所以 am=﹣2+(m﹣1)?1=2,解得 m=5,故选 C.

4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 (理) 试题 (WORD 版) ) 下面是关于公差 d ? 0

的等差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 (A) p1 , p2 答案:D (B) p3 , p4

p2 : 数列?nan ?是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列;

(C) p2 , p3

(D) p1 , p4

设 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? m ,所以 P 1 正确;如果 an ? 3n ? 12 则满足已知,但

nan ? 3n2 ? 12n 并非递增所以 P2 错;如果若 an ? n ? 1 ,则满足已知,但

an 1 ? 1 ? ,是 n n

递减数列,所以 P 3 错; a n ?3nd ? 4dn ? m ,所以是递增数列, P 4 正确,选 D.
二、填空题

5.(2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯 WORD 版含答案))等差数

列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0, S15 ? 25 ,则 nS n 的最小值为________. 答案: ?49 设等差数列{an}的首项为 a,公差为 d, 因为 S10=10a+45d=0,S15=15a+105d=25, 所以 a=﹣3,d= , 所以等差数列{an}的各项为:﹣3,﹣ ,﹣ ,﹣1,﹣ , ,1, , ,3, 根据题意得:当 n=1 时,S1=﹣3;当 n=2 时,2S2=﹣ 4S4=﹣32; 当 n=5 时, 5S5=﹣ ; 当 n=6 时, 6S6=﹣48; 当 n=7 时, 7S7=﹣49; 当 n=8 时, 8S8=﹣ ; , ,5,…,

;当 n=3 时,3S3=﹣21;当 n=4 时,

当 n=9 时,9S9=﹣27;当 n=10 时,10S10=0;…,其余结果为正, 所以 nSn 的最小值为 7S7=﹣49.
6.(2013 年高考湖北卷(理))古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三

角 形 数 1,3,6,10,, 第 n 个 三 角 形 数 为

n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n .记第 n 个 k 边形数为 2 2 2

N ? n, k ? ? k ? 3? ,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式:
三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

N ? n,3? ?

1 2 1 n ? n 2 2

N ? n, 4 ? ? n 2

N ? n,5? ?

3 2 1 n ? n 2 2

N ? n,6 ? ? 2n 2 ? n

可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24 ? ? ___________. 选考题 答案:1000 本题考查归纳推理。由归纳推理可知: N(10,24) ? N(n,k)=

24 ? 2 1 ? 102 ? ?10(24 ? 4) ? 1100 ? 100 ? 1000 。 2 2

k ?2 2 1 n ? n(k ? 4) , 所 以 2 2

7. (2013 年高考湖南卷(理))设 Sn 为数列

?an ? 的前 n 项和, Sn ? (?1)n an ? 2n , n ? N ? , 则

1

(1) a3 ? _____; (2) S1 ? S2 ? ??? ? S100 ? ___________.

答案: ?

1 1 1 ? 1) ; ( 16 3 2100 1 ,即 16

本题考查数列的通项公式以及数列求和。 S 4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a4 ?

a1 ? a2 ? a3 ? ?

1 1 1 1 ,即 S 3 ? ? a3 ? ? ? ,解得: a3 ? ? .当 n 是偶数且 n ? 2 时 16 8 16 16 1 1 1 1 S n ? an ? n ? S n ?1 ? an ,? Sn ?1 ? ? n .又 S n ?1 ? ? an ?1 ? n ?1 ,所以 an ?1 ? ? n .因此 2 2 2 2 1 1 S n ? 2 ? an ?1 ? S n ? 2 ? (? n ) ? S n ?1 ? ? n ,所以 Sn?2 ? 0 ,即偶数项的和为零,所以 2 2
50 1? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 4? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ?4? ? ? S1 ? S3 ? ??? ? S99 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 ? ? 1 ? 4 ? ? 16 ? ? 2 ? 1? 4

S1 ? S2 ? ??? ? S100
1 1 ? ( 100 ? 1) . 3 2

8.(2013 年高考陕西卷(理))观察下列等式:

12 ? 1 12 ? 22 ? ?3 12 ? 22 ? 32 ? 6 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10

( - 1) n ? 照此规律, 第 n 个等式可为___ 1 - 2 ? 3 - ? ?
2 2 2 n -1 2

( - 1) n ?1 n(n ? 1) ____. 2

( - 1) n ? 答案: 1 - 2 ? 3 - ? ?
2 2 2 n -1 2

( - 1) n ?1 n(n ? 1) 2
2 n -1 2 - 22 ? 32 - ? ? (-1 ) n 。
2 2 2

分 n 为奇数、偶数两种情况。第 n 个等式为 1
2 2 2

( 1 - 2 ) ? (3 ? 4 ) ? ? ? [( n ? 1) ? n ] ? 当 n 为偶数时,分组求和:
当 n 为奇数时,第 n 个等式= 2 2

n(n ? 1) n(n ? 1) ? n2 ? 。 2 2
2 n -1 2

n(n ? 1) 。 2

( - 1) n ? 综上,第 n 个等式: 1 - 2 ? 3 - ? ?

( - 1) n ?1 n(n ? 1) 2

9.(2013 年高考新课标 1(理))若数列{ an }的前 n 项和为 Sn=

2 1 an ? ,则数列{ an }的通 3 3

项公式是 an =______. 答案: an = (?2)
n ?1

.

解析】当 n=1 时,a1=S1= 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(

,解得 a1=1 )﹣( )= ,

整理可得

,即

=﹣2,

故数列{an}是以 1 为首项,﹣2 为公比的等比数列, 故 (?2)
n ?1

10.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))如图,互不-相同

的点 A 1 , A2 ?, X n ,? 和 B 1 , B2 ?, Bn ,? 分别在角O的两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有 梯形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积均相等.设 OAn ? an . 若 a1 ? 1, a2 ? 2, 则数列 ?an ? 的通项公式是 _________.

答案: an ? 3n ? 2, n ? N *

设?A1 B1O的面积为S 0,梯形An Bn Bn?1 An?1的面积为S ?
? S ? 3S0 , ( a1 2 1 ) ? a2 4

S0 a ? ( 1 )2 . S0 ? S a2

S 0 ? nS a a a 1 ? 3n 3n ? 2 ? ( n?1 ) 2 ? ? ( n?1 ) 2 .由上面2种情况得 ? ( n )2. S 0 ? (n ? 1)S an? 2 4 ? 3n an?2 3n ? 1 an?1 ?( a a1 2 a2 2 a3 2 a a 1 4 7 3n ? 2 1 1 ) ( ) ( ) ?( n ) 2 ? ( 1 ) 2 ? ? ? ? ? ? ( 1 )2 ? a2 a3 a4 an?1 an?1 4 7 10 3n ? 1 3n ? 1 an?1 3n ? 1

? an?1 ? 3n ? 1, 且a1 ? 1 ? an ? 3n ? 2, n ? N *
11.(2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))已知等比数列
2

?an ?

是 递 增 数 列 , Sn 是 ?an ? 的 前 n 项 和 , 若 a1,a3 是 方 程 x ? 5x ? 4 ? 0的 两 个 根 , 则

S6 ? ____________.

答案:63 . 由题意知 a1 ? a3 ? 5, a1a3 ? 4 ,又 ?an ? 是递增数列 ,所以 a1 ? 1, a3 ? 4 ,所以

q2 ?

a3 ? 4 , q ? 2 代入等比求和公式得 S6 ? 63 。 a1

三、解答题 12.(2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版))设函数

x2 x2 xn f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ( x ? R, n ? N n ) ,证明: 2 3 n
n (Ⅰ)对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;

2 3

n (Ⅱ)对任意 p ? N ,由(Ⅰ)中 xn 构成的数列 ?xn ? 满足 0 ? xn ? xn ? p ?

1 . n
(Ⅰ)



:

xn x2 x3 x4 xn ? 当x ? 0时,y ? 2 是单调递增的? f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 是 x 的 n 2 3 4 n
单调递增函数,也是 n 的单调递增函数. 且f n (0) ? ?1 ? 0, f n (1) ? ?1 ? 1 ? 0 .

? 存在唯一xn ? (0,1],满足f n ( xn ) ? 0,且 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? xn ? 0
当x ? (0,1).时, f n ( x) ? ?1 ? x ?
2

x2 x3 x4 xn x 2 1 ? x n ?1 x2 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? x ? ? ? ? 1 ? x ? ? 2 2 2 2 4 1? x 4 1? x 2 2 2 2

x 1 2 ? 0 ? f n ( xn ) ? ?1 ? xn ? n ? ? ( xn ? 2)(3xn ? 2) ? 0 ? xn ? [ ,1] 4 1 ? xn 3
n 综上,对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;(证毕)

2 3

(Ⅱ) 由题知 1 ? xn ? xn ? p ? 0, f n ( xn ) ? ?1 ? xn ?

xn x x x ? n2 ? n2 ? ? ? n2 ? 0 2 2 3 4 n

2

3

4

n

f n? p ( xn? p ) ? ?1 ? xn? p ?
上 减

xn? p 22

2

?

xn? p 32

3

?

xn? p 42


4

???

xn? p n2

n

?

xn? p

n ?1

(n ? 1) 2

???

xn? p

n? p

(n ? p) 2

?0

相 :
2 3 4 n n ?1 n? p

2 3 4 n xn? p xn? p xn? p xn? p xn? p xn? p x x x x xn ? n2 ? n2 ? n2 ? ? ? n2 ? xn? p ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ??? 2 2 3 4 n 2 3 4 n (n ? 1) (n ? p) 2

xn - xn? p ? (

xn? p - xn 22

2

2

?

xn? p - xn 32

3

3

?

xn? p - xn 42

4

4

???

xn? p - xn n2

n

n

) ? (

xn? p

n ?1

(n ? 1) 2

???

xn? p

n? p

(n ? p) 2



?

1 1 1 1 ? ? ? xn - xn? p ? . n n? p n n

法二:

13 . ( 2013 年 高 考 上 海 卷 ( 理 ) ) (3

分 +6 分 +9 分 ) 给 定 常 数 c ? 0 , 定 义 函 数

f ( x) ? 2 | x? c? 4 |? |x ? c | a1 , a2 , a3 ,?满足 an?1 ? f (an ), n ? N * . ,数列
(1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ;(2)求证:对任意 n ? N * , an?1 ? an ? c ,; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 ,?an ,? 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ,若不存在,说

明理由. :(1)因为 c ? 0 , a1 ? ?(c ? 2) ,故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? 2 ,

a3 ? f (a1 ) ? 2 | a2 ? c ? 4 | ? | a2 ? c |? c ? 10
(2)要证明原命题,只需证明 f ( x) ? x ? c 对任意 x ? R 都成立,

f ( x) ? x ? c ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |? x ? c
即只需证明 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c 若 x ? c ? 0 ,显然有 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c=0 成立; 若 x ? c ? 0 ,则 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c ? x ? c ? 4 ? x ? c 显然成立 综上, f ( x) ? x ? c 恒成立,即对任意的 n ? N , an?1 ? an ? c
*

(3)由(2)知,若 {an } 为等差数列,则公差 d ? c ? 0 ,故 n 无限增大时,总有 an ? 0 此时, an?1 ? f (an ) ? 2(an ? c ? 4) ? (an ? c) ? an ? c ? 8 即d ? c?8 故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? a1 ? c ? 8 , 即 2 | a1 ? c ? 4 |?| a1 ? c | ?a1 ? c ? 8 , 当 a1 ? c ? 0 时,等式成立,且 n ? 2 时, an ? 0 ,此时 {an } 为等差数列,满足题意; 若 a1 ? c ? 0 ,则 | a1 ? c ? 4 |? 4 ? a1 ? ?c ? 8 , 此时, a2 ? 0, a3 ? c ? 8,?, an ? (n ? 2)(c ? 8) 也满足题意; 综上,满足题意的 a1 的取值范围是 [?c, ??) ? {?c ? 8} .

14. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )

本小题满分 10 分.
k个 ????????? k- 1 (- ) 14 k, ?,( ) - k1k- 1 , 即 当 设 数 列 ?an ?: 1 ,- 2 ,- 2 , 3, , 3 - ,, 3- , 4 - ,4, ?, 4

(k ? 1 )k ( k k ?1 ) k ?1 k ? N ? ? 时 , an ? ?n? (-1 ) k , 记 Sn ? a1 ? a2 ? ? an ? n ? N ? ? , 对 ? 2 2
? ? 于 l ? N ,定义集合 Pl ? n S n 是an的整数倍,n ? N ,且1 ? n ? l

?

?

(1)求集合 P11 中元素的个数; (2)求集合 P2000 中元素的个数. 本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳 法分析解决问题能力及推理论证能力. (1) 解 : 由 数 列

?an ?







得 : a1 ? 1 , a2 ? ?2 , a3 ? ?2 , a4 ? 3 , a5 ? 3 , a6 ? 3 , a7 ? ?4 , a8 ? ?4 , a9 ? ?4 ,

a10 ? ?4 , a11 ? 5
∴ S1 ? 1 , S 2 ? ?1 , S 3 ? ?3 , S 4 ? 0 , S 5 ? 3 , S 6 ? 6 , S 7 ? 2 , S8 ? ?2 , S 9 ? ?6 ,

S10 ? ?10 , S11 ? ?5
∴ S1 ? 1 ? a1 , S 4 ? 0 ? a 4 , S 5 ? 1 ? a5 , S 6 ? 2 ? a6 , S11 ? ?1 ? a11 ∴集合 P11 中元素的个数为 5 (2)证明:用数学归纳法先证 Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1) 事实上, ① 当 i ? 1 时, Si ( 2i ?1) ? S3 ? ?1 ? (2 ? 1) ? ?3 故原式成立 故原式成立

② 假设当 i ? m 时,等式成立,即 S m( 2m?1) ? ?m ? (2m ? 1) 则: i ? m ? 1 ,时,

S(m?1)[ 2( m?1)?1} ? S(m?1)(2m?3} ? Sm(2m?1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2 ? ?m(2m ? 1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2

? ?(2m2 ? 5m ? 3) ? ?(m ? 1)(2m ? 3)
综合①②得: Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1) 于是

S(i?1)[2i?1} ? Si (2i ?1} ? (2i ? 1) 2 ? ?i(2i ? 1) ? (2i ? 1) 2 ? (2i ? 1)(i ? 1)
由上可知: Si ( 2i ?1} 是 (2i ? 1) 的倍数 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? 2i ? 1( j ? 1,2,?,2i ? 1) ,所以 Si ( 2i ?1)? j ? Si ( 2i ?1) ? j (2i ? 1) 是

a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 1) 的倍数
又 S (i ?1)[ 2i ?1} ? (i ? 1)(2i ? 1) 不是 2i ? 2 的倍数, 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? ?(2i ? 2)( j ? 1,2,?,2i ? 2)





S(i?1)(2i ?1)? j ? S(i ?1)(2i ?1) ? j(2i ? 2) ? (2i ? 1)(i ? 1) ? j(2i ? 2)





a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 2) 的倍数
(2i - 1 ) ?i 故当 l ? i(2i ? 1) 时,集合 Pl 中元素的个数为 1 ? 3 ? ? ?
2

于是当 l ? i(2i ? 1) ? j( 时,集合 Pl 中元素的个数为 i 2 ? j 1 ? j ? 2i ? 1 )

(2 ? 31 ? 1 ) ? 47 又 2000 ? 31 ?
故集合 P2000 中元素的个数为 31 ? 47 ? 1008
2

15.(2013 年高考湖北卷(理))已知等比数列 ?an ? 满足:

a2 ? a3 ? 10 , a1a2a3 ? 125 .

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m ,使得 明理由. 解:(I)由已知条件得: a2 ? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 , 所以数列 ?an ? 的通项或 an ? 5 ? 3 (II)若 q ? ?1 ,
n ?2

1 1 1 ? ??? ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在 ,说 a1 a2 am

1 1 1 1 ? ??? ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ; a1 a2 am 5

若q ? 3,

m 1 1 1 9 ? ?1? ? 9 ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ,不存在这样的正整数 m . a1 a2 am 10 ? ? ? 3? ? ? 10

16.(2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))设等差数列

?an ? 的

前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 4S2 , a2 n ? 2an ? 1. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn .

an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2n (n ? N * ) .求数 n 2

解:(Ⅰ)设等差数列 由

?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,

S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1得

4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? ?a1 ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ,
解得, 因此

a1 ? 1 , d ? 2

an ? 2n ? 1 (n ? N * )
Tn ? ? ? n 2n ?1 n 2
n ?1

(Ⅱ)由题意知:

所以 n ? 2 时,

bn ? Tn ? Tn ?1 ? ?

?

n ?1 2n ?2

故,

cn ? b2 n ?

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( ) n ?1 2 n ?1 2 4

(n ? N * )

1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 所以 , 1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4 3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4

1 1 n ?( ) 4 4 ? (n ? 1)( 1 )n ? 1 4 1? 4
1 3n ? 1 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4 整理得 Rn ? (4 ? ?c ? 9 所以数列数列 n 的前 n 项和 1 3n ? 1 ) 4n ?1

17. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )

本小题满分 16 分.设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和.记

bn ?

nS n * , n ? N ,其中 c 为实数. 2 n ?c

* (1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N );

(2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 .

证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和 ∴ S n ? na ? (1)∵ c ? 0

n(n ? 1) d 2
∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ?
2

∵ b1,b2,b4 成等比数列 ∴

1 1 1 1 ad ? d 2 ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 2 4 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na ? 2a ? n 2 a ∴ S n ? na ? 2 2
∴左边= S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a ∴左边=右边∴原式成立

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 ∵d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2

右边= n 2 S k ? n 2 k 2 a

(2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d1 ,∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?

nS n 得: n2 ? c

b1 ? (n ? 1)d1 ?
n ? N ? 恒成立

nSn n2 ? c

∴ (d1 ?

1 1 d )n 3 ? (b1 ? d1 ? a ? d )n 2 ? cd 1 n ? c(d1 ? b1 ) 对 2 2

1 ? ?d1 ? 2 d ? 0 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d1 ? a ? d ? 0 2 ? cd ? 0 ? 1 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1
由①式得: d 1 ? 由③式得: c ? 0 法二:证:(1)若 c ? 0 ,则 an ? a ? (n ? 1)d , S n ? 当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 ,
2

1 d 2

∵ d ?0

∴ d1 ? 0

n[( n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1) d ? 2a , bn ? . 2 2

d? 3d ? ? ? 2 即: ? a ? ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ? ?
由此: S n ? n a , S nk ? (nk) a ? n k a , n 2 S k ? n 2 k 2 a .
2 2 2 2

2

故: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ).

(n ? 1)d ? 2a n2 nSn 2 (2) bn ? 2 , ? n ?c n2 ? c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? n2 ? c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 2 n ?c
若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 ? 0 ,而 故有: ≠0, ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故c ? 0. c
经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列.
18.(2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))等差数

列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 =a2 2 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,求 ?an ? 的通项式.

19.(2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知首项为

3 的等 2

比数列 {an } 不是递减数列, 其前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差 数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ?
1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn

20 . ( 2013

年 高 考 江 西 卷 ( 理 ) ) 正 项 数 列 {an} 的 前 项 和 {an} 满

2 足: sn ? (n2 ? n ?1)sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

5 n ?1 * ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a

2 2 (1)解:由 Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 .

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n2 ? n . 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ? (n ?1) ? (n ?1) ? 2n .
2 2

综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . 2 (n ? 2)2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? . ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2)2 ? ?
2

Tn ? ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2)2 ? ?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 . 1? 2 ? ? ? (1 ? 2 ) ? ? 2 2? 16 ? 2 (n ? 1) (n ? 2) ? 16 2 64

21.(2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版))设数列

?an ? 的

前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值;

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有 .(1) 解:?

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3
又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 (2)解:?

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3


n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3

? 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2Sn ? 2Sn?1 ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?

? 2an ? 2Sn ? 2Sn?1

?2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?
? ? an ?1 an ? ?1 n ?1 n a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? n

当 n ? 1 时,上式显然成立.

?an ? n2 , n ? N *

(3)证明:由(2)知, an ? n2 , n ? N * ①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4 1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. a1 a2 4 4
2

②当 n ? 2 时,

③当 n ? 3 时, ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?

1 1 ? 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? ? ? ?? ? a1 a2 an 1 2 n 1? 3 2 ? 4 ? n ? 2? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1? 1? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4

22.(2013 年高考北京卷(理))已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最

大值记为 An,第 n 项之后各项 an ?1 , an?2 ,的最小值记为 Bn,dn=An-Bn . (I)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N , an? 4 ? an ),写出
*

d1,d2,d3,d4 的值; (II)设 d 为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.
(I) d1 ? d2 ? 1, d3 ? d4 ? 3. (II)(充分性)因为 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,且 d ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? . 因此 An ? an , Bn ? an?1 , dn ? an ? an?1 ? ?d (n ? 1, 2,3,?) . (必要性)因为 dn ? ?d ? 0 (n ? 1,2,3, ? ) ,所以 An ? Bn ? dn ? Bn .

又因为 an ? An , an?1 ? Bn ,所以 an ? an?1 .

于是 An ? an , Bn ? an?1 .

因此 an?1 ? an ? Bn ? An ? ?dn ? d ,即 ?an ? 是公差为 d 的等差数列. (III)因为 a1 ? 2, d1 ? 1,所以 A1 ? a1 ? 2 , B1 ? A 1 ? d1 ? 1 .故对任意 n ? 1, an ? B 1 ? 1. 假设 ?an ? (n ? 2) 中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 an ? 2 的最小正整数,则 m ? 2 ,并且对任意 1 ? k ? m, ak ? 2 ,. 又因为 a1 ? 2 ,所以 Am?1 ? 2 ,且 Am ? am ? 2 . 于是 Bm ? Am ? dm ? 2 ?1 ? 1 , Bm?1 ? min ?am , Bm? ? 2 . 故 dm?1 ? Am?1 ? Bm?1 ? 2 ? 2 ? 0 ,与 dm?1 ? 1 矛盾. 所以对于任意 n ? 1 ,有 an ? 2 ,即非负整数列 ?an ? 的各项只能为 1 或 2. 因此对任意 n ? 1 , an ? 2 ? a1 ,所以 An ? 2 . 故 Bn ? An ? dn ? 2 ?1 ? 1 .

因此对于任意正整数 n ,存在 m 满足 m ? n ,且 am ? 1 ,即数列 ?an ? 有无穷多项为 1.
23.(2013 年高考陕西卷(理))

设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 导 {an } 的前 n 项和公式; 等比数列. 解:(Ⅰ) 分两种情况讨论. (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ? 1} 不是

{an }是首项为a1的常数数列,所以 S n ? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? na1. ① 当q ? 1时,数列
② 当q ? 1时,S n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? qSn ? qa1 ? qa2 ? ? ? qan?1 ? qan . 上 面 两 式 错 位 相 减 :

( 1 - q)S n ? a1 ? (a2 ? qa1 ) ? (a3 ? qa2 )? ? (an ? qan?1 ) ? qan ? a1 ? qan .

a1 ? qan a1 (1 ? q n ) ? Sn ? ?. . 1- q 1- q
?na1 , ? ③综上, S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ?
(Ⅱ) 使用反证法.

(q ? 1) (q ? 1)

设 {an } 是公比 q≠1 的等比数列, 假设数列 {an ? 1} 是等比数列.则 ①当 ?n ? N *,使得an ? 1 =0 成立,则 {an ? 1} 不是等比数列.

an?1 ? 1 a1q n ? 1 ? ? 恒为常数 ②当 ?n ? N ,使得an ? 1 ? 0 成立,则 an ? 1 a1q n?1 ? 1
*

? a1q n ? 1 ? a1q n?1 ? 1 ? 当a1 ? 0时, q ? 1 .这与题目条件 q≠1 矛盾.
③综上两种情况,假设数列 {an ? 1} 是等比数列均不成立,所以当 q≠1 时, 数列 {an ? 1} 不是 等比数列.

2012 年高考题
1. 【 2012 高考四川理 12 】设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x, {an } 是公差为
2 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a5 ? (

? 的等差数列, 8

) D、

A、 0

B、

1 2 ? 16

2 C、 ?

1 8

13 2 ? 16

【答案】D 【 解 析 】 ]∵ 数 列 {an} 是 公 差 为

? 8

的 等 差 数 列 , 且

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? (2a1 ? cos a1 ) ? (2a2 ? cos a2 ) ???? ? (2a5 ? cos a5 ) ? 5? ,即

? 的等差数列, 8 ? 代入 2(a1 ? a2 ???? ? a5 ) ? (cos a1 ? cos a2 ???? ? cos a5 ) ? 5? ,即 10 a3 ? [cos( a3 ? ) 4 ? ? ? ? ? ? cos( a3 ? ) ? cos a3 ? cos( a3 ? ) ? cos( a3 ? )] ? 5? , ? (2 cos ? 2cos ? 1) cos a3 8 8 4 4 8 ? ? ? ? ? ? ?10 a3 ? 5? ,? a3 ? .?[ f (a3 )]2 ? a1a5 ? (2 ? ? 0) 2 ? ( ? )( ? ) 不是 ? 的倍数, 2 2 2 4 2 4 13? ? ,故选 D. 16
2(a1 ? a2 ???? ? a5 ) ? (cos a1 ? cos a2 ???? ? cos a5 ) ? 5? ,而 {an } 是公差为
[点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需 考生加强知识系统、网络化学习. 另外, (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 0, 隐蔽性较强, 需要考生具备一定的观察能力. 2.【2012 高考湖北理 7】定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数 列 {an } , { f (an )} 仍 是 等 比 数 列 , 则 称 f ( x) 为 “ 保 等 比 数 列 函 数 ”. 现 有 定 义 在

(??,0) ? (0, ??) 上的如下函数:

① f ( x) ? x 2 ;

② f ( x) ? 2 x ;

③ f ( x) ? | x | ;

④ f ( x) ? ln | x | .

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.① ② 【答案】C B.③ ④ C.① ③ D.② ④

考点分析:本题考察等比数列性质及函数计算.
2 2 2 2 f ?an ? f ?an ? 2 ? ? an an ? 2 ? an 【解析】等比数列性质, an an ? 2 ? an ?1 ?1 ,①

? ?

2

? f 2 ?an ?1 ? ;

② f ?an ? f ?an ? 2 ? ? 2 n 2
a

a n? 2

? 2an ? an?2 ? 22an?1 ? f 2 ?an ?1 ? ;
an ?1 ? f 2 ?an ?1 ? ;
2

③ f ?an ? f ?an ? 2 ? ?

an an ? 2 ?

④ f ?an ? f ?an ? 2 ? ? ln an ln an ? 2 ? ln an ?1

?

?

2

? f 2 ?an ?1 ? .选 C

3.【2012 高考四川理 16】记 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数,例如, [2] ? 2 , [1.5] ? 1 ,

xn ? [
[?0.3] ? ?1。设 a 为正整数,数列 {xn } 满足 x1 ? a , xn ?1 ? [
列命题: ①当 a ? 5 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列 {xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ; ③当 n ? 1 时, xn ? a ?1 ; ④对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ] 。 其中的真命题有____________。(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有下

【命题立意】 本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力, 难度较大. 【解析】当 a ? 5 时, x1 ? a ? 5 x2 ? 证可得③④正确,②错误. 4.【2012 高考重庆理 12】 lim
n ??

5?

5 5 3?[ ] 5 ? 3, x ?[ 3 ] ? 2 ,故①正确;同样验 3 2 2

1 n ? 5n ? n
2

?

.

【答案】

2 5

【解析】 lim
n ??

1 n 2 ? 5n ? n

? lim
n ??

n 2 ? 5n ? n ( n 2 ? 5n ? n)( n 2 ? 5n ? n)

? lim
n ??

n ? 5n ? n ? lim n ?? 5n
2

1?

5 ?1 1?1 2 n ? ? 5 5 5
1 为公比的等比数列,体积 2


5.【2012 高考上海理 6】有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 分别记为 V1,V2, ?,Vn, ? ,则 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ?
n ??

【答案】

8 。 7 1 为公比的等比数列, 8

【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以 1 为首项,

1 8 n = 8 (1 ? 1 ) ,∴ lim(V ? V ? ? ? V ) ? 8 。 ∴ V1 + V2 +?+ Vn = 1 2 n n ?? 1 7 7 8n 1? 8 1?
【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义. 考查知识较综合.

6. 【 2012 高考福建理 14 】数列 {an} 的通项公式

,前 n 项和为 Sn ,则

S2012=___________. 【答案】3018. 【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前 n 项和的求法,以及余弦函数的周期性, 同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力,难度较大. 【解析】因为函数 y ? cos 所以 S 2012 ?

?
2

x 的周期是 4,所以数列 {an } 的每相邻四项之和是一个常数 6,

2012 ? 6 ? 3018 . 4

7. 【 2012 高考四川 理 20 】 ( 本小题满 分 12 分 ) 已知数列 {an } 的前 n 项 和为 Sn ,且

a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。
(Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg 大值。 【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前 n 项和公式,以及对数运算等基础知 识,考查逻辑推理能力,基本运算能力,以及方程与函数、化归与转化等数学思想 [解析]取 n=1,得 a2 a 1 ? s2 ? s1 ? 2a1 ? a2 , 取 n=2,得 a2 ? 2a1 ? 2a2 , 又②-①,得 a2 (a2 ? a1 ) ? a2 (1)若 a2=0, 由①知 a1=0,
2

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时,Tn 最大?并求出 Tn 的最 an



② ③

(2)若 a2 ? 0,易知a2 ? a1 ? 1, 由①④得: a1 ?



2 ? 1, a2 ? 2 ? 2; a1 ? 1 ? 2, a2 ? 2 ? 2; …………………5 分 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2;

(2)当 a1>0 时,由(I)知, a1 ?

当 n ? 2时,有( 2 ? 2)an ? s2 ? sn , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1 所以,an= 2an?1 (n ? 2) 所以 an ? a1 ( 2 ) n?1 ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ) n?1 令 bn ? lg

10a1 1 100 , 则bn ? 1 ? lg( 2 ) n?1 ? lg n?1 an 2 2

1 lg 2 为公差,且单调递减的等差数列. 2 10 ? lg1 ? 0 则 b1>b2>b3>…>b7= lg 8 1 100 1 ? lg1 ? 0 当 n≥8 时,bn≤b8= lg 2 128 2
所以,数列{bn}是以 ? 所以,n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7=

( 7 b1 ? b7) 21 ? 7 ? lg 2 …………………………12 分 2 2

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数 列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第 三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 8.【2012 高考四川理 22】(本小题满分 14 分) 已知 a 为正实数, 抛物线 y ? ? x ? n 为自然数,
2

an 与 x 轴正半轴相交于点 A , 设 f ( n) 2

为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f (n) ? 1 n3 成立的 a 的最小值; ? 3 f (n) ? 1 n ? 1

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) ? 的大小,并说明理由。 4 f (0) ? f (1)

? ? [解析](1)由已知得,交点 A 的坐标为 ? ? ?
n

a

? 1 n 2 ,0 ? ,对 y ? ? x ? a 求导得 ? 2 2 ? ?
n

y ? ?2 x 则
n

'

抛物线在点 A 处的切线方程为 y ? ? 2 a ( x ?

a

n

2

), 即y ? ? 2 a x ? a .则f (n) ? a

n

n

(2)由(1)知 f(n)= 即知,

a

n

,则

f (n) ? 1 n3 n ? 3 成立的充要条件是 ? 2n 3 ? 1 a f (n) ? 1 n ? 1

a
n

n

? 2n 3 ? 1 对于所有的 n 成立,特别地,取 n=2 时,得到 a≥ 17

当 a ? 17, n ? 3时 ,

a ? 4 ? (1? 3)
n
1

n

? 1 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? ?
2 2 3 3

1

2

2

3

3

? 1? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3

? 1? 2n ?

3

2 1 ? n 5 (n ? 2) ? (2n ? 5)? ? ? ? 2 ?

>2n3+1 当 n=0,1,2 时,显然 (

17 )

n

? 2n ?1
3

3

f ( n) ? 1 ? 故当 a= 17 时, f ( n) ? 1
所以满足条件的 a 的最小值是 (3)由(1)知 f ( k ) ?
n

n 对所有自然数都成立 n ?1
3

17 。

a

n

,则

?
k ?1

n

n 1 1 f (1) ? f (n) a ? a , ?? k ? 2k f (k ) ? f (2k ) k ?1 a ? a f (0) ? f (1) 1 ? a

n

下面证明:

? f ( k ) ? f ( 2k ) ?
k ?1

1

27 f (1) ? f (n) ? . 4 f (0) ? f (1)

首先证明:当 0<x<1 时,

1 x?x
3

?

27 x 4

27 2 x( x ? x) ? 1,0 ? x ? 1 4 81 2 则g ' ( x) ? x( x ? ) 4 3 2 2 ( ' x) ? 0;当 ? x ? 1时, g ' ( x) ? 0 当 0 ? x ? 时, g 3 3 2 故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g(x)min=g ( ) ? 0 3
设函数 g ( x) ? 所以,当 0<x<1 时,g(x)≥0,即得

1 x?x
k
2

?

27 x 4 ? 27 k ,从而 4 a

由 0<a<1 知 0<ak<1( k ?

N

*

),因此

1

a ?a

2k

? f ( k ) ? f ( 2k ) ? ?
k ?1 k ?1

n

1

n

1

a ?a

k

2k

?

27 n k ? 4 k ?1 a
n ?1

27 a ? a ? ? 4 1? a

27 a ? a ? ? 4 1? a 27 f (1) ? f (n) ? ? 4 f (0) ? f (1)
[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力. 主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题 与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等 数学思维方法。 9. 【 2012 高考上海理 23 】( 4+6+8=18 分)对于数集 X ? {?1 ,x1,x2, ?,xn } ,其中

n

0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集 Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } ,若对任意

a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P .例如 {?1,1,2} 具有性质 P .
(1)若 x ? 2 ,且 {?1,1,2, x} 具有性质 P ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 xn ? 1 时, x1 ? 1 ; (3)若 X 具有性质 P ,且 x1 ? 1 、 x2 ? q ( q 为常数),求有穷数列 x1,x2, ?,xn 的通 项公式. [解](1)选取 a1 ? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) . 所以 x=2b,从而 x=4. (2)证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ? Y .设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 . 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1, 故 1?X. ……7 分 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 a1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 , 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 2,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. 所以 x1=1. (3)[解法一]猜测 xi ? q
i ?1

……2 分 ……4 分

……10 分 ,i=1, 2, ?, n. ……12 分

记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, ?, n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P.

任取 a1 ? (s, t ) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 , 与

s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P.
现用数学归纳法证明: xi ? q 当 n=2 时,结论显然成立;
i ?1

……15 分

,i=1, 2, ?, n.

假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, k; 当 n=k+1 时, 若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P, 则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, qk ?1, xk ?1} . 取 a1 ? ( xk ?1, q) ,并设 a2 ? (s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 . 由此可得 s 与 t 中有且只有一个为-1. 若 t ? ?1 ,则 1,不可能; 所以 s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? qk ?1 ? qk ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k . 综上所述, xi ? qi ?1 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, n. [解法二]设 a1 ? (s1, t1 ) , a2 ? (s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于
s1 t1

……18 分
t2 ??s 2

.

记 B ? {s | s ? X , t ? X ,| s |?| t |},则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于 t 原点对称. ……14 分 注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn}共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数. 由于
xn xn?1

?

xn xn?2

???

xn x2

?

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

xn x n ?1
x n ?1 x n?2
x2 x1

?
?

xn x n?2
x n ?1 x n ?3

???
???

xn x2
x n ?1 x1

?

xn x1

??

注意到

xn x1

?

x n ?1 x1

???

x2 x1

,所以

xn x n ?1

?

x n ?1 x n?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为 ……18

2 k ?1 xk ? x1 ( x ) ? q k ?1 ,k=1, x1

2, ?, n.

分 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识,本题属于信 息给予题,通过定义“ X 具有性质 P ”这一概念,考查考生分析探究及推理论证的能力.综 合考查集合的基本运算,集合问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视. 10.【2012 高考安徽理 21】(本小题满分 13 分)
2 数列 {xn } 满足: x1 ? 0, xn?1 ? ? xn ? xn ? c(n ? N * )

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 ;

(II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数列。 【答案】本题考查数列的概念及其性质,不等式及其性质,充要条件的意义,数列与 函数的关系等基础知识,考查综合运用知识分析问题的能力,推理论证和运算求解能力。 【解析】(I)必要条件
2 当 c ? 0 时, xn?1 ? ? xn ? xn ? c ? xn ? 数列 {xn } 是单调递减数列。

充分条件
2 数列 {xn } 是单调递减数列 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x1 ? c ? c ? x12 ? 0 ,

得:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 。 (II)由(I)得: c ? 0 , ①当 c ? 0 时, an ? a1 ? 0 ,不合题意; ②当 c ? 0 时, x2 ? c ? x1 , x3 ? ?c2 ? 2c ? x2 ? c ? 0 ? c ? 1,
2 2 xn?1 ? xn ? c ? xn ? 0 ? xn ? c ? 1 ? 0 ? x1 ? xn ? c ,
2 2 xn?2 ? xn?1 ? ?( xn ?1 ? xn ) ? ( xn?1 ? xn ) ? ?( xn?1 ? xn )( xn?1 ? xn ?1) 。

当c ?

1 1 时, xn ? c ? ? xn ? xn ?1 ? 1 ? 0 ? xn ? 2 ? xn ?1 与 xn?1 ? xn 同号, 4 2

由 x2 ? x1 ? c ? 0 ? xn?2 ? xn ? 0 ? xn?1 ? xn ,
2 lim xn?1 ? lim(? xn ? xn ? c) ? lim xn ? c 。 n?? n?? n??

当c ?

1 1 时,存在 N ,使 xN ? ? xN ? xN ?1 ? 1 ? xN ? 2 ? xN ?1 与 xN ?1 ? xN 异号,与 4 2

数列 {xn } 是单调递减数列矛盾, 得:当 0 ? c ?

1 时,数列 {xn } 是单调递增数列。 4

11.【2012 高考天津理 18】(本小题满分 13 分) 已 知 {an } 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , {bn } 是 等 比 数 列 , 且

a1 ? b1 ? 2, a4 ? b4 ? 27 , S 4 ? b4 ? 10 .
(Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; ( Ⅱ ) 记 Tn ? an b1 ? an?1b2 ? ? ? a1bn , n ? N , 证 明 Tn ? 12 ? ?2an ? 10bn
*

( n ? N ).
*

【答案】 (1) 设数列 {an } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q ;

?a4 ? b4 ? 27 ? 2 ? 3d ? 2q3 ? 27 ?d ? 3 则 ? ?? ? ? 3 ? S4 ? b4 ? 10 ?4a1 ? 6d ? 2q ? 10 ?q ? 2
得: an ? 3n ?1, bn ? 2n
n n ?1 n (2) Tn ? anb1 ? an ?1b2 ? an ?2b3 ? ? ? a1bn ? 2 a1 ? 2 a2 ? ? ? 2an ? 2 (a1 ?

a a2 ? ? ? nn ) 2 2 ?1

an 3n ? 1 3 n ? 2 n3 ? 5 ? n ? 1 ? n ? 2 ? n ? 1 ? cn ? cn ?1 n ?1 2 2 2 2

Tn ? 2n [ c (1 ? c 2 ? ) c (2? c 3?) ?? cn ( ? cn?

1

n ?) ] c2 ?1c (n?

1

)

? 10 ? 2n ? 2(3n ? 5) ? 10bn ? 2an ?12 ? Tn ?12 ? 10bn ? 2an
【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但 方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留 有余地,符合高考命题选拔性的原则. 12.【2012 高考全国卷理 22】(本小题满分 12 分)(注意:在试卷上作答 无效 ) ...... .. 函数 f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1 是过两点 P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直 线 PQn 与 x 轴交点的横坐标. (Ⅰ)证明:2 ? xn<xn+1<3; (Ⅱ)求数列{xn}的通项公式.
2 解:(1)为 f (4) ?4 ?8 ?3 ?5 ,故点 P(4,5) 在函数 f ( x ) 的图像上,故由所给出的两点

P(4,5), Qn ( xn , f ( xn )) ,可知,直线 PQn 斜率一定存在。故有
直线 PQn 的直线方程为 y ? 5 ?

f ( xn ) ? 5 ( x ? 4) ,令 y ? 0 ,可求得 xn ? 4

xn 2 ? 2 xn ? 8 4x ? 3 ?5 ?5 ? ( x ? 4) ? ? x?4? x ? n xn ? 4 xn ? 2 xn ? 2
所以 xn ?1 ?

4 xn ? 3 xn ? 2

下面用数学归纳法证明 2 ? xn ? 3 当 n ? 1 时, x1 ? 2 ,满足 2 ? x1 ? 3

假设 n ? k 时, 2 ? xk ? 3 成立,则当 n ? k ? 1 时, xk ?1 ?

4 xk ? 3 5 , ? 4? xk ? 2 xk ? 2

由 2 ? xk ? 3 ? 4 ? xk ? 2 ? 5 ? 1 ? 也成立

5 5 11 5 ? ? 2 ? ? 4? ? 3 即 2 ? xk ?1 ? 3 xk ? 2 4 4 xk ? 2

综上可知 2 ? xn ? 3 对任意正整数恒成立。 下面证明 xn ? xn?1 由 xn?1 ? xn ?

4 xn ? 3 4 x ? 3 ? xn 2 ? 2 xn ?( xn ? 1)2 ? 4 ? xn ? n ? xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2

由 2 ? xn ? 3 ? 1 ? xn ?1 ? 2 ? 0 ? ?( xn ?1)2 ? 4 ? 3 ,故有 xn?1 ? xn ? 0 即 xn ? xn?1 综上可知 2 ? xn ? xn?1 ? 3 恒成立。 (2) 由 xn ?1 ? 或 x ? ?1

4x ? 3 4 xn ? 3 2 得到该数列的一个特征方程 x ? 即 x ? 2x ? 3 ? 0 , 解得 x ? 3 x?2 xn ? 2

? xn?1 ? 3 ?

4 xn ? 3 x ?3 ?3 ? n xn ? 2 xn ? 2



xn?1 ? (?1) ?

4 xn ? 3 5x ? 5 ② ?1 ? n xn ? 2 xn ? 2

两式相除可得

xn ?1 ? 3 1 xn ? 3 x ?3 2?3 1 ,而 1 ? ? ? ?? x1 ? 1 2 ? 1 3 xn ?1 ? 1 5 xn ? 1

故数列 ?

? xn ? 3 ? 1 1 ? 是以 ? 为首项以 为公比的等比数列 3 5 ? xn ? 1 ?

xn ? 3 9 ? 5n ?1 ? 1 4 1 1 ? 3? 。 ? ? ? ( )n?1 ,故 xn ? n ?1 3? 5 ?1 3 ? 5n?1 ? 1 xn ? 1 3 5
【命题意图】 本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。 先从函 数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明,根据递推公式构 造等比数列进而求得数列的通基。 【点评】以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。 既考查了直线方程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比较综合,有一定的难 度。做这类试题那就是根据已知条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系式即 可。

2011 年高考题

1.(四川理 11)已知定义在

?0, ?? ? 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 3 f ( x ? 2) ,当 x ??0,2 ? 时,

f ( x) ? ? x2 ? 2 x .设 f ( x) 在 ?2n ? 2,2n? 上的最大值为 an (n ? N*) ,且 ?an ? 的前 n 项和


Sn ? Sn ,则 lim n ??

A.3 【答案】D

5 B. 2

C.2

3 D. 2

f ( x ? 2) ?
【解析】由题意

1 f ( x) 3 ,在 [2n ? 2, 2n] 上,

1 1 ? ( )n 1 1 2 1 n?1 3 ? lim S ? 3 n ? 1, f ( x) ? 1, n ? 2, f ( x) ? , n ? 3, f ( x) ? ( ) ? an ? ( ) ? Sn ? n 1 3 3 3 2 1? 3
2 .(上海理 18 )设 ( i ? 1, 2,? ),则 A. B. C. D.

{an } 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai , ai ?1 的矩形面积

{ An } 为等比数列的充要条件为

{an } 是等比数列。
a1 , a3 ,?, a2n?1,? 或 a2 , a4 ,?, a2n ,?是等比数列。 a1 , a3 ,?, a2n?1,? 和 a2 , a4 ,?, a2n ,?均是等比数列。 a1 , a3 ,?, a2n?1,? 和 a2 , a4 ,?, a2n ,?均是等比数列,且公比相同。

【答案】D 3.(福建理 10)已知函数 f(x)=e+x,对于曲线 y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点 A,B,C,给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是 A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④ 【答案】B 4.(安徽理 14)已知 ?ABC 的一个内角为 120o,并且三边长构成公差为 4 的 等差数列,则 ?ABC 的面积为_______________. 【答案】 15 3

5.(湖北理 13)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容 积成等差数列,上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 升。

67 【答案】 66
6.(安徽理 18) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数 的乘积记作

Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥1 .

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

{an } 的通项公式;

bn ? tan an ?tan an?1 , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运 用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力. 解:(I)设

l1 , l 2 ,?, l n?2 构成等比数列,其中 t1 ? 1, t n?2 ? 100, 则
① ②

Tn ? t1 ? t 2 ? ?? t n?1 ? t n?2 , Tn ? t n?1 ? t n?2 ??? t 2 ? t1 ,
①× ②并利用

t1t n?3?i ? t1t n?2 ? 102 (1 ? i ? n ? 2),得

Tn2 ? (t1t n?2 ) ? (t 2t n?1 ) ??? (t n?1t 2 ) ? (t n?2t1 ) ? 102( n?2) ,? an ? lg Tn ? n ? 2, n ? 1.
(II)由题意和(I)中计算结果,知

bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1.
tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k

tan1 ? tan(( k ? 1) ? k ) ?
另一方面,利用

tan( k ? 1) ? tan k ?

n n?2 k ?3

tan( k ? 1) ? tan k ? 1. tan 1

所以

S n ? ? bk ?? tan(k ? 1) ? tan k
k ?1

tan(k ? 1) ? tan k ? 1) tan1 k ?3 tan(n ? 3) ? tan3 ? ? n. tan1 ? ?(
n?2

7.(福建理 16)

13 已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= 3 。
(I)求数列{an}的通项公式; (II)若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? p ? ? ) 在 为 a3,求函数 f(x)的解析式。 本小题主要考查等比数列、 三角函数等基础知识, 考查运算求解能力, 考查函数与方程思想, 满分 13 分。

x?

?
6 处取得最大值,且最大值

解:(I)由

q ? 3, S3 ?

13 a1 (1 ? 33 ) 13 得 ? , 3 1? 3 3

1 a1 ? . 3 解得 1 an ? ? 3n ?1 ? 3n ? 2. 3 所以
(II)由(I)可知

an ? 3n?2 , 所以a3 ? 3.

因为函数 f ( x ) 的最大值为 3,所以 A=3。

x?
因为当

?
6 时 f ( x) 取得最大值,

sin(2 ?
所以

?
6

? ? ) ? 1.

0 ? ? ? ? , 故? ?


?
6

.

所以函数 f ( x ) 的解析式为 8.(全国新课标理 17) 已知等比数列 (I)求数列

f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 6

?

{an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 .

{an} 的通项公式.

1 { } b ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 bn 的前 n 项和. (II)设 n

解:
3 2 a2 ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 3 所以

q2 ?

1 9.

q?
由条件可知 c>0,故

1 3. a1 ? 1 3.



2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以

1 n 故数列{an}的通项式为 an= 3 .
(Ⅱ )

bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2
1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) b n(n ? 1) n n ?1 故 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 2n { } ? b 所以数列 n 的前 n 项和为 n ? 1
9.(四川理 20) 设 d 为非零实数, (1)写出 (II)设

an ?

1 1 2 2 n ?1 n ?1 n n (Cn d ? 2Cn d ? ? ? (n ? 1)Cn d ? nCn d ](n ? N * ) n

a1 , a2 , a3 并判断 {an } 是否为等比数列。若是,给出证明;若不是,说明理由;

bn ? ndan (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

解析:(1)

a1 ? d a2 ? d ( d ? 1) a3 ? d ( d ? 1) 2

0 1 2 2 3 n ?1 n an ? C n d ? Cn d ? Cn d ? ? ? Cn d ? d (1 ? d ) n ?1

an ?1 ? d (1 ? d ) n an ?1 ? d ?1 an
因为 d 为常数,所以

{an } 是以 d 为首项, d ? 1 为公比的等比数列。

bn ? nd 2 (1 ? d ) n ?1 Sn ? d 2 (1 ? d )0 ? 2d 2 (1 ? d )1 ? 3d 2 (1 ? d ) 2 ? ?? ? nd 2 (1 ? d ) n ?1
(2) ? d [(1 ? d ) ? 2(1 ? d ) ? 3(1 ? d ) ? ?? ? n(1 ? d )
2 0 1 2 n ?1

](1)

(1 ? d )Sn ? d 2[(1 ? d )1 ? 2(1 ? d )2 ? 3(1 ? d )3 ? ??? n(1 ? d )n ](2)

1? (1 ? (1 ? d )n ) ? dSn ? ?d [ ? d 2 n(1 ? d )n ? d ? (d 2 n ? d )(1 ? d )n 1 ? (1 ? d ) (2) ? (1)
2

? Sn ? 1 ? (dn ?1)(1 ? d )n

2010 年高考题
一、选择题 1.(2010 江西理)5.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a8 =4,函数

f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 ) ,则 f ' ? 0? ? ( )
A. 2
6

B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 f 有关;得: a1 ? a2 ? a3 ?a8 ? (a1a8 )4 ? 212 。
'

? 0? 只与函数 f ? x ? 的一次项

1? ? 1 1 lim ?1 ? ? 2 ? ? ? n ? ? x ?? 3 ? ( ? 3 3 2.(2010 江西理)4.
5 A. 3
【答案】B



3 B. 2

C. 2

D. 不存在

1 1? n 3 )? 3 【解析】 考查等比数列求和与极限知识.解法一: 先求和, 然后对和取极限。lim ( n ??? 1 2 1? 3
3.(2010 北京理)(2)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3a4 a5 ,则 m= (A)9 【答案】C 4. (2010 四川理) (8) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 , 其前 n 项的和为 Sn , 且 Sn?1 ? 2Sn ? a1 , 则 lim (B)10 (C)11 (D)12

n ??

an ? Sn
(B)

(A)0

1 2

(C) 1

(D)2

解析:由 Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,且 Sn? 2 ? 2Sn?1 ? a1 作差得 an+2=2an+1 又 S2=2S1+a1,即 a2+a1=2a1+a1 ? a2=2a1 故{an}是公比为 2 的等比数列

Sn=a1+2a1+22a1+??+2n-1a1=(2n-1)a1

an 2n?1 a1 1 则 lim ? lim n ? n ?? S n ?? (2 ? 1) a 2 n 1
【答案】B 5.(2010 天津理)(6)已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, s n 是 ?an ? 的前 n 项和,且

?1? 9s3 ? s6 ,则数列 ? ? 的前 5 项和为 ? an ?
(A)

15 或5 8

(B)

31 或5 16

(C)

31 16

(D)

15 8

【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题。 显然 q ? 1, 所以

1 1 9(1 ? q3 ) 1-q6 所以 { } 是首项为 1, 公比为 的 = ? 1 ? q3 ? q ? 2 , 2 an 1-q 1? q

1 1 ? ( )5 2 ? 31 . 等比数列, 前 5 项和 T5 ? 1 16 1? 2
【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分,降低幂的次数,同时也要注意基本量 法的应用。 6.(2010 全国卷 1 文)(4)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10, 则

a4 a5a6 =
(B) 7 (C) 6 (D) 4 2

(A) 5 2 【答案】A

【命题意图】 本小题主要考查等比数列的性质、 指数幂的运算、 根式与指数式的互化等知识, 着重考查了转化与化归的数学思想.
3 3 【解析】 由等比数列的性质知 a1a2a3 ? (a1a3 )? a2 ? a2 ? 5 ,a7 a8a9 ? (a7 a9 )? a8 ? a8 ? 10,
1

所以 a2 a8 ? 50 3 ,
3 所以 a4 a5a6 ? (a4 a6 )? a5 ? a5 ? ( a2a8 )3 ? (506 )3 ? 5 2 1

7.(2010 湖北文)7.已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , 则

1 a3 , 2a2 成等差数列, 2

a9 ? a10 ? a7 ? a8
B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D3? 2 2

A. 1 ? 2

8.(2010 安徽理)10、设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2 n 项和与前 3n 项和分 别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立的是 A、 X ? Z ? 2Y B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ?

C、 Y ? XZ
2

D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

【答案】 D 【分析】取等比数列 1, 2, 4 ,令 n ? 1 得 X ? 1, Y ? 3, Z ? 7 代入验算,只有选项 D 满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若 能排除 3 个选项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续 排除.本题也可以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论. (2010 湖北理数)7、如图,在半径为 r 的园内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆, 又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设 s n 为前 n 个圆的面 积之和,则 lim s n =
n??

A. 2 ? r

2

B.

8 ? r2 3

C.4 ? r

2

D.6 ? r

2

9.(2010 福建理)3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于 A.6 【答案】A 【解析】设该数列的公差为 d ,则 a4 ? a6 ? 2a1 ? 8d ? 2 ? (?11) ? 8d ? ?6 ,解得 d ? 2 , 所以 S n ? ?11n ? B.7 C.8 D. 9

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 12n ? (n ? 6) 2 ? 36 ,所以当 n ? 6 时, Sn 取最小值。 2

【命题意图】 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用, 考查二次函数最值的 求法及计算能力。 二、填空题

1.(2010 浙江理)(14)设 n ? 2, n ? N , (2 x ? ) ? (3 x ? )
n

1 2

1 3

n

? a0 ? a1x ? a2 x2 ????? an xn ,
将 ak (0 ? k ? n) 的最小值记为 Tn ,则

T2 ? 0, T3 ?

1 1 1 1 ? 3 , T4 ? 0, T5 ? 5 ? 5 , ???, Tn , ??? 3 2 3 2 3

其中 Tn =__________________ . 解析:本题主要考察了合情推理,利用归纳和类比进行简单的推理,属容易题

2.(2010 陕西文)11.观察下列等式:1 +2 =(1+2) ,1 +2 +3 =(1+2+3) ,1 + 2 +3 +4 = (1+2+3+4) ,?,根据上述规律,第四个等式 为 1 +2 +3 +4 +5 =(1+2+3+4+5) .....
2 2 3 3 3 3 3 3 3 3

3

3

2

3

3

3

2

3

(或 15 ).

2

解析:第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和,右边为 1 到 i+1 和的完全平方 所以第四个等式 为 1 +2 +3 +4 +5 =(1+2+3+4+5) (或 15 ). ..... 3. ( 2010 辽宁理)( 16 )已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则 __________. 【答案】
3 3 3 3 3 2 2

an 的最小值为 n

21 2

【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调 性,考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2[1+2+?(n-1)]+33=33+n -n
2

an 33 ? ? n ?1 n n 33 ?33 ? n ?1 , 设 f ( n) ? 令 f ( n) ? 2 ? 1 ? 0 , 则 f ( n) 在 ( 33, ??) 上是单调递增, n n
所以 在 (0, 33) 上是递减的,因为 n∈N+,所以当 n=5 或 6 时 f ( n) 有最小值。 又因为

a5 53 a6 63 21 a a 21 ? , ? ? ,所以, n 的最小值为 6 ? 5 5 6 6 2 6 2 n

4.(2010 浙江文)(14)在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列, 那么,位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 。

答案: n ? n
2

5. ( 2010 天津文)( 15 )设 {an} 是等比数列,公比 q ?

2 , Sn 为 {an}的前 n 项和。记


Tn ?

17 Sn ? S2 n , n ? N * . 设 Tn0 为数列{ Tn }的最大项,则 n0 = an?1

【答案】4 【解析】 本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用, 属于中等 题。

17a1[1 ? ( 2)n ] a1[1 ? ( 2) 2 n ] ? 1 ( 2) 2 n ? 17( 2) n ? 16 1 ? 2 1 ? 2 Tn ? ? ? a1 ( 2)n 1? 2 ( 2) n
? 1 16 16 ≧8,当且仅当 ( 2)n =4,即 n=4 时取 ? [( 2)n ? ? 17] 因为 ( 2)n ? n n 1? 2 ( 2) ( 2)

等号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。 【温馨提示】本题的实质是求 Tn 取得最大值时的 n 值,求解时为便于运算可以对 ( 2)n 进 行换元,分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解. 6. (2010 湖南理) 15. 若数列 ?an ? 满足: 对任意的 n ? N , 只有有限个正整数 m 使得 am<n
?
? 成立,记这样的 m 的个数为 (an )? ,则得到一个新数列 ( an ) .例如,若数列 ?an ? 是

?

?

1, 2,3…,n,…,则数列 ?( an )? ? 是 0,1, 2,…,n ? 1,… .已知对任意的 n ? N? , an ? n2 ,
则 (a5 ) ?
?



((an )? )? ?



三、解答题 1.(2010 湖南文)20.(本小题满分 13 分) 给出下面的数表序列:

其中表 n(n=1,2,3 ? )有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5, ? 2n-1,从第 2 行起,每行 中的每个数都等于它肩上的两数之和。 (I)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推 广到表 n(n≥3)(不要求证明); (II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列 1,4,12 ? ,记此数列为

?bn ?

求和:

b3 b b ? 4 ? ? n?2 b1b2 b2b3 bnbn ?1

2.(2010 全国卷 2 理)(18)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n2 ? n)? 3n . (Ⅰ)求 lim

n ??

an ; Sn
a a1 a2 ? 2 ?…? n >3n . 2 2 1 2 n

(Ⅱ)证明:

【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 an ? ?

?

s1 (n ? 1)

? sn ? sn?1 (n ? 2)

的运用,数列极限和数列

不等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】

【点评】2010 年高考数学全国 I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不 等式放缩法问题作为押轴题的命题模式, 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本 方法基本技能,重视两纲的导向作用, 也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考, 对数列的考查主要涉及数列的基本公式、 基本性质、 递推数列、 数列求和、 数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续.

3.(2010 北京理)(20)(本小题共 13 分) 已 知 集 合

Sn ? {X X| ? x1 x( … , xn ,x ? 2 ,

1

) i ?,

…n { n 0? , 1 对 } 于 ,

1 ,

2 ,

A ? (a1 , a2 ,…an ,) , B ? (b1, b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ?

?
i ?1

| a1 ? b1 |

(Ⅰ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? S n , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设 P ? Sn ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 证明: (P)≤

d

(P).

d

mn . 2( m ? 1)

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 证明:(I)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn 因为 ai , bi ??0,1 ? ,所以 ai ? bi ??0,1? , (i ? 1, 2,..., n) 从而 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,...,| an ? bn |) ? Sn 又 d ( A ? C, B ? C ) ?

?|| a ? c |? | b ? c ||
i ?1 i i i i

n

由题意知 ai , bi , ci ??0,1? (i ? 1, 2,..., n) . 当 ci ? 0 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?|| ai ? bi | ; 当 ci ? 1 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?| (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) |?| ai ? bi |

所以 d ( A ? C , B ? C ) ?

?| a ? b | ? d ( A, B)
i ?1 i i

n

(II)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn

d ( A, B) ? k , d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h .
记 O ? (0,0,...,0) ? Sn ,由(I)可知

d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (O, B ? A) ? k d ( A, C) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (O, C ? A) ? l d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h
所以 | bi ? ai | (i ? 1,2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 的 1 的 个数为 l 。 设 t 是使 | bi ? ai |?| ci ? ai |? 1成立的 i 的个数,则 h ? l ? k ? 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数。 (III) d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

? d ( A, B) ,其中 ? d ( A, B) 表示 P 中所有两个元素间距离的总和,
A, B?P

设 P 种所有元素的第 i 个位置的数字中共有 ti 个 1, m ? ti 个 0 则

A, B?P

?

d ( A, B) = ? ti (m ? ti )
i ?1

n

m2 (i ? 1, 2,..., n) 由于 ti (m ? ti ) ? 4
所以

A, B?P

?

d ( A, B) ?

nm 2 4

从而 d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

?

d ( A, B) ?

nm mn ? 2 4Cm 2(m ? 1)

2

4.(2010 天津文)(22)(本小题满分 14 分) 在数列 ?a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k ? N , a 2k ?1 ,a 2k ,a 2k+1 成等差数列,其公差为 2k.
*

(Ⅰ)证明 a 4 ,a 5 ,a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)记 Tn ?

3 22 32 n2 2 n ? 2) . ? ?? ? ?? ,证明 ? 2n ? Tn ? ( 2 a2 a3 an

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基 础知识, 考查运算能力、 推理论证能力、 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法, 满分 14 分。 ( I ) 证 明 : 由 题 设 可 知 , a2 ? a1 ? 2 ? 2 , a3 ? a2 ? 2 ? 4 , a4 ? a3 ? 4 ? 8 ,

a5 ? a4 ? 4 ? 12 , a6 ? a5 ? 6 ? 18 。
从而

a6 a5 3 ? ? ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列。 a5 a4 2

(II)解:由题设可得 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k , k ? N * 所以 a2k ?1 ? a1 ? ? a2k ?1 ? a2k ?1 ? ? ? a2k ?1 ? a2k ?3 ? ? ...? a3 ? a1 ?

? 4k ? 4 ? k ?1? ? ... ? 4 ?1 ? 2k ? k ?1? , k ? N *.
由 a1 ? 0 ,得 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? ,从而 a2k ? a2k ?1 ? 2k ? 2k 2 .

? n2 ? 1 n , n为奇数 ? n2 ? ?1? ? 1 ? 2 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 或写为 an ? ,n? N * 。 ? 2 2 4 n ? , n为偶数 ? ?2
(III)证明:由(II)可知 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k 2 , 以下分两种情况进行讨论:

(1) 当 n 为偶数时,设 n=2m ? m ? N *? 若 m ? 1 ,则 2n ? 若 m ? 2 ,则
m m 2k ? m ?1 ? 2k ? 1? ? k2 4k 2 m ?1 4k 2 ? 4k ? 1 ?? ?? ?? 2 ?? ? a2 k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k k ?1 2k ? k ? 1? n 2 2 m ?1 ? m ?1 ? 4k 2 ? 4k 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? 2 m ? 2? ? ? ? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? 2k ? k ? 1? k ?1 ? ?

k2 ? 2, ? k ? 2 ak
n

1? 1 ? 3 1 ? 2m ? 2 ? m ? 1? ? ?1 ? ? ? 2n ? ? . 2? m? 2 n
n k2 3 1 3 k2 所以 2n ? ? ? ? ,从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 4,6,8,.... 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

(2) 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1? m ? N *? 。

? 2m ? 1? k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? 3 1 ?? ? ? 4m ? ? ? ? a2 m ?1 2 2m 2m ? m ? 1? k ? 2 ak k ? 2 ak
n 2 2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2 ? m ? 1? 2 n ?1
n k2 3 1 3 k2 所以 2n ? ? ,从而 ? 2n ? ? ? ? ? 2, n ? 3,5,7,.... 2 n ?1 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

综合(1)和(2)可知,对任意 n ? 2, n ? N *, 有 5.(2010 天津理)(22)(本小题满分 14 分)

3 ? 2n ? Tn ? 2. 2

在数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N . a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等差数列,其公差为 dk 。
*

(Ⅰ)若 dk = 2 k ,证明 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列( k ? N )
*

(Ⅱ)若对任意 k ? N , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列,其公比为 qk 。
*

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的定义、数 列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论 的思想方法。满分 14 分。 (Ⅰ)证明:由题设,可得 a

2k ? 1

?a ? 4k , k ? N * 。 2k ? 1

所以 a

2k ? 1

? a1 ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1 ) 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3

= 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 =2k(k+1) 由 a1 =0,得 a

2k ? 1

? 2k (k ? 1), 从而a ? a ? 2k ? 2k 2 , a ? 2(k ? 1) 2 . 2k 2k ? 1 2k ? 2

a a a k ? 1 a2k ? 2 k ? 1 , ? , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 。 于是 2k ? 1 ? a 2k k a 2k ? 1 k a 2k ? 1 a 2k
所以 d k ? 2k时,对任意k ? N , a
*

2k

,a ,a 成等比数列。 2k ? 1 2k ? 2
, a2 k , a ,a 成等差数列,及 a , a 成 2k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2

(Ⅱ)证法一:(i)证明:由 a

2k ? 1

等比数列,得 2a

a a ?a ?a , 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 1 ? qk 2k 2k ? 1 2k ? 1 a a q 2k 2k k ?1
*

当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ? N 从而

1 q k ?1

? 2?

1 1 q k ?1 ?1

?

1 ? 1,即 1 ? ? 1(k ? 2) q ?1 q q ?1 k ?1 k ?1 k ?1

1

所以 ?

? ? 1 ? ? ? 是等差数列,公差为 1。 q ? 1? ? ? k ?
4 ? 2, 1 =1.由(Ⅰ)有 2 q ?1 1

(Ⅱ)证明: a1 ? 0 , a2 ? 2 ,可得 a3 ? 4 ,从而 q1 ?

1 ? 1 ? k ? 1 ? k , 得q ? k ? 1 , k ? N * k q k k ?1
2 a a a ( ) 2 k ? 2 2 k ? 1 k ? 1 2 k ? 2 k ? 1 所以 ? ? , 从而 ? ,k ? N * a a k a k2 2k ? 1 2k 2k

因此,

a2 k ?

a a k2 (k ? 1)2 22 . 2k ? 2 .... 4 .a ? . ... 2 .2 ? 2k 2 .a ? a . k ? 1 ? 2k ( k ? 1), k ? N * 2 2 2 2 k ? 1 2k k a a a (k ? 1) (k ? 2) 1 2k ? 2 2 k ? 4 2

a 2k

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ? N )
*

若 m=1,则 2n ? 若 m≥2,则

k2 ? 2. ? k ? 2 ak
n

k 2 m (2k )2 m?1 (2k ? 1)2 m 4k 2 ?? ?? ?? 2 + ? a2k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k
n
m ?1 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 4k ? 1 1 ? 1?1 1 ?? ? 2 m ? ? ? 2 m ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2k (k ? 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 2k ( k ? 1) k ?1 ? 2k ( k ? 1) k ?1 ? ? m ?1

1 1 3 1 ? 2m ? 2(m ? 1) ? (1 ? ) ? 2n ? ? 2 m 2 n.
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ? ? , 从而 ? 2 n ? ? 2, n ? 4,6,8... ? ? 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n
*

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ? N )

k 2 2m k 2 (2m ? 1) 3 1 (2m ? 1) 2 ?? ? ? 4m ? ? ? ? a2m?1 2 2m 2m(m ? 1) k ? 2 ak k ? 2 ak
n

2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2(m ? 1) 2 n ?1
所以 2n ?

?a
k ?2

n

k2
k

?

n 3 1 3 k2 ? , 从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 3,5,7 ··· 2 n ?1 2 k ? 2 ak n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 2 k ? 2 ak

综合(1)(2)可知,对任意 n ? 2 , n ? N ,有

?

证法二:(i)证明:由题设,可得 dk ? a2k ?1 ? a2k ? qk a2k ? a2k ? a2k (qk ?1),

dk ?1 ? a2k ?2 ? a2k ?1 ? qk 2a2k ? qk a2k ? a2k qk (qk ?1), 所以 dk ?1 ? qk dk
qk ?1 ? a2 k ?3 a2 k ?2 ? d k ?1 d d q ?1 ? ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? k ? 1 ? k a2 k ? 2 a2 k ?2 qk a2 k qk a2 k qk q 1 1 ? k ? ?1, qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 1 ?

由 q1 ? 1可知 qk ? 1, k ? N * 。可得

所以 ?

? 1 ? ? 是等差数列,公差为 1。 ? qk ? 1 ?

(ii)证明:因为 a1 ? 0, a2 ? 2, 所以 d1 ? a2 ? a1 ? 2 。

所以 a3 ? a2 ? d1 ? 4 ,从而 q1 ?

? 1 ? a3 1 ?2, ? 1 。于是,由(i)可知所以 ? ?是 a2 q1 ? 1 ? qk ? 1 ?
k ?1 1 = 1 ? ? k ?1? ? k ,故 qk ? 。 k qk ? 1

公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得

从而

d k ?1 k ?1 。 ? qk ? dk k dk d d d k k ?1 2 ? k . k ?1 ........ 2 ? . ...... ? k ,由 d1 ? 2 ,可得 d1 d k ?1 d k ?2 d1 k ? 1 k ? 2 1

所以

dk ? 2k 。
于是,由(i)可知 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k , k ? N *
2

以下同证法一。 6.(2010 湖南理)21.(本小题满分 13 分) 数列 ?an ? (n ? N * ) 中, 小值点 (Ⅰ)当 a=0 时,求通项 an ; (Ⅱ)是否存在 a,使数列 ?an ? 是等比数列?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请 说明理由。 是函数 f n ( x) ?

1 3 1 x ? (3an ? n 2 ) x 2 ? 3n 2 an x 的极 3 2

7.(2010 江苏卷)19、(本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 的等差数列。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示); (2) 设 c 为实数, 对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 S m ? S n ? cSk 都成立。求证: c 的最大值为

? S ?是公差为 d
n

9 。 2

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分 析及论证的能力。满分 16 分。

(1)由题意知: d ? 0 ,

Sn ? S1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d

2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3 ? 3(S2 ? S1 ) ? S3 , 3[( a1 ? d )2 ? a1 ]2 ? ( a1 ? 2d )2 ,
化简,得: a1 ? 2 a1 ? d ? d 2 ? 0, a1 ? d , a1 ? d 2

Sn ? d ? (n ? 1)d ? nd , Sn ? n2d 2 ,
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2d 2 ? (n ?1)2 d 2 ? (2n ?1)d 2 ,适合 n ? 1 情形。 故所求 an ? (2n ?1)d 2 (2)(方法一)

Sm ? Sn ? cSk ? m2d 2 ? n2d 2 ? c ? k 2d 2 ? m2 ? n2 ? c ? k 2 , c ?
2 2 2 2 又 m ? n ? 3k且m ? n , 2(m ? n ) ? (m ? n) ? 9k ?

m2 ? n2 恒成立。 k2

m2 ? n 2 9 ? , k2 2

故c ?

9 9 ,即 c 的最大值为 。 2 2

(方法二)由 a1 ? d 及 Sn ?

a1 ? (n ? 1)d ,得 d ? 0 , Sn ? n2d 2 。

于是,对满足题设的 m, n, k , m ? n ,有

S m ? S n ? (m 2 ? n 2 )d 2 ?
所以 c 的最大值 cmax ?

( m ? n) 2 2 9 2 2 9 d ? d k ? Sk 。 2 2 2

9 。 2 9 3 3 另一方面,任取实数 a ? 。设 k 为偶数,令 m ? k ? 1, n ? k ? 1 ,则 m, n, k 符合条件, 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 且 S m ? S n ? (m ? n )d ? d [( k ? 1) ? ( k ? 1) ] ? d (9k ? 4) 。 2 2 2
于是,只要 9k ? 4 ? 2ak ,即当 k ?
2 2

1 2 2 2 时, S m ? S n ? d ? 2ak ? aS k 。 2 2a ? 9

所以满足条件的 c ? 因此 c 的最大值为

9 9 ,从而 cmax ? 。 2 2

9 。 2

2009 年高考题
一、选择题 1. ( 2009 广 东 卷 理 ) 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,?, 且 a5 a ?2 则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? A. n(2n ? 1) B. (n ? 1) 2 C. n
2

5 n?

? 22n n ( ?3 )



D. (n ? 1) 2

2 【解析】 由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an 则 an ? 2 n , log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? an ? 0 , ? 2 2n ,

log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.
【答案】 C 2.(2009 辽宁卷理)设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若

S6 =3 ,则 S3

S9 = S6

A. 2

B.

7 3

C.

8 3

D.3

【解析】设公比为 q ,则

S6 (1 ? q3 ) S3 3 3 =1+q =3 ? q =2 ? S3 S3

S9 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 于是 ? ? ? S6 1 ? q3 1? 2 3
【答案】B 3.(2009 宁夏海南卷理)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。 若 a1 =1,则 s 4 =( A.7 B.8 ) C.15 D.16

【解析】? 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列,

?4a1 ? a3 ? 4a2 ,即4a1 ? a1q2 ? 4a1q,?q2 ? 4q ? 4 ? 0,?q ? 2,S4 ? 15 ,选 C.
【答案】 C 4.(2009 湖北卷文)设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { [
5 ?1 5 ?1 ], 2 2 5 ?1 }, 2

A.是等差数列但不是等比数列

B.是等比数列但不是等差数列

C.既是等差数列又是等比数列 【答案】B 【解析】可分别求得 ? 比数列.

D.既不是等差数列也不是等比数列

? ? 5 ? 1? ? ?? ? 2 ? ? ?

5 ?1 5 ?1 ,[ ] ? 1 .则等比数列性质易得三者构成等 2 2

5.(2009 湖北卷文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16?这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正 方形数的是 A.289 【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 a ?
n

B.1024

C.1225

D.1378

n ( n ? 1) ,同理可得正方形数构成的数 2
n

列通项 bn ? n2 ,则由 bn ? n2 (n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 a ? 故选 C.

n ( n ? 1) 知 an 必为奇数, 2

6..(2009 安徽卷理)已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示

?an ? 的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是
A.21 【答案】 B 【解析】由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a6 =99 得 3a4 ? 99 即 B.20 C.19 D. 18

? an ? 0 得 n ? 20 ,选 B a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? ? an ?1 ? 0
7. (2009 江西卷理) 数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ), 其前 n 项和为 Sn , 则 S30 3 3
D. 510

为 A. 470 【答案】 A 【解析】由于 {cos
2

B. 490

C. 495

n? n? ? sin 2 } 以 3 为周期,故 3 3

12 ? 22 42 ? 52 282 ? 292 2 2 S30 ? (? ? 3 ) ? (? ? 6 ) ? ? ? (? ? 302 ) 2 2 2

? ?[?
k ?1

10

10 (3k ? 2)2 ? (3k ? 1)2 5 9 ?10 ?11 ? (3k )2 ] ? ?[9k ? ] ? ? 25 ? 470 故选 A 2 2 2 k ?1

8.(2009 四川卷文)等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中 项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 【答案】B 【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =10
2

B. 100

C. 145

D. 190

二、填空题

9.(2009 浙江文)设等比数列 {an } 的公比 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



【命题意图】 此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式, 通过对数列知识点的考 查充分体现了通项公式和前 n 项和的知识联系. 答案 15

a1 (1 ? q 4 ) s4 1 ? q4 3 解析 对于 s4 ? , a4 ? a1q ,? ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)
10.(2009 浙江文)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 ,S12 ? S8 ,S16 ? S12 成等差数列.类比以上结论有: 设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , , ,

T16 成等比数列. T12

【命题意图】 此题是一个数列与类比推理结合的问题, 既考查了数列中等差数列和等比数列 的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 答案:

T8 T12 , T4 T8 T8 T12 T16 , 成 , T4 T8 T12

解析 对于等比数列,通过类比,有等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 等比数列.

11.(2009 北京理)已知数列 {an } 满足: a4n?3 ? 1, a4n?1 ? 0, a2n ? an , n ? N? , 则

a2009 ? ________; a2014 =_________.
答案 1,0 解析 本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意,得 a2009 ? a4?503?3 ? 1 , a2014 ? a2?1007 ? a1007 ? a4?252?1 ? 0 . ∴应填 1,0. 12..(2009 江苏卷)设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? 1, 2,?) , 若数列 ?bn ? 有连续四项在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q = 答案 -9 .

解析 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。

?an ? 有连续四项在集合 ??54, ?24,18,36,81? ,四项 ?24,36, ?54,81 成等比数列,公比为
3 q ? ? , 6q = -9 2
13.(2009 山东卷文)在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ . 解析 设等差数列 {an } 的公差为 d ,则由已知得 ?

?

a1 ? 2d ? 7

?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6

解得 ?

? a1 ? 3 ,所以 ?d ? 2

a6 ? a1 ? 5d ? 13 .
答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 14.(2009 湖北卷理)已知数列 ?an ? 满足: a1=m (m 为正整数),

? an ? ,当an为偶数时, 若 a6=1,则 m 所有可能的取值为__________。 an ?1 ? ? 2 ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?
答案 4 5 32

a1 a m m a3 ? 2 ? 为偶, 故 a2 ? 2 2 2 4 m m m m ? 1 ? m ? 32 ①当 仍为偶数时, a4 ? ??????a6 ? 故 8 32 32 4 3 m ?1 m 3 ②当 为奇数时, a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1 ?????? a6 ? 4 4 4 4 3 m ?1 4 故 ? 1 得 m=4。 4 3m ? 1 (2)若 a1 ? m 为奇数,则 a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1 为偶数,故 a3 ? 必为偶数 2 3m ? 1 3m ? 1 ?????? a6 ? ,所以 =1 可得 m=5 16 16
解析 (1)若 a1 ? m 为偶数,则 15. (2009 宁夏海南卷理) 等差数列{ an }前 n 项和为 Sn 。 已知 am?1 + am?1 - a 2 m =0,S2 m?1 =38, 则 m=_______ 解析由 am?1 + am?1 - a 2 m =0 得到
2 2am ? am ? 0, am ? 0, 2又S2 m?1 ?

? 2m ? 1?? a1 ? a2 m?1 ? ?
2

? 2m ? 1? am ? 38? m ? 10 。

答案 10 16.(2009 陕西卷文)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则

an ?

.

解析:由 a6 ? s3 ? 12 可得 ?an ? 的公差 d=2,首项 a1 =2,故易得 an ? 2n. 答案:2n

17.(2009 陕西卷理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a6 ? S3 ? 12 ,则

lim

Sn ? n ?? n 2

.

?a6 ? 12 ?a1 ? 5d ? 12 ?a1 ? 2 S S n ?1 n ?1 解析: ?? ?? ? Sn ? n(n ? 1) ? n ? ? lim n ? lim ?1 ? 2 2 n ?? n n ?? n n n ?d ? 2 ?s3 ? 12 ?a1 ? d ? 12
答案:1

18.(2009 宁夏海南卷文)等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an ,则 { an }的前 4 项和 S4 = 解析 由 an?2 ? an?1 ? 6an 得:q n?1 ? q n ? 6q n?1 ,即 q 2 ? q ? 6 ? 0 ,q ? 0 ,解得:q=2,

1 (1 ? 2 4 ) 1 15 又 a2 =1,所以, a1 ? , S 4 ? 2 = 。 2 2 1? 2 15 答案 2
19.(2009 湖南卷理)将正⊿ABC 分割成 n ( n ≥2,n∈N)个全等的小正三角形(图 2,图 3 分别给出了 n=2,3 的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三遍及 平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别一次成等差数列,若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n),则有 f(2)=2,f(3)=
2

10 1 ,?,f(n)= (n+1)(n+2) 3 6

答案

10 1 , (n ? 1)(n ? 2) 3 6

解析 当 n=3 时,如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示,即由条件知

a ? b ? c ? 1, x1 ? x2 ? a ? b, y1 ? y2 ? b ? c, z1 ? z2 ? c ? a x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? 2(a ? b ? c) ? 2, 2g ? x1 ? y2 ? x2 ? z1 ? y1 ? z2 6g ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? 2(a ? b ? c) ? 2

即g ?

1 1 1 10 而f (3) ? a ? b ? c ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? g ? 1 ? ? ? 3 2 3 3

进一步可求得 f (4) ? 5 。由上知 f (1) 中有三个数, f (2) 中 有 6 个数, f (3) 中共有 10 个 数相加 , f (4) 中有 15 个数相加?.,若 f (n ? 1) 中有 an?1 (n ? 1) 个数相加,可得 f ( n) 中 有 (an?1 ? n ? 1) 个数相加,且由

3 6 3?3 3 10 4 5 f (1) ? 1 ? , f (2) ? ? ? f (1) ? , f (3) ? ? f (2) ? , f (4) ? 5 ? f (3) ? ,... 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 , 所以 可得 f ( n) ? f ( n ? 1) ? 3 n ?1 n ?1 n n ?1 n n ?1 3 f (n) ? f (n ? 1) ? ? f (n ? 2) ? ? ? ... ? ? ? ? ? f (1) 3 3 3 3 3 3 3 n ? 1 n n ?1 3 2 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? 1)(n ? 2) = 3 3 3 3 3 3 6
20.(2009 重庆卷理)设 a1 ? 2 , an ?1 ? 项公式 bn = .

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N ,则数列 ?bn ? 的通 an ? 1 an ? 1

解析

2 ?2 an ?1 ? 2 an ?1 a ?2 由条件得 bn ?1 ? ? ?2 n ? 2bn 且 b1 ? 4 所以数列 ?bn ? 是首 2 an ?1 ? 1 a ? 1 n ?1 an ?1

项为 4,公比为 2 的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 答案 2n+1

三、解答题 21.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分)
x 已知点(1, )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项

1 3

和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? 2009 bn bn?1

解(1) Q f ?1? ? a ?

1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

x

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27
又公比 q ?

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009 1 n ?1 22.(2009 全国卷Ⅰ理)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? n n 2 a (I)设 bn ? n ,求数列 {bn } 的通项公式 n
由 Tn ? (II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 分析:(I)由已知有

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? (II)由(I)知 an ? 2n ?

1 * (n? N ) n ?1 2

n , 2n ?1

? Sn = ? (2k ?
k ?1 n

n

n n k k ) ? (2 k ) ? ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2

n

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

评析: 09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求 前 n 项和, 一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和 一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人 在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.(2009 北京理)已知数集 A ? ?a1, a2 ,?an ??1 ? a1 ? a2 ? ?an , n ? 2? 具有性质 P ;对 任意的

i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1,2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? ? an

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题. (Ⅰ)由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1,2,3,6? , 2 3 1 2 3 6
∴该数集具有性质 P.

(Ⅱ)∵ A ? ?a1 , a2 ,?an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an

由于 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A . 从而 1 ?

an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,?, n? . 由 A 具有性质 P 可知

an ? A ? k ? 1, 2,3,?, n ? . ak

又∵

an a a a ? n ??? n ? n , an an ?1 a2 a1



an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an?1 , n ? an , an an?1 a2 a1 an a a a ? n ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an , an an?1 a2 a1

从而



a1 ? a2 ? ? ? an ? an . ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? ? an a5 a 2 , ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2a4 ? a3 a4 a3

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ,∴ a3a4 ? a2 a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A , 由 A 具有性质 P 可知

a4 ? A. a3

2 ,得 a2a4 ? a3

a3 a4 a a a ? ? A ,且 1 ? 3 ? a2 ,∴ 4 ? 3 ? a2 , a2 a2 a3 a3 a2



a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 ,即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列..k.s.5. a4 a3 a2 a1

24.(2009 江苏卷)设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足

a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 。
(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试求所有的正整数 m ,使得

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。 am ? 2

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满

分 14 分。 (1)设公差为 d ,则 a2 为d
2 2 2 2 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因 ? a5 ? a4 ? a3

? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ?

7?6 d ? 7, 2

解得 a1

? ?5 ,

d ? 2,
(2) (方法一) 则

am am ?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2 m ? 3 ? t , 2m ? 3 am ? 2
所以 t 为 8 的约数

8 am am ?1 (t ? 4)(t ? 2) ? t ? ? 6, = t t am ? 2

(方法二)因为

am am?1 (am? 2 ? 4)(am? 2 ? 2) 8 为数列 ?an ? 中的项, ? ? am? 2 ? 6 ? am? 2 am? 2 am? 2



8 a m+2

为整数,又由(1)知: am?2 为奇数,所以 am?2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1, 2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 。 25(2009 江苏卷)对于正整数 n ≥2,用 Tn 表示关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有
2

实数根的有序数组 ( a, b) 的组数,其中 a, b ??1,2,?, n? ( a 和 b 可以相等);对于随机选 取的 a, b ??1,2,?, n?( a 和 b 可以相等) , 记P n 为关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0
2

有实数根的概率。 (1)求 Tn2 和 Pn2 ; (2)求证:对任意正整数 n ≥2,有 Pn ? 1 ?

1 . n

【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。满分 10 分。

26. (2009 山东卷理)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ? N 均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 证明:对任意的 n ? N

?

, 点 (, nS )n ,

bn ? 2(log2 an ? 1)(n ? N ? )
?

,不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? n ? 1 成立 b1 b2 bn
x

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数的图 像上.所以得 Sn ? bn ? r ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r ,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,又因为{ an }为等比数列,所 以 r ? ?1 ,公比为 b , an ? (b ?1)bn?1 (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则

?

bn ? 2(log2 an ?1) ? 2(log2 2n?1 ?1) ? 2n

bn ? 1 2n ? 1 b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b ? 1 b2 ? 1 ? · · · · · · ·n ? ? ? ? ,所以 1 b1 b2 bn 2 4 6 2n bn 2n b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? ? ? ? ? n ? 1 成立. b1 b2 bn 2 4 6 2n

下面用数学归纳法证明不等式

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

b ? 1 3 5 7 2k ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? ? ? k ? 1 成立. b1 b2 bk 2 4 6 2k

则当 n ? k ? 1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 2k ? 1 2 k ? 3 · · · · · · ·k ? ? ? ? ?? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2

? k ?1 ?

2k ? 3 (2k ? 3) 2 4(k ? 1) 2 ? 4(k ? 1) ? 1 1 ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? ? (k ? 1) ? 1 2k ? 2 4(k ? 1) 4(k ? 1) 4(k ? 1)

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并 运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 27. ( 2009 广 东 卷 理 ) 知曲线 Cn : x2 ? 2nx ? y 2 ? 0(n ? 1, 2,?) . 从点 P(?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为 kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 P n ( xn , yn ) . (1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n ?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn
2 2

解 : ( 1 ) 设 直 线 ln : y ? k n ( x ? 1) ,联立 x ? 2nx ? y ? 0 得
2 2 2 2 2 2 (1 ? k n ) x 2 ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0 ,则 ? ? (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 ? k n )k n ? 0 ,∴

kn ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1

舍去)

2 xn ?

2 kn n n 2n ? 1 n2 , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( xn ? 1) ? ? 2 2 n ?1 n ?1 1 ? k n (n ? 1)

n 1 ? xn n ?1 ? ? ( 2) 证 明 : ∵ n 1 ? xn 1? n ?1 1?

1 2n ? 1

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2n?1 ?

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 1 ? ????? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1 2n ? 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n ?1 ?

1 ? xn 1 ? xn

由于

xn ? yn

1 ? xn 1 ,可令函数 f ( x) ? x ? 2 sin x ,则 f ' ( x) ? 1 ? 2 cos x , ? 2n ? 1 1 ? xn

令 f ' ( x) ? 0 , 得 cos x ?

? ? 2 , 给定区间 (0, ) , 则有 f ' ( x) ? 0 , 则函数 f ( x) 在 (0, ) 上 4 4 2

单调递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 x ?

? 2 sin x 在 (0, ) 恒成立,又 4

0?

1 1 ? ? ? , 2n ? 1 3 4

则有

1 ? xn x 1 1 ,即 ? 2 sin ? 2 sin n . 2n ? 1 2n ? 1 1 ? xn yn
1 2 (an ? 3), n ? N ? . 4

28.(2009 安徽卷理)首项为正数的数列 ?an ? 满足 an ?1 ? (I)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2, an 都是奇数; (II)若对一切 n ? N? 都有 an?1 ? an ,求 a1 的取值范围.

解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运 算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13 分。 解:(I)已知 a1 是奇数,假设 ak ? 2m ?1 是奇数,其中 m 为正整数,

ak 2 ? 3 ? m(m ? 1) ? 1 是奇数。 则由递推关系得 ak ?1 ? 4
根据数学归纳法,对任何 n ? N? , an 都是奇数。 (II)(方法一)由 an ?1 ? an ?

1 (an ? 1)(an ? 3) 知, an?1 ? an 当且仅当 an ? 1 或 an ? 3 。 4
1? 3 32 ? 3 ? 1;若 ak ? 3 ,则 ak ?1 ? ? 3. 4 4

另一方面,若 0 ? ak ? 1, 则 0 ? ak ?1 ?

根据数学归纳法, 0 ? a1 ? 1, ? 0 ? an ? 1, ?n ? N? ; a1 ? 3 ? an ? 3, ?n ? N? . 综合所述,对一切 n ? N? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。

(方法二)由 a2 ?

a12 ? 3 ? a1 , 得 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0, 于是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 4

an?1 ? an ?

an 2 ? 3 an ?12 ? 3 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? ? , 4 4 4 an 2 ? 3 , 所以所有的 an 均大于 0,因此 an?1 ? an 与 an ? an?1 同号。 4

因为 a1 ? 0, an ?1 ?

根据数学归纳法, ?n ? N? , an?1 ? an 与 a2 ? a1 同号。 因此,对一切 n ? N? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 29. (2009 江西卷理) 各项均为正数的数列 {an} ,a1 ? a, a2 ? b , 且对满足 m ? n ? p ? q 的 正整数 m, n, p , q 都有 (1)当 a ?

a p ? aq am ? an ? . (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )

1 4 , b ? 时,求通项 an ; 2 5 1

(2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数 n ,都有 解:(1)由

?

? an ? ?.

a p ? aq am ? an 得 ? (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p)(1 ? aq)

1 4 a1 ? an a2 ? an?1 ? . 将 a1 ? , a2 ? 代入化简得 2 5 (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an?1 )

an ?

2an ?1 ? 1 . an ?1 ? 2

所以

1 ? an 1 1 ? an?1 ? ? , 1 ? an 3 1 ? an?1 1 ? an } 为等比数列,从而 1 ? an

故数列 {

1 ? an 1 3n ? 1 ? n , 即 an ? n . 3 ?1 1 ? an 3
可验证, an ?

3n ? 1 满足题设条件. 3n ? 1

(2) 由题设

am ? an 的值仅与 m ? n 有关,记为 bm?n , 则 (1 ? am )(1 ? an )

bn?1 ?

a1 ? an a ? an ? . (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a)(1 ? an )
a?x ( x ? 0) ,则在定义域上有 (1 ? a)(1 ? x)

考察函数 f ( x) ?

? 1 a ?1 ?1 ? a , ? ? 1 f ( x) ? g (a) ? ? , a ?1 ? 2 ? a ?1 ? a , 0 ? a ? 1 ?
故对 n ? N , bn?1 ? g (a) 恒成立.
*

又 b2 n ?

2an ? g (a ) , (1 ? an ) 2
1 ,解上式得 2

注意到 0 ? g ( a ) ?

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g ( a) 1 ? g ( a ) ? 1 ? 2 g ( a) g (a) ? ? an ? , g (a) g (a) 1 ? g (a) ? 1 ? 2 g ( a)
取? ?

1 ? g ( a ) ? 1 ? 2 g ( a) ,即有 g ( a)

1

?

? an ? ?. .
1 2

n ?1 30. (2009 湖北卷理)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数)。

(Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

n ?1 5n an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 的大小,并予以证明。 n 2n ? 1 1 n ?1 1 解(I)在 S n ? ? an ? ( ) ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 2 2 1 n?2 1 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( ) ? 2, 2 2 1 n ?1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2
(Ⅱ)令 cn ?

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列.

?

于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2
(II)由(I)得 cn ?

n . 2n

5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) Tn ? ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)
于是确定 Tn与

5n n 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1的大小 2n ? 1

由 2 ? 2 ?1 ? 1;22 ? 2 ? 2 ? 1;23 ? 2 ? 3 ? 1;24 ? 2 ? 4 ? 1;25 ? 2 ? 5;K

2 ? 2n ? 1. 证明如下: 可猜想当 n ? 3时,
n

证法 1:(1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 (2) 假设 n ? k ? 1 时 2
k ?1

? 2g2k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ?1) ? 2(k ? 1) ? 1

所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合(1)(2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.
n

证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n?1 n 0 1 n?1 n 2n ? (1 ?1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? K ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1

综上所述,当 n ? 1, 2时 Tn ?

5n 5n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1

31.(2009 四川卷文)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ? 1 成立,记 bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式;

(II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找 出一个正整数 k ;若不存在,请说明理由;
* (III) 记 cn ? b2n ? b 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意正整数 n 都 2 n1 ? (n ? N ) ,

有 Tn ?

3 ; 2

解(I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又? an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1

1 4

? an?1 ? an ? 5an?1 ,即

an?1 1 ?? an 4

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 n 4 ? ( ? ) 1 n 4 (n ? N * ) ∴ an ? (? ) , bn ? ?????????????3 分 1 n 4 1 ? (? ) 4
∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? (II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 (?4) n ?1 1 ? (? ) n 4

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? b2k ?1 ? b2k ? 8 ? ? ? 8? k ? ? 8? k ? 8. (?4)2 k ?1 ? 1 (?4)2 k ? 1 16 ? 1 16k ? 4 (16 ? 1)(16k ? 4) 5
∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k ∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 (III)由 bn ? 4 ? ?????????????8 分
? ?

5 得 (?4) n ? 1

cn ? b2 n?1 ? b2n ?
又 b1 ? 3, b2 ?

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 ? ? ? ? ? 42 n ? 1 42 n?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4) (16n ) 2 ? 3 ?16n ? 4 (16n ) 2 16n

13 4 ,? c2 ? , 3 3 3 当 n ? 1 时, T1 ? , 2
当 n ? 2 时,

1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 48 2 3 1? 16
32.(2009 湖南卷文)对于数列 {un } ,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N ,恒有
*

un?1 ? un ? un ? un?1 ??? u2 ? u1 ? M ,
(Ⅰ)首项为 1,公比为 ?

则称数列 {un } 为 B ? 数列.

1 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; 2

(Ⅱ)设 Sn 是数列 {xn } 的前 n 项和.给出下列两组判断: A 组:①数列 {xn } 是 B-数列, B 组:③数列 {Sn } 是 B-数列, ②数列 {xn } 不是 B-数列; ④数列 {Sn } 不是 B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论;
2 (Ⅲ)若数列 {an } 是 B-数列,证明:数列 {an } 也是 B-数列。

解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为 {an } ,则 an ? ( ? )

1 2

n ?1

.于是

1 1 3 1 an ? an?1 ? (? )n?1 ? (? )n?2 ? ? ( )n?2 , n ? 2. 2 2 2 2

| an?1 ? an | ? | an ? an?1 | ??? | a2 ? a1 |
=

3 ? 1 1 2 1 n -1 ? 1 n? ? = 3 ? ?1 ? ? ?1 ? ? ( )? ? ? ( ) ( ) ? 3. ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? ?

所以首项为 1,公比为 ?

1 的等比数列是 B-数列 2

.

(Ⅱ)命题 1:若数列 {xn } 是 B-数列,则数列 {Sn } 是 B-数列.此命题为假命题. 事实上设 xn =1, n ? N ,易知数列 {xn } 是 B-数列,但 Sn =n,
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? n .
由 n 的任意性知,数列 {Sn } 不是 B-数列。 命题 2:若数列 {Sn } 是 B-数列,则数列 {xn } 不是 B-数列。此命题为真命题。 事实上,因为数列 {Sn } 是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? N ,有
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? M ,
即 | xn?1 | ? | xn | ??? | x2 |? M .于是 xn?1 ? xn ? xn ? xn?1 ? ?? x2 ? x1

? xn?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ??? 2 x2 ? x1 ? 2M ? x1 ,
所以数列 {xn } 是 B-数列。 (注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法) (Ⅲ)若数列 ?an ? 是 B-数列,则存在正数 M,对任意的 n ? N ? , 有

an?1 ? an ? an ? an?1 ? ?? a2 ? a1 ? M .
因为 an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1 ? a1

? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1 ? a1 ? M ? a1 .
2 2 记 K ? M ? a1 ,则有 an ?1 ? an ? (an ?1 ? an )(an ?1 ? an )

? ( an?1 ? an ) an?1 ? an ? 2K an?1 ? an .
2 2 2 2 2 2 因此 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ... ? a2 ? a1 ? 2 KM . 2 故数列 an 是 B-数列.

? ?

33. (2009 陕西卷理) 已知数列 ?xn } 满足, x1=

1 1 xn+1= , n ? N*. 2’ 1 ? xn

? ? ? 猜想数列 {xn } 的单调性,并证明你的结论;

(Ⅱ)证明: | xn ?1 -xn|≤ ( ) 证明(1)由 x1 ?

1 2 6 5

n ?1



1 1 2 5 13 及xn+1 ? 得x2 ? ? x4 ? ,x4 ? 2 1 ? xn 3 8 21

由 x2 ? x4 ? x6 猜想:数列 ? x2 n ? 是递减数列 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,已证命题成立 易知 x2 k ? 0 ,那么 x2 k ? 2 ? x2 k ? 4 ? (2)假设当 n=k 时命题成立,即 x2k ? x2 k ?2

x2 k ?3 ? x2 k ?1 1 1 ? ? 1 ? x2 k ?1 1 ? x2k ?3 (1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?3 )

=

x2 k ? x2 k ? 2 ?0 (1 ? x2 k )(1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?2 )(1 ? x2 k ?3 )

即 x2( k ?1) ? x2( k ?1)?2 也就是说,当 n=k+1 时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 (2)当 n=1 时, xn ?1 ? xn ? x2 ? x1 ?

1 ,结论成立 6

当 n ? 2 时,易知 0 ? xn ?1 ? 1,?1 ? xn ?1 ? 2, xn ?

1 1 ? 1 ? xn?1 2

? (1 ? xn )(1 ? xn?1 ) ? (1 ?

1 5 )(1 ? xn?1 ) ? 2 ? xn?1 ? 1 ? xn?1 2

? xn?1 ? xn ?
?

xn ? xn ?1 1 1 ? ? 1 ? xn 1 ? xn?1 (1 ? xn )(1 ? xn?1 )

2 2 2 2 n-1 xn ? xn ?1 ? ( ) xn ?1 ? xn ? 2 ? ? ? ( ) x2 ? x1 5 5 5 1 2 n-1 ? ( ) 6 5

34.(2009 四川卷文)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ? 1 成立,记 bn ?

4 ? an (n ? N * ) 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找

出一个正整数 k ;若不存在,请说明理由;
* (III) 记 cn ? b2n ? b 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意正整数 n 都 2 n1 ? (n ? N ) ,

有 Tn ?

3 ; 2

解(I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又? an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1

1 4

? an?1 ? an ? 5an?1 ,即

an?1 1 ?? an 4

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 n 4 ? ( ? ) 1 n 4 ∴ an ? (? ) , bn ? ?????????????3 分 (n ? N * ) 1 4 1 ? (? ) n 4
∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? (II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 (?4) n ?1 1 ? (? ) n 4

? b2k ?1 ? b2k ? 8 ?

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? 8 ? ? ? 8 ? ? 8. (?4)2 k ?1 ? 1 (?4)2 k ? 1 16k ? 1 16k ? 4 (16k ? 1)(16k ? 4) 5 ?
?

∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k ∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 (III)由 bn ? 4 ? ?????????????8 分
?

5 得 (?4) n ? 1

cn ? b2 n?1 ? b2n ?
又 b1 ? 3, b2 ?

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 ? ? ? ? ? 42 n ? 1 42 n?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4) (16n ) 2 ? 3 ?16n ? 4 (16n ) 2 16n

13 4 ,? c2 ? , 3 3 3 当 n ? 1 时, T1 ? , 2
当 n ? 2 时,

1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 48 2 3 1? 16
?????????????14 分

35.(2009 天津卷理)已知等差数列{ an }的公差为 d(d ? 0),等比数列{ bn }的公比为 q (q>1)。设 s n = a1b1 + a2b2 ?..+ anbn , Tn = a1b1 - a2b2 +?..+(-1 ) n ?1 anbn ,n ? N (I) 若 a1 = b1 = 1,d=2,q=3,求 S3 的值;
?

(II)

2dq(1 ? q 2 n ) ? 若 b1 =1,证明(1-q) S 2 n -(1+q) T2 n = ,n ? N ; 2 1? q
若正数 n 满足 2 ? n ? q,设 k1 , k2 ,..., kn和l1 , l2 ,..., ln是1 , 2,, ... n 的两个不同的排列,

(Ⅲ)

c1 ? ak1 b1 ? ak2 b2 ? ... ? akn bn , c2 ? al1 b1 ? al2 b2 ? ... ? aln bn 证明

c1 ? c2



本小题主要考查等差数列的通项公式、 等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识, 考 查运算能力,推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分 14 分。 (Ⅰ)解:由题设,可得 an ? 2n ?1, bn ? 3
n?1

, n ? N*

所以, S3 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 1?1 ? 3? 3 ? 5 ? 9 ? 55 (Ⅱ)证明:由题设可得 bn ? qn?1 则

S2n ? a1 ? a2q ? a3q2 ? ..... ? a2nq2n?1,



T2 n ? a1 ? a2 q ? a3q 2 ? a4 q 3 ? ..... ? a2 n q 2 n?1 , S2 n ? T2 n ? 2(a2 q ? a4 q3 ? ... ? a2 n q 2 n?1 )
① 式减去②式,得



① 式加上②式,得

S2n ? T2n ? 2(a1 ? a3q2 ? .... ? a2n?1q2n?2 )
② 式两边同乘 q,得



q(S2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3q3 ? .... ? a2n?1q2n?1 )
所以,

(1 ? q)S2n ? (1 ? q)T2n ? (S2n ? T2n ) ? q(S2n ? T2n )

? 2d (q ? q3 ? K ? q 2 n?1 ) ? 2dq(1 ? q 2 n ) , n ? N* 1 ? q2

(Ⅲ)证明: c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 ? al2 )b2 ? K ? (akn ? aln )bn

? (k1 ? l1 )db1 ? (k2 ? l2 )db1q ? K ? (kn ? ln )db1qn?1
因为 d ? 0, b1 ? 0, 所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K ? (kn ? ln )q n ?1 db1
(1) 若 kn ? ln ,取 i=n (2) 若 kn ? ln ,取 i 满足 ki ? li 且 k j ? l j , i ? 1 ? j ? n 由(1),(2)及题设知, 1 ? i ? n 且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? (ki ? li )q i ?1 db1
① 当 ki ? li 时,得 ki ? li ? ?1,由q ? n,得ki ? li ? q ? 1, i ? 1, 2,3.....i ? 1 即 k1 ? l1 ? q ? 1, (k2 ? l2 )q ? q(q ?1) ?, (ki ?1 ? li ?1 )q 又 (ki ? li )qi ?1 ? ?qi ?1, 所以
i ?2

? qi ?2 (q ?1)

c1 ? c2 1 ? qi ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? K (q ? 1)qi ?2 ? qi ?1 ? (q ? 1) db1 1? q
因此 c1 ? c2 ? 0,即c1 ? c2 ② 当 ki ? li 同理可得 综上, c1 ? c2 36.(2009 四川卷理)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ? 1 成立,记 bn ?

c1 ? c2 ? ?1 ,因此 c1 ? c2 db1

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?bn ? 的通项公式;
* (II)记 cn ? b2n ? b 2 n? 1 (n ? N ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都

有 Tn ?

3 ; 2

(III)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn 。已知正实数 ? 满足:对任意正整数 n, Rn ? ? n 恒成 立,求 ? 的最小值。 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想,以及推理论证、 分析与解决问题的能力。 解:(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ? 又 Q an ? 5an ? 1, an?1 ? 5an?1 ? 1

1 4

1 ? an ?1 ? an ? 5an ?1 , 即an ?1 ? ? an 4 1 1 ? 数列 ?an ? 成等比数列,其首项 a1 ? ? ,公比是 q ? ? 4 4 1 ? an ? (? ) n 4 1 4 ? (? ) n 4 ??????????????..3 分 ? bn ? 1 n 1 ? (? ) 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ? 1

? cn ? b2 n ? b2 n?1 ?

5 5 25 ?16n ? ? 42 n ? 1 42 n?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4)

=

25 ?16n 25 ?16n 25 ? ? (16n )2 ? 3 ?16n ? 4) (16n ) 2 16n

13 4 ,? c1 ? 3 3 3 当 n ? 1时,T1 ? 2 4 1 1 1 当 n ? 2时,Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? K ? n ) 3 16 16 16 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2 4 16 ? ? 25 ? 16 1 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? ......................7分 1 48 2 3 1? 16
又 b1 ? 3, b2 ? (Ⅲ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ? 1
*

一方面,已知 Rn ? ? n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ? 1(k ? N ) 则 Rn ? b1 ? b2 ? K ? b2k ?1

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? K K ? 2 k ?1 ) 4 ? 1 4 ?1 4 ?1 4 ?1 1 1 1 1 1 ? 4n ? 5 ? [ ? 1 ?( 2 ? 3 ) ? K K ? ( 2k ? 2 k ?1 )] 4 ? 1 4 ?1 4 ?1 4 ?1 4 ?1 ? 4n ? 5 ? ( ?
1

> 4n ? 1

??n ? Rn ? 4n ?1,即(? ? 4)n ? ?1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立
?? ? 4, 否则,(? ? 4)n ? ?1只对满足 n ?
1 的正奇数 n 成立,矛盾。 4??

另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn ? 4n 事实上,对任意的正整数 k,有

b2 n ?1 ? b2 n ? 8 ?

5 (?4)
2 k ?1

5 ? 1 (?4) 2 k ? 1 ?

? 8?

5 20 ? k (16) ? 1 (16)k ? 4

? 8?

15 ?16k ? 40 ?8 (16k ? 1)(16k ? 4)

? 当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N * )
则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?1 ? b2m ) < 8m ? 4 n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N * ) 则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 < 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n

? 对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n
综上所述,正实数 ? 的最小值为 4??????????.14 分 37.(2009 年上海卷理)已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。 (1) 若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N ,有
*

am ? am?1 ? ak ? 说明理由;
(2) 找出所有数列 ?an ? 和 ?bn ? ,使对一切

n? N* ,

an ?1 ? bn ,并说明理由; an

(3) 若 a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p , 使数列

?an ? 中存在某个连续 p 项的和是数列 ?bn ? 中的一项,请证
明。 [解法一](1)由 am ? am?1 ? ak ,得 6m ? 5 ? 3k ? 1 , 分 整理后,可得 k ? 2m ? ......2

4 ? ,? m 、 k ? N ,? k ? 2 m 为整数, 3
......5

? 不存在 m 、 k ? N ? ,使等式成立。

分 (2)若

an ?1 a1 ? nd ? bn ,即 ? b1q n?1 , a1 ? (n ? 1)d a

(*)

(ⅰ)若 d ? 0, 则 1 ? b1qn?1 ? bn 。 当{ an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。 分 (ⅱ)若 d ? 0 ,(*)式等号左边取极限得 lim ......7

a1 ? nd ? 1 ,(*)式等号右边的极限 n ?? a ? ( n ? 1) d 1

只有当 q ? 1 时,才能等于 1。此时等号左边是常数,? d ? 0 ,矛盾。 综上所述, 只有当{ an }为非零常数列, { bn }为恒等于 1 的常数列, 满足要求。 . . . . . .10 分 【解法二】设 an ? nd ? c, 若

an?1 ? bn , 且?bn ? 为等比数列 an



an? 2 an?1 / ? q, 对n ? N *都成立,即an an? 2 ? qa 2 n?1 an?1 an

?(dn ? c)(dn ? 2d ? c) ? q(dn ? d ? c)2 对n ? N *都成立, ?a2 ? qd 2 ....7分
(i) (ii) 若 d=0,则 an ? c ? 0,?bn ? 1, n ? N * 若 d ? 0, 则q=1,?bn ? m (常数)即
*

dn ? d ? c ? m ,则 d=0,矛盾 dn ? c

综上所述,有 an ? c ? 0, bn ? 1, 使对一切n ? N , (3) an ? 4n ? 1, bn ? 3n , n ? N *

an?1 ? bn , an

10 分

设 am?1 ? am?2 ? ??? a m? p ? bk ? 3 , p、k ? N , m ? N .
k *

4(m ? 1) ? 1 ? 4(m ? p) ? 1 p ? 3k , 2

? 4m ? 2 p ? 3 ?

3k ,? p、k ? N *,? p ? 35 , s ? N . p
2 s ?2

13 分

取 k ? 3s ? 2,4m ? 3

? 2 ? 3s ? 3 ? (4 ? 1)2s?2 ? 2 ? (4 ? 1) s ? 3 ? 0,

15 分

由二项展开式可得正整数 M1、M2,使得(4-1)

2s+2

=4M1+1,

2 ? (4 ?1) s ? 8M 2 ? (?1) s 2, ?4m ? 4(M1 ? 2M 2 ) ? (?1) s ? 1 2,?存在整数m满足要求 .
故当且仅当 p=3 ,s ? N 时,命题成立.
s

?

?

说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分) 若 p 为偶数,则 am+1+am+2+??+am+p 为偶数,但 3 为奇数 故此等式不成立,所以,p 一定为奇数。 当 p=1 时,则 am+1=bk,即 4m+5=3 , 而 3 =(4-1)
k k k k

0 1 = Ck ? 4k ? Ck ? 4k ?1 ? (?1) ? ??? Ckk ?1 ? 4 ? (?1)k ?1 ? Ckk ? (?1)k ? 4M ? (?1)k , M ? Z ,

当k为偶数时,存在m,使4m+5=3 成立 当 p=3 时,则 am+1+am+2+am+3=bk,即 3am+2-bk, 也即 3(4m+9)=3 ,所以 4m+9=3 ,4(m+1)+5=3
k k-1 k-1

k

1分

由已证可知,当 k-1 为偶数即 k 为奇数时,存在 m, 4m+9=3 成立 当 p=5 时,则 am+1+am+2+??+am+5=bk,即 5am+3=bk

k

2分

也即 5(4m+13)=3 ,而 3 不是 5 的倍数,所以,当 p=5 时,所要求的 m 不存在 故不是所有奇数都成立. 2分

k

k

38.(2009 重庆卷理)设 m 个不全相等的正数 a1 , a2 ,?, am (m ? 7) 依次围成一个圆圈. (Ⅰ)若 m ? 2009 ,且 a1 ,a2 , ? , a1005 是公差为 d 的等差数列,而 a1 , a2009 , a2008 ,?, a1006 是

公比为 q ? d 的等比数列;数列 a1 , a2 ,?, am 的前 n 项和 Sn (n ? m) 满足:

S3 ? 15, S2009 ? S2007 ? 12a1 ,求通项 an (n ? m) ;
(Ⅱ)若每个数 an (n ? m) 是其左右相邻两数平方的等比中项,求证:
2 2 a1 ? ?? a6 ? a7 ? ?? am ? ma1a2am ;

解: (I)因 a1 ,a2009 ,a 2 0 0 8

, ??? , a 1 0 0 6

是公比为 d 的等比数列,从而 a2000 ? a1d , a2008 ? a1d

2



S2009 ? S2008 ? 12a1 得a2008 ? a2009 ? 12a 1 ,故
解得 d ? 3 或 d ? ?4 (舍去)。因此 d ? 3



S3 ? 3a1 ? 3d ? 15 。解得 a1 ? 2

从而当 n ? 1005 时,

an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 3(n ?1) ? 3n ?1
当 1006 ? n ? 2009 时,由 a1 , a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列得

an ? a1d 2009?(n?1) ? a1d 2010?n (1006 ? n ? 2009)
因此 an ? ?

?3n ? 1, n ? 1005 ?2 ? 3
2009 ? n

,1006 ? n ? 2009

2 2 2 2 2 2 2 2 (II)由题意 an ? an ?1an?1 (1 ? n ? m), am? am?1a1 , a1 ? ama2 得

      ①  ?an ? an ?1an ?1 (1 ? n ? m), ? ?am ? am ?1a1         ② ?a ? a a           ③ m 2 ? 1
有①得 a3 ?

a2 a 1 1 , a4 ? , a5 ? , a6 ? 1 a3 a1 a2 a2



由①,②,③得 a1a2 ??? an ? (a1a2 ??? an )2 , 故 a1a2 ??? an ? 1 . 又 ar ?3 ? ⑤

ar ? 2 ar ?1 1 1 ? ? ? (1 ? r ? m ? 3) ,故有 ar ?1 ar ar ?1 ar

ar ?6 ?

1 ? ar (1 ? r ? m ? 6) .⑥ ar ?3

下面反证法证明: m ? 6 k 若不然,设 m ? 6k ? p, 其中 1? p ? 5 若取 p ? 1 即 m ? 6k ? 1 ,则由⑥得 am ? a6k ?1 ? a1 ,而由③得 am ?

a1 a , 故a1 ? 1 , a2 a2

得 a2 ? 1, 由②得 am?1 ?

am , 从而a6 ? a6 k ? am?1 , 而 a1

a6 ?

a1 , 故a1 ? a2 ? 1,由 ④及⑥可推得 an ? 1 ( 1 ? n ? m )与题设矛盾 a2

同理若 P=2,3,4,5 均可得 an ? 1 ( 1 ? n ? m )与题设矛盾,因此 m ? 6 k 为 6 的倍数 由均值不等式得

a1 ? a2 ? a3 ? K ? a6 ? (a1 ?

a a 1 1 ) ? (a2 ? ) ? ( 2 ? 1 ) ? 6 a1 a2 a1 a2

由上面三组数内必有一组不相等(否则 a1 ? a2 ? a3 ? 1 ,从而 a4 ? a5 ? K ? am ? 1 与题设 矛盾),故等号不成立,从而 a1 ? a2 ? a3 ? K ? a6 ? 6 又 m ? 6 k ,由④和⑥得
2 2 2 2 2 2 a7 ? K ? am ? (a7 ? K ? a12 ) ? K ? (a6 k ?5 ? K ? a6 k ) 2      =(k-1)  (a12 ? K ? a6 )

     =(k-1)  (a12 ?
因此由⑤得

1 1 1 2 2 +a2 ? 2 +a3 ? 2 ) ?6(k-1) 2 a1 a2 a3

2 2 a1 ? a2 ? a3 ? K ? a6 ? a7 ? K ? am ? 6 ? 6(k ?1) ? 6k ? m ? ma1a2a3 K am

2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 江西卷)在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n 答案 A 2.(2007 福建)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? A.1 答案 B
2

1 n



B. 2 ? (n ? 1) ln n

C. 2 ? n ln n

D. 1 ? n ? ln n

1 ,则 S5 等于( n(n ? 1)
D.



B.

5 6

C.

1 6

1 30

3.(2007 宁夏)已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则

ad 等于(
A.3 答案 B

) B.2 C.1 D. ?2

二、填空题 5.(2008 江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 4 7 3 5 8 6 9 10

. . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 答案 .

n2 ? n ? 6 2

6.(2008 湖北)观察下列等式:

?i ? 2 n
i ?1 n

n

1

2

1 ? n, 2

?i
i ?1 n

2

1 1 1 ? n3 ? n2 ? n, 3 2 6 1 1 1 ? n 4 ? n3 ? n 2 , 4 2 4 1 1 1 1 ? n5 ? n4 ? n3 ? n, 5 2 3 30 1 1 5 1 ? n 6 ? n5 ? n 4 ? n 2 , 6 2 12 12 1 1 1 1 1 ? n7 ? n6 ? n5 ? n3 ? n, 7 2 2 6 42

?i
i ?1 n

3

?i
i ?1 n

4

?i
i ?1 n

5

?i
i ?1

6

??????????????

?i
i ?1

n

k

? ak ?1nk ? 2 ? ak n k ? ak ?1nk ?1 ? ak ?2 n k ?2 ? ??? ? a1n ? a0 ,
1 1 , ak ? , ak ?1 ? k ?1 2

* 可以推测,当 x ≥2( k ? N )时, ak ?1 ?

ak ?2 ?

.

答案

k 12

0
2

7.(2007 重庆)设{ an }为公比 q>1 的等比数列,若 a2004 和 a2005 是方程 4 x 8 x ? 3 ? 0 的两 根,则 a2006 ? a2007 ? _____. 答案 18

三、解答题 9.(2008 全国 I)设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) . (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 是增函数; (Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

(Ⅰ)证明: f ( x) ? x ? x ln x , f ' ? x ? ? ? ln x,当x ? ? 0,1?时,f ' ? x ? ? ? ln x ? 0 故函数 f ? x ? 在区间(0,1)上是增函数; (Ⅱ)证明:(用数学归纳法)(i)当 n=1 时, 0 ? a1 ? 1, a1 ln a1 ? 0 ,

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1
1) 是增函数,且函数 f ( x) 在 x ? 1 处连续,则 f ( x) 在区间 (0, 1] 是增 由函数 f ( x ) 在区间 (0,
函数, a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? 1 ,即 a1 ? a2 ? 1成立; (ⅱ)假设当 x ? k (k ? N *) 时, ak ? ak ?1 ? 1 成立,即 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 那么当 n ? k ? 1 时,由 f ( x ) 在区间 (0, 1] 是增函数, 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 得

f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (1) .而 an?1 ? f (an ) ,则 ak ?1 ? f (ak ), ak ?2 ? f (ak ?1 ) ,

ak ?1 ? ak ?2 ? 1 ,也就是说当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 ? 1 也成立;
根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数 n , an ? an?1 ? 1 恒成立. (Ⅲ)证明:由 f ( x) ? x ? x ln x . an?1 ? f (an ) 可

a ? b ? a ? b ? a ln a ? a1 ? b ? ? ai ln ai k ? 1 k k k
i ?1

k

1, 若存在某 i ≤ k 满足 ai ≤ b ,则由⑵知: ak ?1 ? b ? ai ? b ≥ 0 2, 若对任意 i ≤ k 都有 ai ? b ,则 a ? b ? a ? b ? a ln a k ? 1 k k k

a ? b ? ka ln b ? a1 ? b ? ? ai ln ai ? a1 ? b ? ? ai ln b ? a1 ? b ? (? ai ) ln b ? 1 1
i ?1 i ?1 i ?1

k

k

k

? a ? b ? ka ln b ? a ? b ? ( a ? b ) ? 0 ,即 ak ?1 ? b 成立. 1 1 1 1
10.(2008 山东卷)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
??

a9

a10

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,?构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数列{bn}的前 n 项和, 且满足=

2bn 1=(n≥2). bn S N ? S 2 n
1 }成等差数列,并求数列{bn}的通项公式; Sn

(Ⅰ)证明数列{

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为 同一个正数.当 a81 ? ?

4 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和. 91

第二部分

四年联考题汇编

2013-2014 年联考题 一.基础题组 1.【张掖二中 2013—2014 学年度高三月考试卷(11 月)高
三 数 学
(理科)

】数列{ an }

1 ? 2an (0 ? an ? ), ? 6 ? 2 满足 an ?1 ? ? 若 a1 = ,则 a2014 的值是( 7 ?2a ? 1( 1 ? a ? 1), n n ? ? 2
A.



6 7

B.

5 7

C.

3 7

D.

1 7

2.【黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷数学试卷(理)】已
知公比为 q 的等比数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 满足 2S1 ? S3 ? 3S2 , 则公比 q 的值为 .

3.【黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷数学试卷(理)】 (本 小题满分 10 分) 正项数列 ?an ? 满足: an ? (2n ? 1)an ? 2n ? 0 .
2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)令 bn ?

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Tn . (n ? 1)an

4.【黑龙江省双鸭山一中 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题】若 {an } 为等差数列,

Sn 是其前 n 项和,且 S11 ?
A. 3 B. ? 3

22? ,则 tan a6 的值为( 3
C. ? 3



D. ?

3 3

5.【黑龙江省双鸭山一中 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题】已知等差数列 {an } ,

{bn } 的前 n 项和为 Sn , Tn ,若对于任意的自然数 n ,都有
a9 a3 ? = b5 ? b7 b4 ? b8

S n 2n ? 3 ? 则 Tn 4n ? 3

.

6.【银川九中 2014 届高三年级第 4 次月考试卷(理科试卷)】已知数列 ?an ? 是等差数列, 且 a1 ? a4 ? a7 ? 2? ,则 tan( a3 ? a5 ) 的值为( A. 3 B. ? 3 )

C.

3 3

D. ?

3 3

7. 【银川九中 2014 届高三年级第 4 次月考试卷 (理科试卷) 】 已知实数 a, b, c, d 成等比数列, 且对函数 y ? ln x ? x ,当 x ? b 时取到极大值 c ,则 ad 等于( A ﹣1 B.0 C.1 ) 2 D.

8.【银川九中 2014 届高三年级第 4 次月考试卷(理科试卷)】已知正项等比数列{ an }的前
n

项和为 Sn ,且 a1a2 ? 2,a 2 a3 ? 8 ,则 S10 = __________.

二.能力题组 1.
【黑龙江省大庆实验中学 2013--2014 学年度上学期期中考试高三理科数学试题】(本

小题满分 12 分) 数列 {an } 满足: a1 ?

1 n ?1 , an ?1 ? an , 记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 2 2n

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求 Sn 【答案】(1) an ? n ( ) ;(2) S n ? 2 ? ( )
n

1 2

1 2

n ?1

1 ? n( ) n . 2

【解析】 试题分析:(1) 由已知得

an ?1 1 an a ? ,可见数列 { n } 为等比数列,利用等比数列通项公式 n ?1 2 n n

求解即可;(2)利用错位相减法解答即可.

2.【黑龙江省双鸭山一中 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题】(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, an ? an?1 ? 4n (n ? 2) (1) 求证:数列 ?an ? 的奇数项,偶数项均构成等差数列; (2) 求 ?an ? 的通项公式; (3) 设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . 2n

(II)由 a1 ? 3, an ? an?1 ? 4n (n ? 2) , 讨论研究 a2n?1 ? 4n ?1 ? 2(2n ?1) ? 1, a2n ? 4n ? 1 ? 2(2n) ? 1 ,得到 an ? 2n ? 1.

(III) bn ?

an 2 n ? 1 2n ? 5 ? ,利用“错位相消法”可得, S n ? 5 ? n n 2 2 2n

3.【银川九中 2014 届高三年级第 4 次月考试卷(理科试卷)】在等差数列 ?a n ?中,a1 ? 3 , 其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 ,

q?

S2 . b2
1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . Sn

(1)求 a n 与 b n ;(2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

Sn ?

n ? 3 ? 3n ? 1 2 2?1 1 ? ,则 cn ? ? ? ? ? ? ,接着利用裂项相消法,求出 Tn 2 Sn n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ?

4.【银川九中 2014 届高三年级第 4 次月考试卷(理科试卷)】已知 ?an ? 是正数组成的数列,

a1 ? 1 ,且点 ( an,an?1 )(n ? N* ) 在函数 y ? x2 ? 1 的图象上.
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
2 (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? 2 n ,求证: bn ? bn?2 ? bn ?1 . a

(Ⅱ)因为 bn?1 ? bn ? 2 n ,即 bn?1 ? bn ? 2 ,利用迭加法求出 bn ? 2 ?1 ,再作差比较
a

n

n

2 n n? 2 bn ? bn?2 ? bn ?1) ? (2n?1 ?1)2 ,化简得出 ?1 ? (2 ?1)(2

? (22n?2 ? 2n?2 ? 2n ? 1) ? (22n?2 ? 2? 2n?1 ? 1)
? ?5 ? 2n ? 4 ? 2n ? ?2n ? 0 ,所以得证.

5.【云南省昆明市 2014 届高三上学期第一次摸底调研测试理科试卷】(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 ; a 4 是 a 2 与 a8 的等比中项. (I)求数列 ?an ? 的通项公式: (II)若 an?1 ? an .求数列 {2n?1 ? an } 的前 n 项和. 【答案】(I)当 d ? 0 时, an ? 4 ;当 d ? 2 时, an ? 2n ;(II) Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 . 【解析】

2012-2013 年联考题
1.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科】(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=2,3Sn= 5an ? 4an?1 ? 3Sn?1 (n ? 2) (I)求数列an的通项公式; (Ⅱ)若 bn=n·an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
a 【答案】 解: (Ⅰ)3Sn ? 3Sn?1 ? 5an ? 4an?1 (n≥2) ,? an ? 2an ?1 , n ? 2 , ?????? an ?1

(3 分) 又? a1 ? 2 ,?{an }是以2为首项, (4 分) 2为公比的等比数列,???????????

? an ? 2 ? 2n?1 ? 2n . ?????????????????????????? (5 分)
(Ⅱ) bn ? n ? 2n ,

Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n, 2Tn ? 1 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 . ?????????????????( 8

分) 两式相减得: ?Tn ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ,

??Tn ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 ,???????????????(11 分) 1? 2

(12 分) ?Tn ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1 .????????????????????????? 2.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】 (本题 12 分) 在等差数列 ?a n ?中,a1 ? 3 , 其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 ,

q?

S2 . b2
(1)求 a n 与 b n ;(2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . Sn

【答案】解:(1)设 ?an ? 的公差为 d .

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? 2, ? ? q b ? 2 ?
解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍), d ? 3 . 故 an ? 3 ? 3? n ?1? ? 3n , bn ? 3n?1 . (2)由(1)可知, Sn ? 所以 cn ?

n ? 3 ? 3n ? , 2

1 2 2?1 1 ? ? ? ? ? ?. Sn n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ?

故 Tn ?

2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? ? 3 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 1?

3.【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】 (本小题满分 12 分)已知单调递增 的等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an log1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,求 Sn ? n ? 2n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最
2

小值。 【答案】解:(Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q,

依题意,有 ( 2 a3 ? 2) ? a2 ? a4 , 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28, 得 a3 ? 8,? a2 ? a4 ? 20 ??????????2 分

1 ? 3 ? ?q ? 2 ?a1q ? a1q ? 20 ?q ? 解之得 ? ??????????4 分 ?? 或? 2 2 ? ?a1 ? ? ?a3 ? a1q ? 8 ?a1 ? 32
又 ?an ? 单调递增,?q ? 2,?a1 ? 2,?an ? 2
n

????????????6 分

(Ⅱ) bn ? 2 n ? log 1 2 n ? ? n ? 2 n ,????????????7 分
2

??sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n

① ②

??2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n2n?1
? ① - ② 得 sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ?
10 分
n?1 n?1 ?sn ? n ? 2n?1 ? 50 ,? 2 ? 2 ? 50,? 2 ? 52

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 1? 2

又 当n ? 4时, 2

n?1

? 25 ? 32 ? 52 , ??????????11 分

2 当 n ? 5 时,

n?1

? 26 ? 64 ? 52 .故使 sn ? n ? 2n?1 ? 50, 成立的正整数 n 的最小值为 5. ?

4.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 S1 , 2S2 , 3S3 成等差数列,且 S 4 ? 【答案】

40 求数列 ?an ? 的通项公式. 27

5.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)】(本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,首项为 a1 ,且 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an ? ( ) n ,设 cn ?
2

1 , an , S n 等差数列. 2

1 2

b

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an
1 , an ? 0 2
??????1 分

【答案】解(1)由题意知 2an ? S n ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ?

1 1 ? a1 ? 2 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ? 2an ? , S n ?1 ? 2an ?1 ? 2 2
两式相减得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ??????3 分 整理得:

an ?2 an ?1

????????4 分

∴数列 ?an ? 是以

1 为首项,2 为公比的等比数列. 2 1 an ? a1 ? 2 n ?1 ? ? 2 n?1 ? 2 n ?2 ????????5 分 2
2 ?bn

(2) an ? 2

? 22n?4

∴ bn ? 4 ? 2n ,????????6 分

Cn ?
Tn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n

8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? ① 2 2 2 2 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①-②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ??????9 分 2 2 2 2 2 n?1 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 16 ? 8n 2 ? 4 ? 8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4?( 4 1 ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 4n ? n .?????????????????????11 分 2

? Tn ?

8n . ?????????????????????????12 分 2n

6. 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】 (本题满分 12 分)数列 {an } 的前 n 项的和为 Sn ,对于任意的自然数 an ? 0 , 4 S n ? ? an ? 1? (Ⅰ)求证:数列 {an } 是等差数列,并求通项公式 (Ⅱ)设 bn ?
2

an ,求和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 3n
------------------1 分

【答案】解 :(1)令

(2)-(1) --------------------------3 分 是等差数列 ------------------------5 分 ----------------------------6 分

(2)

---①---------------------8 分

---②

①-②

----------10 分

所以

-------------------------------12 分

7. 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】 (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是

等比数列,公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn , 且

S3 7 ? , a4 ? 4, a2 2

数列{bn }满足 : bn ?

1 , n ? log 2 an?1

(Ⅰ)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn bn?1} 的前 n 项和为 Tn ,求证

1 1 ? Tn ? (n ? N *). 3 2

【答案】解 :

----------------4 分

-----------------------------------------5 分

-----------------------6 分

(2)设

------8 分

=

----------------------------10 分

因为

,所以

----------12 分

8.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】(本小题满分 12 分) 设 {an } 是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a22 ? 10 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 {bn } 是以函数 y ? 4sin (? x ? ) ? 1 的最小正周期为首项, 以 3 为公比的等比数列,
2

1 2

求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . 【答案】

9.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x 的图象是曲线 C ,点 An (an , f (an ))(n ? N* ) 是曲线 C 上的一系列点, 曲线 C 在点 An (an , f (an )) 处的切线与 y 轴交于点 Bn (0, bn ) . 若数列 ?bn ? 是公差为 2 的等 差数列,且 f (a1 ) ? 3 . (Ⅰ)分别求出数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 O 为坐标原点, Sn 表示 ?OAn Bn 的面积,求数列 ?an Sn ? 的前 n 项和 Tn . 【答案】解:(Ⅰ)? f ? ? x ? ?

1 , x

? 曲线 C 在点 An ? an , f ? an ?? 处的切线方程: y ? ln an ?
令 x ? 0 ? y ? ln an ?1 ,

1 ? x ? an ? an

? 该切线与 y 轴交于点 Bn ? 0, bn ? ,?bn ? ln an ? 1???????????????3 分

10.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理)】(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,且 a3 ? 1是a1 ? 1与a7 ? 1 的等比中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? 【答案】

an ? 1 n ? N ? ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn. ? n 2

11. 【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 设数列{a n }的前 n 项和为 S n , 且满足 S n =2-a n ,n=1,2,3,? (1)求数列{a n }的通项公式;(4 分) (2)若数列{b n }满足 b 1 =1,且 b n?1 =b n +a n ,求数列{b n }的通项公式;(6 分) (3)设 C n =n(3- b n ),求数列{ C n }的前 n 项和 T 【答案】(1)a 1 =S 1 =1
n

。(6 分) S
n?1

n≥2 时,S n =2-a n

=2-a

n?1

a n =a n +a n?1 (2)b n?1 -b n =(

2a n = a n?1

∵a 1 =1 1分

an 1 = a n ?1 2

∴a n =(

1 n ?1 ) 2

1 n ?1 ) 2

1 ? b2 ? b1 ? ( ) 0 ? 2 ? 1 1 ? b3 ? b2 ? ( ) ? 2 ? 1 n?2 ? bn ? bn ?1 ? ( ) ? 2 ?
∴b n =3-

∴b n -b 1 =(

1 1 n?2 )+??+( ) = 2 2

1?

1

2 n ?1 =2- 1 1 2 n?2 1? 2
1 n?2 ) 2

1 2
n?2

∵b 1 =1 成立

∴b n =3-(

(3)C n =n(

1 n?2 ) 2

1分

T n =1×(

1 ?1 1 0 1 n?2 ) +2( ) +??+n( ) 2 2 2

1 1 0 1 n?2 1 n ?1 T n =1×( ) +??+(n-1) ( ) +n( ) =2+ 2 2 2 2


1?

1

2 n ?1 -n( 1 ) n ?1 =2+21 2 1? 2

1 n?2 1 n ?1 ) -n( ) 2 2 1 n n?2 ∴T n =8- n ? 3 - n ? 2 =8- n ? 2 2 2 2
已知:数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2an ? n , (n ? N * ) . (Ⅰ)求: a1 , a2 的值; (Ⅱ)求:数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且满足 bn ? nan (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的
*

12.【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理)】(本小题满分 13 分)

前 n 项和 Tn . 【答案】 解:(Ⅰ)

S n ? 2an ? n
?????2 分

令 n ? 1 ,解得 a1 ? 1 ;令 n ? 2 ,解得 a2 ? 3 (Ⅱ)

S n ? 2an ? n

所以 S n?1 ? 2an?1 ? (n ? 1) ,( n ? 2, n ? N * ) 两式相减得 an ? 2an?1 ? 1 所以 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ,( n ? 2, n ? N * ) 又因为 a1 ? 1 ? 2 所以数列 ?an ? 1? 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列 ?????6 分 所以 an ? 1 ? 2 n ,即通项公式 an ? 2 n ? 1 ( n ? N )
*

?????4 分 ?????5 分

?????7 分

(Ⅲ) bn ? nan ,所以 bn ? n(2 n ? 1) ? n ? 2 n ? n 所以 Tn ? (1? 21 ? 1) ? (2 ? 22 ? 2) ? (3 ? 23 ? 3) ? ? ? (n ? 2n ? n)

Tn ? (1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ??9 分

令 S n ? 1? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n

① ②

2S n ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
①-②得

? S n ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1
? Sn ? 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 1? 2
?????11 分

S n ? 2(1 ? 2n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1
n ?1 所以 Tn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ?

?????12 分

n(n ? 1) 2

??13 分

13.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)】(本小题满分 13 分) 设等差数列 (1)若 (2)若 【答案】 (Ⅰ)由 又 故解得 因此, 的通项公式是 1,2,3,?, 的首项 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. ,求数列 的通项公式; 求所有可能的数列 的通项公式.

(Ⅱ)由





由①+②得-7d<11,即

由①+③得

, 即

,

于是 将 4 代入①②得 又 ,故



,故

.

所以,所有可能的数列

的通项公式是 1,2,3,?.

14.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)】(本小题满分 14 分) 已知函数 (1)求 的最小值; ( 为自然对数的底数).

(2)设不等式 实数 的取值范围 (3)已知 于 0 的等比 ,且

的解集为

,若

,且

,求

,是否存在等差数列

和首项为

公比大

数列

, 使得

?若存在, 请求出数列

的通项公式. 若不存在,

请说明理由. 【答案】 (1) 由 当 ;当

(2)



有解





上有解





上减,在[1,2]上增



,且

(3)设存在公差为

的等差数列

和公比

首项为

的等比数列

,使

?? 10 分



时,

故 ②-①×2 得, 解得 (舍)



,此时

满足

存在满足条件的数列

?? 14 分

15.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)】(本小题满分 14 分)

已知 A(

,

),B(

,

)是函数

的图象上的任意两点(可以重

合),点 M 在 直线 上,且 + 的值及 ,当 . + 的值 时, = , + 为数列{ + + ,求 ; ,

(1)求 (2)已知

(3)在(2)的条件下,设

}的前 项和,若存在正整数 、

使得不等式

成立,求 和

的值.

【答案】 (Ⅰ)∵点 M 在直线 x= 又 ∴ + = =1. = 时, 时, = , ,即

上,设 M

. , ,

① 当 ② 当

+ ,

=



+

=

+

=

=

=

综合①②得, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 ∴ n≥2 时,

+ +

. =1 时, ,k= + + + + . , ①

, ①+②得,2 当 n=1 时, (Ⅲ) = = =-2(n-1),则 =0 满足 , =1+ =1-n. =1-n. = .



=1-n. ∴ +

.

=2∴



=

-2+

=2-



, 、m 为正整数,∴c=1,

当 c=1 时,



∴1< <3, ∴m=1. 16.【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】(本题满分 12 分)已知数 列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an ? an?1 ? 2an?1 ? 1 (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求证:数列 ?

? 1 ? ? 是等差数列,并求出 ?an ? 的通项公式。 ? an ? 1 ?

【答案】(1)? an ? an?1 ? 2an?1 ? 1, 又a1 ? 3 ∴ a2 ?

5 7 9 , a3 ? , a 4 ? ___________________________3 分 3 5 7

(2)证明:易知 an?1 ? 0 ,所以 a n ? 2 ?

1 _____________________4 分 a n?1

当 n ? 2时,

1 1 ? ? a n ? 1 a n ?1 ? 1

1 1 ? 1 a n ?1 ? 1 (2 ? ) ?1 a n ?1 1 ? 1 a n ?1 ? 1

? 1?

1 a n ?1

=

a n?1 1 ? a n?1 ? 1 a n?1 ? 1

=1 所以 ?

? 1 ? 1 为首项以 1为公差的等差数列__________8 分 ?是以 a1 ? 1 ? a n ? 1?
1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? __________________10 分 an ? 1 2 2
2 2n ? 1 ?1 ? __________________________12 分 2n ? 1 2n ? 1

(3)由(2)知

所以 a n ?

17.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】(本小题满分 12 分)在数 列 ?an ?中,已知 a1 ?

1 an?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N * ) . 4 an 4 4

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 ?bn ?是等差数列; (Ⅲ)设数列 ?cn ?满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ?的前 n 项和 Sn . 【答案】解:(Ⅰ)∵ ∴数列{ an }是首项为
a n ?1 1 ? an 4

1 1 ,公比为 的等比数列, 4 4

1 ∴ an ? ( ) n (n ? N * ) .????????????????????????????3 分 4

(Ⅱ)∵ bn ? 3 log1 an ? 2 ????????????????????????? 4 分
4

∴ bn ? 3 log1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 .??????????????????????? 5 分
2

1 4

∴ b1 ? 1 ,公差 d=3 ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列.????????????????7 分
1 (Ⅲ)由(Ⅰ)知, an ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 (n ? N * ) 4

1 ∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N * ) .????????????????????????8 分 4 1 1 1 1 1 ∴ S n ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 于是 S n ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4

① ②

??????????????????????????????????? 9 分

3 1 1 1 1 1 两式①-②相减得 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4 1 1 = ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 .???????????????????????????11 分 2 4

∴ Sn ?

2 12n ? 8 1 n?1 ? ? ( ) (n ? N * ) .?????????????????????12 分 3 3 4

2011-2012 年联考题
一、选择题

(x ?
1.(2011 湖南嘉禾一中) 若 的系数为 A.6 答案 B. ( ) B.7 C.8

1 n ) 2 x 的展开式中的二项式系数之和为 256,则展开式中 x4
D.9

a 2.(四川成都市玉林中学 2010—2011 学年度)等差数列 ? n ? 中,若

a 4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 S15 的值为:
(A)180 答案 C. (B)240 (C)360 (D)720

3.(四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理)已知

{an } 是首项为 1 的等比数列, s n 是

?1? ? ? ?an ? 的前 n 项和,且 9s3 ? s6 ,则数列 ? an ? 的前 5 项和为(
15 A. 8 或 5
答案 C.



31 B. 16 或 5

31 C. 16

15 D. 8

4 . ( 四 川 省 成 都 外 国 语 学 校 2011 届 高 三 10 月 理 ) 已 知 数 列

{an } , 若

a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 , a4 ? a3 ,?, an ? an?1 是公比为 2 的等比数列,则 {an } 的前 n 项和 S n 等
于( ) B. a1 (2 ? n)
n

1 a1 [a n ? (n ? 1)] 2 A.

C. a1[2

n ?1

? (2n ? 1)]

D. a1[2

n?1

? (n ? 2)]

答案 D 5 .(四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理)

{an } 是等差数列,首项 a1 >0,


a2003 ? a2004 ? 0 ,a2003 ? a2004 ? 0 , S ? 0 成立的的最大正整数n是 则使前 n 项和 n (
A.2003 B.2004 答案 C C.4006 D.4007

6 .(四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理)设函数
x?

y?

x2 ? x ? n x2 ? x ? 1 ( x ? R ,且

n ?1 , n ? N* b c ? (1 ? an )(1 ? bn ) c a 2 )的最小值为 n ,最大值为 n 若 n ,则数列{ n }是

( ) A.公差不等于 0 的等差数列 C.常数列 答案 C.

B.公比不等于 1 的等比数列 D.以上都不是

7. (四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理)已知函数 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的单调 函数,且对任意的正数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,若数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且
* 满足 f (Sn ? 2) ? f (an ) ? f (3)(n ? N ) ,则 a 3 =(


9 C. 4 4 D. 9

A. 9 答案 C.

3 B. 2

8. (浙江省桐乡一中 2011 届高三理)在等差数列 {a n } 中,若前 5 项和 S 5 ? 20 ,则 a3 等于 (A)4 (B)-4 答案 A. (C)2 (D)-2

9.(四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理)已知等比数列{

am }中,各项都是正数,

a9 ? a10 1 ? a3 , 2a2 a a ? a 2 1 7 8 且 , 成等差数列,则
A. 1 ? 2 答案 C. 10. (浙江省吴兴高级中学 2011 届高三文)在等差数列 B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2 2

{an } 中, a3 ? 3a8 ? a13 ? 120 ,则

a3 ? a13 ? a8 ?
(A)24

(

) (C)20 (D) ? 8

(B)22

答案 A. 11. (广东省湛江一中 2011 届高三理) 设 成等比数列,则

?an ? 是公差不为 0 的等差数列,a1 ? 2 且 a1, a3 , a6

?an ? 的前 n 项和 Sn =
n 2 5n ? 3 B. 3 n 2 3n ? 4 C. 2
D. n ? n
2

n2 7n ? 4 A. 4
答案 A.

12. (福建省四地六校联考 2011 届高三文) 在等比数列 A.3 B.4 C.12 D.16 答案 B. 13.(广东省湛江一中 2011 届高三 10 月月考理) 设

a a a ? 8, {an } 中, aa 已知 1 3 11 那么 2 8 =

?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1, a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn =
n 2 5n ? 3 B. 3 n 2 3n ? 4 C. 2
D. n ? n
2

n2 7n ? 4 A. 4
答案 A.

14.(2011 湖南嘉禾一中)设 x ? R, 如果a ? lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) 恒成立,那么 ( ) A. a ? 1 答案 D. 15 . ( 成 都 市 玉 林 中 学 2010 — 2011 学 年 度 ) 等 差 数 列 B.a>1 C. 0 ? a ? 1 D.a<1

?an ? 中 , 若

a 4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 1 2 ,则 0 S15 的值为:
(A)180 答案 C. (B)240 (C)360 (D)720

16.(四川成都市玉林中学 2010—2011 学年度)在重庆召开的“市长峰会”期间,某高校 有 14 名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班,每班 4 人,每人每天最多值一班, 则开幕式当天不同的排班种数为

(A)

12 4 C14 A12 A84

(B)

12 4 C14 C12C84

12 4 C14 C12C84 3 A3 (C)

(D)

12 4 3 C14 C12C84 A3

答案 B .解:有 14 名志愿者,但每天早、中、晚三班,每班 4 人,只需 12 人,所以应先从 14 人中选出 12 人,然后这 12 人再来分组排班。 故选 B
12 4 4 ? C14 C12C84C4

f ( x) ?
17.(成都市玉林中学 2010—2011 学年度)函数 (A) (1, 2) ? (2,3) (B) (??,1) ? (3, ??)

1 log2 (? x ? 4 x ? 3) 的定义域为
2

(C)(1,3) (D)[1,3]

f ( x) ?
答案 A. 解: 故选 A

2 ? 1 ?? x ? 4 x ? 3 ? 0 ?1 ? x ? 3 ? ?? ? 2 log 2 (? x 2 ? 4 x ? 3) ? x ? 4 x ? 3 ? 1 ? ?x ? 2 ?

18. (江苏泰兴市重点中学 2011 届)若函数

f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3)(a ? 0且a ? 1) ,满足

对 任 意 的 x1 、 x2 , 当 ___________ 答案, (1, 2 3) ,

x1 ? x2 ?

a 2 时 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为

19.(江西省 2011 届文)集合 A ? {0, 2, a}, B ? {1, a }, 若A ? B ? {0,1, 2, 4,16} ,则 a 的
2

值为( A.0 答案 D.

) B.1

C.2

D.4

20.(江西省 2011 届理)已知 a ? 1 , 0 ? x ? y ? 1 , 则下列关系式中正确的是
x y Aa ? a



) D
logx a ? logy a

a a Bx ? y

loga x ? loga y

答案 D. 21. ( 江 苏 省 2011 届 数 学 理 ) 右 图 是 函 数 f ( x) ? x ? ax ? b 的 部 分 图 象 , 则 函 数
2

g ( x) ? l n x? f? ( x的零点所在的区间是 )





1 1 ( , ) A 4 2 1 ( ,1) 2

B (1, 2)

D (2,3)

答案 B.

f ( x) ?
22.(四川省成都市 2011 届高三理)函数 A. (1, 2) ? (2,3) C.(1,3) 答案 A.

1 log2 (? x ? 4 x ? 3) 的定义域为
2

B. (??,1) ? (3, ??) D.[1,3]

a 23.(四川省成都市 2011 届高三文)等差数列 ? n ? 中,若 a 4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,

1 a9 ? a10 2 的值为: 则
A.10 答案 C. B.11 C.12 D.14

24.(浙江省杭州市高级中学 2011 届高三考文)函数 的定义域是 A?
x | x ? 6?

f (x) ? x ? 3 ? log 2 ?6 ? x ?
) D?
x | ?3 ≤ x ? 6?

( B?
x | ?3 ? x ? 6?

?x | x ? ?3?

答案 D。 25.(四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月文)在等差数列{ a n }中, 则
sin(2a 4 ?
3 A. 2

a 2 ? a6 ?

3 ? 2 ,

?

) 3 =(


1 B. 2
? 3 2

C.

D.

?

1 2

答案 D. 26.(浙江省桐乡一中 2011 届高三文) 若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,有 S 8 ? S 3 ? 10 , 则 S11 的值为( (A)12 (C)22 答案 C. ) (B)18 (D)44

27.(山西省四校 2011 届高三文) 设 Sn 为等比数列 A. -11 答案 D. B. -8 C. 5

{a }的前 n 项和, 8a2+a5=0,则
n

S5 S2
= ( )

D. 11
x

f ( x) ? a ? | loga x | 的零点个数 28.(福建省福州八中 2011 届高三理)已知 0 ? a ? 1 ,函数


A.2 答案 A.

B.3

C.4

D.2 或 3 或 4

29.(福建省四地六校联考 2011 届高三理)关于 x 的方程 内,则实数 a 的取值范围是( )

log1 ( x ? a) ? x ? 2 ? 0
2

的根在 (1,2)

A.

(1, 2)

B.

(?1, 1)

C.

(0, 1)

1 ( , 1) D. 2

答案 B. 30.(广东省湛江一中 2011 届高三 10 月月考理) 函数

y ? ? loga ( x ? 1) (0<a<1)的图象大致是

A. B. C. 答案 C. 31. (广西桂林中学 2011 届高三 11 月月考试题理.)

D.



a ? 2 0.5 , b ? log ? 3, c ? log 2 sin
B.

2? 5 ,则(

) D. b ? a ? c

A. c ? b ? a

b?c?a

C. a ? b ? c

答案 32.(广西桂林中学 2011 届高三 11 月月考试题文)
n?1 * )在 点 ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 设 曲 线 y ? x ( n? N

xn

,则

log x ? ... 2010 1 l o g2 0 x 1 0 ? 2 . . .?
A. 答案 B. 二、填空题

l o2 g x 010

2009 的值为(

) D.1

? log 2010 2009

B. ?1

C.

( ? log2010 2009? ?1

33.(江苏泰兴市重点中学 2011 届文)已知等差数列 答案 11. 34. (江苏泰兴市重点中学 2011 届文) 已知等差数列 满足

?an ? 中,若 a3 ? a11 ? 22 ,则 a7 ?

?b ? ?an ? , a ? 3, a5 ? 9 , 满足 2 若数列 n

b1 ? 3, bn?1 ? abn
n

,则

?bn ?

的通项公式

bn ?

答案 2 ? 1 ,

35. (四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理) 设{ 和

an }为公比 q>1 的等比数列, a 若 2004

a2005 是方程 4 x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则

a2006 ? a2007 ? __________。
答案 18. 36.(浙江省桐乡一中 2011 届高三文)观察下列等式: 2 2 3 9 3 9 4 16 4 16 ? 2 ? 4; ? 2 ? 4; ? 3 ? ; ? 3 ? ; ? 4 ? ; ? 4 ? 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ; … ,根据这些等式反映的结 果,可以得出一个关于自然数 n 的等式,这个等式可以表示为 n?1 n?1 ? (n ? 1) ? ? (n ? 1)(n ? N *) n 答案 n 37. (广东省广州东莞五校 2011 届高三理) 已知等比数列 .

?an ? 的前三项依次为 a ? 1 ,a ? 1 ,

a ? 4 ,则 an ?



?3? 4?? ? ?2? 答案

n ?1

38. (浙江省吴兴高级中学 2011 届高三文) 已知数列

{an } 是等比数列, a ? 0 ,a1 ? 1 , 且 n

a2 a3 a4 ? 8 ,则数列 {an } 的公比 q ?
答案

.

2

39.(河北省唐山一中 2011 届高三理).给出下列命题 (1)“数列

?an ?为等比数列”是“数列 ?an an?1 ?为等比数列”的充分不必要条件.

"函数f ( x) ? x ? a ? ?) 上为增函数”的充要条件. (2)“ a ? 2 ”是 在区间 [2,
(3) m ? 3 是直线 (m ? 3) x ? my ? 2 ? 0 与直线 m x ? 6 y ? 5 ? 0 互相垂直的充要条件. (4)设 a, b, c 分别是 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边,若 a ? 1, b ? 3 .则 A ? 30? 是 B ? 60? 的 必要不充分条件. 其中真命题的序号是 答案 (1)(4) (写出所有真命题的序号)

40. (江苏泰兴市重点中学 2011 届文) 已知等比数列 成等差数列,则公比 答案

?an ?

1 a1 , a3 , 2a2 2 中, 各项都是正数, 且

q ? __________.

q ? 1? 2

41.(2011 湖南嘉禾一中)对正整数 n,设曲线 y ? x (1 ? x)在x ? 2 处的切线与 y 轴交点
n

的纵坐标为 (i)

an ,

an =
{

an } (ii)数列 n ? 1 的前 n 项和 Sn=
答案 (i) (n ? 1)2 (3 分);
n

(ii) 2

n ?1

? 2 (2 分)

42.(江苏泰兴 2011 届高三文)已知-7, a1 , a2 ,-1 四个实数成等差数列,-4, b1 ,

a2 ? a1 b2 , b3 ,-1 五个实数成等比数列,则 b2 =__________.
答案 -1

( x2 ?
43 .(四川成都市玉林中学 2010 — 2011 学年度)在 是 答案 -252 。

1 ? 2)5 x2 的展开式中,常数项

( x2 ?
解:

1 1 1 1 r 10 ? r r ? 2)5 ? [( x ? )2 ]5 ? ( x ? )10 ? Tr ?1 ? C10 x (? ) r ? (?1) r C10 (r )10? 2 r 2 x x x x

5 r ? 5 ? T5?1 ? (?1)5 C10 ? ?252

44 . ( 江 苏 泰 兴 市 重 点 中 学 2011 届 文 ) 已 知

f ? x ? ? ln? x ? 1? ?

2 x 的零点在区间

?k , k ? 1??k ? N ? 上,则 k 的值为
答案 1.
2 45 . ( 江 苏 泰 兴 市 重 点 中 学 2011 届 理 ) 函 数 y ? lg( x ? 2 x) 的 定 义 域 是

____________________. 答案 (??,0) ? (2, ??) 46.(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)已知函数

f ( x) ? loga ( x ? 1) 的定义域和值域都是

?0,1? ,则实数 a 的值是
答案 2.

________

y?
47. (江苏泰兴市重点中学 2011 届理) 函数 答案

x2 ( x ? R) x2 ? 1 的值域为________________.

? ?0 , 1

48. (浙江省杭州市高级中学 2011 届高三文)已知 a ? 1 , 0 ? x ? y ? 1 ,则下列关系式中正 确的是
x y Aa ? a


a a Bx ? y


loga x ? loga y

D

logx a ? logy a

答案 D. 49.(江苏省 2011 高三理)已知 答案 3.

f ( x) ?| log3 x | ,若 f (a) ? f (2) ,则 a 的取值范围是
1

a1 , a3 , 2a2 ?a ? 2 50.(江苏泰兴 2011 届高三文)已知等比数列 n 中,各项都是正数,且 成
等差数列,则公比 答案 q ? 1 ? 2
2 51.(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)已知 f ( x) ? lg(? x ? 8x ? 7) 在 (m, m ? 1) 上是增函

q ? __________.

数,则 m 的取值范围是 答案



1 ? m ? 3。

三 解答题 52.(四川成都市玉林中学 2010—2011 学年度)(本题满分 12 分) 已知数列

?an ?是等差数列, a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12 ?an ?的通项公式;
? 数列?an ?是等差数列

(1)求数列 (2)令

bn ? 3an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn.

答案 解(1)

由a1 ? a 2 ? a3 ? 12, 得  3a 2 ? 12,? a 2 ? 4 又a1 ? 2,? 公差d ? a 2 ? a1 ? 4 ? 2 ? 2, 所以数列?a n ? 的通项公式为 a n ? 2n
(2)

bn ? 3 2 n ? 9 n ,

?bn ?是首项为9,公比q ? 9的等比数列, 所以数列
数列?bn ? 的前n项和S n ? 9 1 ? 9n 9 ? 9n ? 1 1? 9 8

bn?1 9 n?1 ? n ? 9, bn 9

?

?

?

?

?1 ? a ? ?1, cos x ?, b ? ? , sin x ?, x ? ?0, ? ? ?3 ? 53.(江苏泰兴市重点中学 2011 届)(14 分)已知
sin x ? cos x (1)若 a // b ,求 sin x ? cos x 的值;
(2)若 a ? b ,求 sin x ? cos x 的值。 答案 (本题满分 14 分)

? a / / b ? sin x ?
解:(1)

1 1 cos x ? tan x ? 2 3 ????3 分

1 ?1 sin x ? cos x tan x ? 1 3 ? ? ? ? ?2 sin x ? cos x tan x ? 1 1 ?1 3 ????6 分
?a ? b ?
(2)

1 1 ? sin x cos x ? 0 ? sin x cos x ? ? 3 3 ????8 分 5 3 ????10 分

? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x ?

? x ? (0, ? )且 sin x cos x ? 0 ? x ? ( , ? ) ? sin x ? cos x ? 0 2 又 ??12 分

?

? sin x ? cos x ?

15 3 ??????14 分

54 . ( 江 苏 泰 兴 市 重 点 中 学 2011 届 ) ( 16 分 ) 已 知 数 列
2 ? cn ? an ? an ?1 n ? N 2

?an ? 是 等 差 数 列 ,

?

?

(1)判断数列 ( 2 )如果 数列

?cn ?是否是等差数列,并说明理由;

a1 ? a3 ? ? ? a25 ? 130, a2 ? a4 ? ? ? a26 ? 143? 13k ?k为常数? ,试写出

?cn ?的通项公式;

(3)在(2)的条件下,若数列

?cn ?得前 n 项和为 S n ,问是否存在这样的实数 k ,使 S n

当且仅当 n ? 12 时取得最大值。若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由。 答案 解:(1)设

{an } 的公差为 d ,则

2 2 2 2 cn?1 ? cn ? (an ?1 ? an? 2 ) ? (an ? an ?1 ) 2 2 2 ? 2an ?1 ? (an?1 ? d ) ? (an?1 ? d )

? ?2d 2

? 数列 {cn } 是以 ?2d 为公差的等差数列????4 分
2

(2)

? a1 ? a3 ? ? ? a25 ? 130

a2 ? a4 ? ? ? a26 ? 143 ? 13k

? 两式相减: 13d ? 13 ? 13k
? d ? 1 ? k ????6 分

?13a1 ?

13(13 ? 1) ? 2d ? 130 2

? a3 ? ?2 ? 12k ????8 分 ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? (1 ? kn ? (13k ? 3))
2 2 ? cn ? an ? an ?1 ? (an ? an?1 )(an ? an?1 )

? 26k 2 ? 32 ? 6 ? (2n ? 1)(1 ? k 2 ) ? ?2(1 ? k )2 ? n ? 25k ? 30k ? 5 ????10 分

S (3)因为当且仅当 n ? 12 时 n 最大
? 有c12 ? 0, c13 ? 0 ????12 分
??24(1 ? k ) 2 ? 25k ? 30k ? 5 ? 0 ?k 2 ? 18k ? 19 ? 0 ? ? ?? 2 ? 2 2 ??36(1 ? k ) ? 25k ? 30k ? 5 ? 0 ? ?k ? 22k ? 21 ? 0 ?



?k ? 1或k ? ?19 ?? ? k ? ?19或k ? 21 ?k ? 21或k ? 1 ????15 分

55. (山东省实验中学 2011 届高三文理)已知数列

?an ?的首项 a1 ? 2a ? 1( a 是常数,且

2 2 a ? ?1 ), an ? 2an?1 ? n ? 4n ? 2 ( n ? 2 ),数列 ?bn ? 的首项 b1 ? a , bn ? an ? n

( n ? 2 )。 (1)证明: (2)设

?bn ?从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列;

S n 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,且 ?S n ? 是等比数列,求实数 a 的值;

n ?a ? (3)当 a ? 0 时,求数列 n 的最小项.(提示:当 n ? 3 时总有 2 ? 2n ? 1 )

答案 解:(1)∵ ∴

bn ? an ? n 2

bn?1 ? an?1 ? (n ? 1) 2 ? 2an ? (n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) ? 2 ? (n ? 1) 2 ? 2an ? 2n 2 ? 2bn (n≥2)



a1 ? 2a ? 1得 a2 ? 4a , b2 ? a2 ? 4 ? 4a ? 4 ,

∵ a ? ?1 ,∴ 即

b2 ? 0 ,

{bn } 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。

(4a ? 4)(2n?1 ? 1) Sn ? a ? ? ?3a ? 4 ? (2a ? 2)2n 2 ?1 (2)

Sn (2a ? 2)2n ? 3a ? 4 3a ? 4 ? ? 2? n ?1 S (2a ? 2)2 ? 3a ? 4 (a ? 1)2n?1 ? 3a ? 4 当 n≥2 时, n?1

{S } ∵ n 是等比数列, ∴ S n ?1 (n≥2)是常数,
∴ 3a ? 4 ? 0 ,即

Sn

a??

4 3 。

(3)由(1)知当 n ? 2 时,

bn ? (4a ? 4)2n?2 ? (a ?1)2n ,

?2a ? 1 (n ? 1) an ? ? n 2 ?(a ? 1)2 ? n (n ? 2) , 所以

n ? 2, an?1 ? an ? (a ? 1) ? 2n ? (2n ? 1) ? n ? 3有2n ? 2n ? 1

? n ? 3时an?1 ? an
显然最小项是前三项中的一项。

1 a ? (0, ) 4 时,最小项为 8a ? 1 ; 当 a?


1 4 时,最小项为 4 a 或 8a ? 1 ;

1 1 a?( , ) 4 2 时,最小项为 4 a ; 当 a?


1 2 时,最小项为 4 a 或 2a ? 1 ;

1 a ? ( , ??) 2 当 时,最小项为 2a ? 1 。
56.(2011 湖南嘉禾一中)(本小题满分 12 分) 已知{ 上, (1)求数列{ (2)若数列{

an }是整数组成的数列,a1 = 1,且点 ( an , an?1 )(n ? N *) 在函数 y ? x 2 ? 1 的图象 an }的通项公式;
2 bn }满足 b1 = 1, bn?1 ? bn ? 2 an ,求证: bn ? bn?2 ? bn ?1

答案 解:由已知得 所以数列{ 即

an?1 ? an ? 1,

an }是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列;(2 分)

an =1+ (n ? 1) ? 1 ? n ??????????4 分
bn?1 ? bn ? 2 an ? 2 n ????????6 分

(2)由(1)知

bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1
? 2 n?1 ? 2 n?2 ? 2 n?3 ? ? ? 2 ? 1

?

1 ? 2n ? 2n ? 1 1? 2 ??????????8 分
2

bnbn?2 ? bn?1 ? (2n ? 1)(2n?2 ? 1) ? (2n?1 ? 1) 2
? ?5 ? 2 n ? 4 ? 2 n ? ?2 n ? 0 ????????10 分

所以:

bn ? bn?2 ? bn?1 ??????????12 分
设f ( x ) ? loga 1 ? mx 为奇函数 x ?1 ,

2

57 .(江苏泰兴市重点中学 2011 届)(16 分)

g( x) ? f ( x) ? loga ? ?( x ?1)(ax ?1)? ?
( a>1,且 m ? 1 ) (1) 求 m 值 , (2) 求 g(x)的定义域; (3) 若
? 5 3? ?? , ? ? g(x)在 ? 2 2 ? 上恒正,求

a 的取值范围。

答案 (1) f ( x ) 是奇函数,

f ( x) ? ? f (? x) log a

1 ? mx 1 ? mx ?x ?1 ? ? log a ? log a x ?1 ?x ?1 1 ? mx

?

1 ? mx ? x ? 1 2 ? , x ? 1 ? (mx) 2 ? 1 x ? 1 1 ? mx

? (m2 ? 1) x2 ? 0, 又m ? 1,? m ? ?1
f ( x) ? log a x ?1 x ?1 , g ( x) ? log a ? log a [( x ? 1)( ax ? 1)] x ?1 x ?1

(2)由(1)

?( x ? 1)(ax ? 1) ? 0 1 ? x ? ?1或x ? 1(a ? 1, ? ? ?1) ? a x 必须满足 ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0
? g ( x) 的定义域为 {x : x ? ?1或x ? 1}
5 3 a ? 1, g ( x)在[ ? , ? ] 2 2 上恒正, (3)

( x ? 1)(ax ? 1) ? 1 ? ax ? 1 ?


1 x ?1

? ax ? ?

x x ?1

? a ? ?

1 x ?1

5 3 1 ? x ? [? , ? ],?? ?? 2 2 x ?1

? a 的取值范围是(2,+∞)

1 ? 2,? a ? 2 3 (? ) ? 1 2
{x | x ? 2a ? 0} x ? (a 2 ? 1) .

58. (江苏省 2011 理) 已知集合 A= {x | ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0} , B= ⑴当 a=2 时,求 A ? B; ⑵求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.

答案 33. 解:(1)当 a=2 时,A=(2,7),B=(4,5)∴ A ? B=(4,5).

1 (2)∵ B=(2a,a2+1),当 a< 3 时,A=(3a+1,2)
? 2a ? 3a ? 1 ? 2 a ?1 ? 2 要使 B ? A,必须 ? ,此时 a=-1;

1 1 当 a= 3 时,A= ? ,使 B ? A 的 a 不存在; 当 a> 3 时,A=(2,3a+1)
? 2a ? 2 ? 2 a ? 1 ? 3a ? 1 ? 要使 B A,必须 ? ,此时 1≤a≤3.

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1} 59.(江苏泰兴 2011 届高三理)

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2n 2 . 设 n 为大于 1 的自然数,求证: n ? 1 n ? 2 n ? 3 ?
答案 34.证明:(放缩法)

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? n ?1 n ? 2 2n 2n 2n 2n 2

??? ? ???? ???? ? DA , DC , DD 1 为单位正交基底,建立如图所示的空 解:不妨设正方体的棱长为 1,以
间直角坐标系 D-xyz,则各点的坐标为 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),

1 1 A1 (1,0,1), C1 (0,1,1),E( 2 ,1,0), F(0 , 2 ,0)
60 . ( 四 川 省 成 都 外 国 语 学 校 2011 届 高 三 10 月 理 ) ( 14 分 ) 已 知 函 数

f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax2 ? 1
(1)讨论函数 f ( x) 的单调性;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 | x1 ? x2 | (2)设 a ? ?1 ,如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) , ,求 a 的取值
范围。

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 f '( x) ? ? 2ax ? x x 答案 (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为(0,+∞). .
当 a ? 0 时, f '( x) >0,故 f ( x ) 在(0,+∞)单调增加; 当 a ? ?1 时, f '( x) <0,故 f ( x ) 在(0,+∞)单调减少;

当-1< a <0 时,令 f '( x) =0,解得

x? ?

a ?1 2a .

x ? (0, ?
则当

a ?1 a ?1 ) x ?( ? , ??) 2a 时, f '( x) >0; 2a 时, f '( x) <0. a ?1 a ?1 ) ( ? , ??) 2a 单调增加,在 2a 单调减少.

故 f ( x) 在

(0, ?

(Ⅱ)不妨假设

x1 ? x2 ,而 a <-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而

?x1, x2 ? (0, ??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2
等价于

?x1, x2 ? (0, ??) , f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ? 4 x1
令 g ( x) ? f ( x) ? 4 x ,则



g '( x) ?

a ?1 ? 2ax ? 4 x

①等价于 g ( x) 在(0,+∞)单调减少,即

a ?1 ? 2ax ? 4 ? 0 x .

a?
从而

?4 x ? 1 (2 x ? 1) 2 ? 4 x 2 ? 2 (2 x ? 1) 2 ? ? ?2 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1

故 a 的取值范围为(-∞,-2]。 61. (四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月文) (12 分)数列 {an } 的各项均为正数,Sn
bn ? 1 a 2 n ?1 ? a 2 n ?3

为其前 n 项和,对于任意的 n ? N ,总有 an , S n , a 成等差数列,又记
*

2 n



(1)求数列 {an } 的通项公式;
m * { b } (2)求数列 n 的前 n 项和 Tn,并求使 Tn> 150 对 n ? N 都成立的最大正整数 m 的值。
2 ?2S n ? an ? an ? 2 2S ? an?1 ? an ?1 (n ? 2) 答案 解:(1)∵ ? n?1 ,相减得 an ? an?1 ? 1 ,∴ an ? n

bn ?

(2)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) a2 n?1a 2 n?3 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 n ( ? ) ∴Tn= 2 2n ? 1 2n ? 3 = 6n ? 9

Tn ?1 6n 2 ? 15n ? 9 ? 6n 2 ? 15n >1 ∵ Tn

∴ Tn ?1 > T n

∴ T n 最小值

T1 ?

1 15

1 m ∴ 15 > 150

∴ m <10
x a ( x ? 2) ,且 f ( x) ? x

∴最大正整数 m =9
f ( x) ?

62.(四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月文) (14 分)设 有唯一解,
f ( x1 ) ? 1 1003 , xn?1

? f ( xn )(n ? N * ) 。

(1)求实数 a ; (2)求数列 {xn } 的通项公式;
an ? 4 ? 4009 xn

(3)若

1 b , b ? b , b ? b , ? , b ? b n n?1 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, ,数列 1 2 1 3 2

记 cn ? anbn ,求 {cn } 的前 n 项和。
x ?x a ( x ? 2)

答案 解:(1)
xn ?1 ? 2 xn xn ? 2

2 ∴ ax ? (2a ? 1) x ? 0 有唯一解 x ? 0



a?

1 2

(2)



1 1 1 ? ? xn ?1 xn 2



1 1 1 n ? 2004 ? ? (n ? 1) ? xn x1 2 2



xn ?

2 n ? 2004

3 1 bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn?1 ) ? (1 ? n ) 2 3 (3) an ? 2n ? 1 ,又 3 2n ? 1 cn ? anbn ? (2n ? 1 ? n ) 2 3 ∴
2 ∵ T1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 1 ? n

T2 ?

1 3 2n ? 1 n ?1 ? 2 ? ?? n ?1? n 3 3 3 3

3 n ?1 S n ? (n 2 ? 1 ? n ) 2 3 ∴
2 63. (浙江省桐乡一中 2011 届高三文) 本小题满分 (15 分) 已知函数 f ( x) ? ln(x ? a) ? x ? x

在 x ? 0 处取得极值. (1)求实数 a 的值;

5 f ( x) ? ? x ? b 2 (2)若关于 x 的方程 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取 值范围;

ln
(3)证明:对任意正整数 n,不等式

n ?1 n ?1 ? 2 n n 都成立.

答案 解:(1)

f ?( x) ?

1 ? 2 x ? 1, x?a

? x ? 0 时, f ( x) 取得极值,
? f ?(0) ? 0,

(3 分)

1 ? 2 ? 0 ?1 ? 0 故 0?a ,解得 a=1,
经检验 a=1 符合题意.

5 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x 2 ? x,由f ( x) ? ? x ? b, 2 (2)由 a=1 知 3 ln(x ? 1) ? x 2 ? x ? b ? 0, 2 得


? ( x) ? ln(x ? 1) ? x 2 ? x ? b,

3 2

5 f ( x) ? ? x ? b在[0,2] 2 则 上恰有两个不同的实数根等价于

? ( x) ? 0 在[0,2]上恰有两个不同的实数根。
? ?( x) ?
1 3 ?(4 x ? 5)( x ? 1) ? 2x ? ? , x ?1 2 2( x ? 1)

? 当 x ? (1,1)时, ? ( x) ? 0, 于是? ( x)在(0,1) 上单调递增

? 当 x ? (1,2)时, ? ( x) ? 0, 于是? ( x)在(1,2) 上单调递减。
?? (0) ? ?b ? 0, ? 3 ? ?? (1) ? ln(1 ? 1) ? 1 ? ? b ? 0, 2 ? ? ? ( 2 ) ? ln( 1 ? 2 ) ? 4 ? 3 ? b ? 0, 依题意有 ?

? ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ?

1 . 2

2 (3) f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ? x 的定义域为 {x | x ? ?1},

由(1)知 令

f ?( x) ?

? x(2 x ? 3) , x ?1 3 2 (舍去),

f ?( x) ? 0得, x ? 0或x ? ?

?当 ? 1 ? x ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增;
? 当 x>0 时, f ( x) ? 0, f ( x) 单调递减。

? f (0)为f ( x)在(?1,??) 上的最大值。

? f ( x) ? f (0), 故 ln(x ? 1) ? x 2 ? x ? 0 (当且仅当 x=0 时,等号成立)

1 ?0 n 对任意正整数 n,取 得, 1 1 1 n ?1 n ?1 ln( ? 1) ? ? 2 , 故 ln ? 2 . n n n n n x?
64. (浙江省吴兴高级中学 2011 届高三文) 已知数列 点
? ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 对任意的 n ? N ,

(n, Sn ) ,均在函数 f ( x) ? 2x 的图像上.

(Ⅰ)求数列

?an ? 的通项公式;

1 1 1 1 10 ? ? ??? ? b ? log2 an ,求使 b2b4 b4b6 b6b8 b2 nb2 n? 2 21 成立的 n 的最大值. (Ⅱ)记 n
答案 解:(Ⅰ)由题意得 所以

S n ? 2n

,则

Sn?1 ? 2n?1 (n ? 2)

an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 (n ? 2) ?????????????5 分
n ?1 n?2
???????????????7 分

?2 an ? ? n ?1 a ? S1 ? 2 所以 ?2 又 1

n ?1 ?1 bn ? log 2 an ? ? ?n ? 1 n ? 2 所以 (Ⅱ)因为
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) b2 nb2 n? 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 ??9 分
1 1 1 1 ? ? ?? ? b2b4 b4b6 b6b8 b2 nb2 n ? 2 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? (1 ? ) 2n ? 1 则 2 ?


1 1 10 (1? )? 2n ? 1 21得 n ? 10 ?? 14 所以 2

1 1 1 1 10 ? ? ??? ? b b b4b6 b6b8 b2 nb2 n? 2 21 成立的 n 的最大值为 9. ?15 分 所以使 2 4
65 .(浙江省吴兴高级中学 2011 届高三文)已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 图象上一点
2

P(2, f (2)) 处的切线方程为 y ? ?3x ? 2ln 2 ? 2.
(1)求 a , b 的值;

?1 ? ? , e? (2)若方程 f ( x) ? m ? 0 在 ? e ? 内有两个不等实根, 求 m 的取值范围(其中 e 为自然对数的
底数)

a a f’ (x)= ? 2bx, f ’ (2)= ? 4b, f (2)=a ln 2 ? 4b x 2 答案 40.解:(1) a ? -4b ? ?3, 且aln2-4b=-6+2ln2+2 2 ……………………………………………4 分
解得: a ? 2, b ? 1 ……………………………………………………………………7 分 (2) f (x) ? 2ln x ? x ,令h(x) ? f (x)+m ? 2ln x ? x ? m
2 2

2 2(1 ? x 2 ) h’ (x) ? -2x ? , 令h’ (x) ? 0, 得x=1(x=-1舍去) x x 则
1 1 在[ ,e]内,当x ? [ ,1)时,h'(x)>0,h(x) e e 是增函数;

(1,e]时,h'(x)<0, ?h(x)是减函数。 当 x? ……………………………11 分

? 1 ?0 ? h( e ) ? ? h(1)>0 ? h(e) ?0 1 ? h(x) ? 0在[ , e] e 则方程 内有两个不等实根的充要条件是 ? …………13 分
1? m ? 2?


1 e 2 ……………………………………………………………………15 分

log1 ( x 2 ? 3x ? 4) ? log1 (2 x ? 10)
66.(河北省唐山一中 2011 届高三理)设 M={x| N={x| ( x ? 10a x ? 9a )(x ? a) ? 0 a ? 0 }
2 2

2

2

}

求 M∩N≠ ? 时 a 的取值范围.

log1 ( x 2 ? 3x ? 4) ? log1 (2 x ? 10)
答案 解:由不等式
2 2

得:

? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? x ? ?1 或 x ? 4 ? ? ? ? x ? ?5 ?2 x ? 10 ? 0 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 2 x ? 10 ?? 2 ? x ? 7 ? ? 解得:-2<x<-1 或 4<x<7
所以,M={x|-2<x<-1 或 4<x<7}????????5 分 由不等式 ( x ? 10a x ? 9a )(x ? a) ? 0 a ? 0
2 2

解得 x<9a,所以,N={x|x<9a}????????7 分 要使 M∩N≠?,结合数轴可以得到:9a>-2

2 ?a?0 即: 9 ?

????????10 分

67.(河北省唐山一中 2011 届高三理)已知数列

?an ?满足 a1 =-1,

a n ?1

3n?1 (3n ? 3)a n ? 4n ? 6 b ? ? n ?b ? an ? 2 n ,数列 n 满足

(1)求数列

?an ?的通项公式.
?bn ?的前 n 项和为 ?sn ? ,求证:当 n ? 2 时,
bn ?1 ? bn ? 2 ? ? ? b2 n ?

(2)设数列

s n ? 2(

2

s s 2 s3 ? ??? n ) 2 3 n .

(3)求证:当 n ? 2 时,

4 1 ? 5 2n ? 1

a n ?1 a a n ?1 ? 2 a ?2 6 2 ?3 n ? ? ?3 n n n n ? 1 ,即 n ? 1 n 答案 42.解:(1)由题意 n ? 1

? an ? n ? 3n?1 ? 2
bn ?

????????????4 分

(2)

1 1 1 bn ? s n ? s n ?1 ? , 即s n ? ? s n ? 1 n 当 n ? 2 时, n n

平方则

sn ?

2

2s n 2s 1 1 2 2 2 ? 2 ? s n ?1 ? s n ? s n ?1 ? n ? 2 n n n n sn sn s 1 1 1 ? ??? n ) ? ( 2 ? 2 ??? 2 ) 2 3 n 2 3 n

叠加得
2

s n ? 1 ? 2(

2

? s n ? 2(
2

s s 2 s3 1 1 ? ??? n ) ?1? ( 2 ??? 2 ) 2 3 n 2 n s s 2 s3 ? ??? n ) 2 3 n ??????????????8 分

? s n ? 2(

(3)当 n ? 2 时,

b3 ? b4 ?

1 1 4 1 ? ? ? 3 4 5 5 即 n ? 2 时命题成立

假设 n ? k (k ? 2) 时命题成立,即

1 1 1 4 1 ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 2k 5 2k ? 1
当 n ? k ? 1 时,

1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 5 2k ? 1 k ? 1 2k ? 1 2k ? 2
4 1 4 1 ? ? ? = 5 2k ? 2 5 2k ? 3
综上,对于任意 n ? 2 , 即 n ? k ? 1 时命题也成立

bn ?1 ? bn ? 2 ? ? ? b2 n ?

4 1 ? 5 2n ? 1 ??????12 分

x 68.(江苏省 2011 届高三理)已知函数 f ( x) ? log4 (4 ? 1) ? kx ( k ? R )是偶函数

(1)求 k 的值;

4 g ( x) ? log 4 (2 x ?1 ? a ) 3 ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像有且只有一个公共点,求 (2)设
实数 a 的取值范围 答案 (本题满分 15 分)
x 解(1) ∵ 函数 f ( x) ? log4 (4 ? 1) ? kx (k ? R) 是偶函数



f (? x) ? log4 (4 ? x ? 1) ? kx ? log4 (

1? 4x ) ? kx 4x

? log4 (4 x ? 1) ? (k ? 1) x ? log4 (4 x ? 1) ? kx 恒成立
∴ ?(k ? 1) ? k ,则

k ??

1 2 ???????????????5 分

4 g ( x) ? log4 (a ? 2 x ? a) 3 , (2)
函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,即 方程 f ( x) ? g ( x) 只有一个解

由已知得

log4 (4 x ? 1) ?

1 4 x ? log4 (a ? 2 x ? a) 2 3



log4

4x ? 1 4 ? log4 (a ? 2 x ? a) x 3 2

4 ? a ? 2x ? a ? 0 ? ? 3 ?4x ? 1 4 ? ? a ? 2x ? a x ? 3 方程等价于 ? 2

4 (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ? 0 3 设 2 ? t (t ? 0) ,则 有一解 4 h( x) ? (a ? 1)t 2 ? at ?1 a ? 1 ? 0 3 若 ,设 ,∵ h(0) ? ?1 ? 0 ,∴恰好有一正解
x

∴ a ? 1 满足题意 若 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,不满足题意 若 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,由

4 3 ? ? (? a) 2 ? 4(a ? 1) ? 0 a? a ? ? 3 3 4 ,得 或

当 a ? ?3 时, 3 a? 4 时, t ? ? 2 (舍去) 当 综上所述实数 a 的取值范围是 {a | a ? 1或a ? ?3} ????????10 分 69.(福建省四地六校联考 2011 届高三文)(本小题满分 12 分)设数列{an}的前 n 项和 为 Sn,

t?

1 2 满足题意

a1 ? 1, S n ? nan ? 2n(n ? 1).

(I)求证数列{an}为等差数列;

1 } T a a n n ? 1 (II)设数列 的前 n 项和为 Tn,求 n . {
答案 (本小题满分 12 分) 证明:(I)由 得

S n ? nan ? 2n(n ? 1)

an?1 ? S n?1 ? S n ? (n ? 1)an?1 ? nan ? 4n 即 an?1 ? an ? 4 ?????4 分
?????6 分

? 数列 {an } 是以 1 为首项,4 为公差的等差数列
(II)由(I)得

? an ? 4n ? 3.

Tn ?

1 1 1 1 1 1 ??? ? ? ? ??? a1a2 an an?1 1 ? 5 5 ? 9 9 ? 13 (4n ? 3) ? (4n ? 1)

?
?

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 4 5 5 9 9 13 4n ? 3 4n ? 1
1 1 (1 ? ) 4 4n ? 1
????12 分

2010 年联考题 题组二

一、填空题 1 1.(肥城市第二次联考)在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+al2=120,则 a9- a11 的值 3 为 A.14 答案 C 解析: a 4 +a 6 +a8 +a10 +a12 ? 5a8 ? 120 ? a8 ? 24 , a 9 ? a11 ? (a 8 +d)- ( a8 ? 3d ) B.15 C.16 D.17

1 3

1 3

?

2 a8 ? 16 ,所以选 C。 3 1 2

2.(昆明一中三次月考理)各项都是正数的等比数列 ?a n ? 的公比 q ? 1 ,且 a 2 , a 3,a 1 成等 差数列,则

a 4 ? a5 的值为 a3 ? a 4
B.

A.

1? 5 2

1? 5 2

C.

5 ?1 2

D.

1? 5 1? 5 或 2 2

3. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)已知正项等比数列 ?an ? 满足:

答案:B

a7 ? a6 ? 2 a5,若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则
A.

1 4 ? 的最小值为( m n



3 2

B.

5 3

C.

25 6

D. 不存在

答案 A 4. ( 昆 明 一 中 二 次 月 考 理 ) 在 实 数 数 列 ,?, A. B. ,则 C. D. 中,已知 , ) ,

的最大值为(

答案:C

5.(昆明一中二次月考理)已知数列 确的是( )

的通项为

,下列表述正

A. 最大项为 0,最小项为

B. 最大项为 0,最小项不存在

C. 最大项不存在,最小项为

D. 最大项为 0,最小项为

答案:A 6.(昆明一中二次月考理)三个实数 a、b、c 成等比数列,若有 a + b + c=1 成立,则 b 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D. 答案:C 7.(祥云一中月考理)设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则 A. 2 答案:C 8.(祥云一中三次月考理)设 a ? 0, b ? 0. 若 2 是 2 与 2 的等比中项,则
a b

S4 ?( a2



B. 4

C.

15 2

D.

17 2
1 1 ? 的最小值 a b

为 A .

1 4

B . 1

C. 4

D. 8

答案:C 二、填空题 9.(祥云一中月考理)两个正数 a 、b 的等差中项是 双曲线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 的离心率为

9 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则 2



答案:

41 5

10. (祥云一中二次月考理)数列

{an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a ? n

3 S ,则 5 等于 n(n ? 1)

__________ _______ . 5 答案: 18
11 . ( 池 州 市 七 校 元 旦 调 研 ) 设 等 比 数 列

{an } 的 公 比

q?

1 2 , 前 n 项 和 为 Sn , 则

S4 ? a4
答案:15



s4 ?
【解析】对于

a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)

三、解答题 12.(马鞍山学业水平测试)(本题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 中, a1 ? 1, S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N ,
?

有 2S n ? 2 pan ? pan ? p( p ? R) (1)求常数 p 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)记 bn ?

2

4S n ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 T 。 n?3
2

解:(1)由 a1 ? 1 及 2S n ? 2 pan ? pan ? p(n ? N ? ) ,得:

2 ? 2p ? p ? p
2

? p ? 1 ????????????????????3 分
① ②
2

(2)由 2S n ? 2an ? an ? 1 得 2S n?1 ? 2an?1 ? an?1 ? 1 由②—①,得
2 2

2an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an )

即: 2(an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an ) ? 0

? (an?1 ? an )(2an?1 ? 2an ? 1) ? 0
由于数列 ?an ? 各项均为正数,

? 2an?1 ? 2an ? 1



a n ?1 ? a n ?

1 ??????????????6 分 2

1 ? 数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 的等差数列, 2 1 n ?1 ?????7 分 ? 数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? 1 ? (n ? 1) ? ? 2 2 n ?1 n(n ? 3) (3)由 a n ? ,得: S n ? 2 4

? bn ?

4S n ? 2 n ? n ? 2 n ????????????????????9 分 n?3

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? ? n ? 2n 2 ? Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

2(1 ? 2 n ) ? ? n ? 2 n?1 ? ?(n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 1? 2

Tn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 ??????12 分
a ? 1, {a } 13. (岳野两校联考) (本题满分 13 分)已知数列 n 中, 1 (n ? 2, n ? N ) .且
*

an ?

2n a n ?1 ? n n ?1

bn ?

an ?? n k 为等比数列,

(Ⅰ) 求实数 ? 及数列 (Ⅱ) 若

?bn ?、 {an } 的通项公式;

S n 为 {an } 的前 n 项和,求 S n ;
cn ? bn , (bn ? 1) 2 数列{ cn }前 n 项和为 Tn .求证:对任意 n ? N * ,都有 Tn <3.

(Ⅲ) 令

【解析】(Ⅰ)当 n ? 2, n ? N 时,
*

an ?

2n a n ?1 ? n n ?1 ,

?

an a an a ? 2 n ?1 ? 1 ? 1 ? 2( n ?1 ? 1) n n ?1 , 即 n n ?1 , 故? ? 1时

?????1 分

b ? 2bn?1 , 而 有 n

b1 ?

a1 ?1 ? 2 ? 0 1
从而

????????2 分 ????????4 分

?bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,
(Ⅱ)

an ? n ? 2n ? n

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ?? n ? 2n ? (1? 2 ? ?? n)
记 则

Rn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ?? n ? 2n 2Rn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? n ? 2n?1
2 3 n n?1

相减得:

?Rn ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? n ? 2

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2
n ?1

????7 分

? Rn ? (n ?1)2n?1 ? 2
cn ?
(Ⅲ)

? Sn ? (n ? 1)2

n2 ? n ? 4 ? 2

?????9 分

2n 2n 2n?1 1 1 ? ? ? n?1 ? n (n ? 2) n 2 n n n n ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

????????11 分

n ? 2 时,

Tn ?

21 1 1 1 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n (n ? 2) 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
1 ?3 2 ?1
n

? 2 ?1?

????????12 分



T1 ?

2 ?2?3 2 ?1
????????13 分

??n ? N * , Tn ? 3
14.(祥云一中月考理)(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2 2an , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?. 3 an ? 1

(Ⅰ)证明:数列 {

1 ? 1} 是等比数列; an

(Ⅱ)求数列 {

n } 的前 n 项和 Sn . an

解:(Ⅰ)? an ?1 ?

2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ?1 2an 2 2 an an ? 1

?

2 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , 3 an ?1 2 an a1 2 1 1 1 ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列. 2 2 an
????4 分

? 数列 {

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1 , an?1 2 2 2 an 2

?????6 分

?

n n ? n ?n. an 2

??????7 分

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ?? n , ① ?? ????8 分 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,② ????????9 分 2 2 2 2 2 由① ? ②得 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1 ? 1 ? n ,????10 分 Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n(n ? 1) . ????11 分 ? Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 2 2
设 Tn ?

15.(祥云一中二次月考理)(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0, 且a 2 , a5满足a2 ? a5 ? 12, a2 a5 ? 27, 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 1 ?

1 bn (n ? N ? ). 2

(1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)设

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