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上海市2016届高考数学一轮复习 专题突破训练 不等式 理


上海市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 不等式
一、填空、选择题 1、(2014 年上海高考)若实数 x , y 满足 xy ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为
2 2

.

2、(静安、青浦、宝山区 2015 届高三二模)已知:当 x ? 0 时,不等式

1 ? kx ? b 恒成立,当 1? x

且仅当 x ?

1 时取等号,则 k ? 3

3 、 ( 闵 行 区 2015 届 高 三 二 模 ) 如 果 a ? b ? 0 , 那 么 下 列 不 等 式 成 立 的 是 ( ) (A) a ? ab .
2

(B) ?ab ? ?b .
2 x

(C)

1 1 ? . a b

(D)

b a ? . a b

4、(浦东新区 2015 届高三二模)不等式 3 ? 2 的解为 5、(普陀区 2015 届高三二模)不等式

x ? log3 2

x ? 0 的解集为 1? x

? 0,1?
x?3 ? 0 同解的是( 2? x


6、(徐汇、松江、金山区 2015 届高三二模)下列不等式中,与不等式 (A) ? x ? 3?? 2 ? x ? ? 0 (C) (B) ? x ? 3?? 2 ? x ? ? 0 (D)

2? x ?0 x?3

3? x ?0 x?2

7、(长宁、嘉定区 2015 届高三二模)已知定义在 R 上的单调函数 f ( x) 的图像经过点 A(?3 , 2) 、

B(2 , ? 2) ,若函数 f ( x) 的反函数为 f ?1 ( x) ,则不等式 2 f ?1 ( x ? 2) ? 1 ? 5 的解集为
8、(金山区 2015 届高三上期末)不等式:

1 ? 1 的解是 x



9、(虹口区 2015 届高三上期末)若正实数 a,b 满足 ab = 32,则 2a ? b 的最小值为 10、(静安区 2015 届高三上期末)已知实数 x 、 y 满足 x ? y ? 1,则
2

y?2 的取值范围是 x
2

11、(徐汇区 2015 届高三上期末)若实数 x , y 满足 xy ? 4 ,则 x ? 4 y 的最小值为 12、(青浦区 2015 届高三上期末)已知正实数 x, y 满足 xy ? 2 x ? y ? 4 ,则 x ? y 的最小值为 13、(上海市十三校2015届高三第二次(3月)联考)实数x、 y 满足 则x - y的最大值为__________. ,

14、 (奉贤区 2015 届高三 4 月调研测试 (二模) ) 若 log x y ? ?2,则x2 ? y 的值域为_____________ 15 、 ( 崇 明 县 2015 届 高 三 上 期 末 ) 若 a ? 0 , b ? 0 , 则 p ? 为……………………………( ) A. p ? q B. p ≤ q C. p ? q

b2 a 2 与 q ? a ? b 的大小关系 ? a b
D. p ≥ q

二、解答题 1、(2013 年上海高考)甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ), 每小时可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.

3 x

2、(闵行区 2015 届高三二模)某油库的设计容量为 30 万吨,年初储量为 10 万吨,从年初起计划 每月购进石油 m 万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油 1 万吨,区域外前 x 个 月的需求量 y (万吨)与 x 的函数关系为 y ? 2 px ( p ? 0,1 ? x ? 16, x ? N* ) ,并且前 4 个月,区 域外的需求量为 20 万吨. (1)试写出第 x 个月石油调出后,油库内储油量 M (万吨)与 x 的函数关系式; (2)要使 16 个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油 调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定 m 的取值范围.

3、(长宁、嘉定区 2015 届高三二模)某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后, 发 现 一 天 中 环 境 综 合 污 染 指 数 f ( x ) 与 时 刻 x ( 时 ) 的 关 系 为 f ( x) ?

x 3 ? a ? 2a ? , x ?1 4
2

? 1? x ? [0 , 24) ,其中 a 是与气象有关的参数,且 a ? ?0 , ? .若用每天 f ( x) 的最大值为当天的综合 ? 2? 污染指数,并记作 M (a) . x (1)令 t ? 2 , x ? [0 , 24) ,求 t 的取值范围; x ?1
(2)求 M (a) 的表达式,并规定当 M (a) ? 2 时为综合污染指数不超标,求当 a 在什么范围内 时,该市市中心的综合污染指数不超标.

4、(崇明县 2015 届高三第二次高考模拟)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋 顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑 物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消 k (0 ≤ x ≤10) , 耗费用 C (单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系: C ( x) ? 3x ? 5 若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f ( x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用 之和. (1)求 k 的值及 f ( x) 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x) 达到最小,并求最小值.

?| x ? 1|? 3 ? 5、(宝山区 2015 届高三上期末)解不等式组 ? 2 ?1 ? ?x ?3

6、(宝山区 2015 届高三上期末)有根木料长为 6 米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框 架的高的比为 1∶2,问怎样利用木料,才能使光线通过的窗框面积 最大(中间木档的面积可忽略不计).

7、某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2000 件,要使销售的总收入不低于原收 入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策 略改革,并提高定价到 .x 元.公司拟投入 6 ( x ? 600) 万元作为技改费用,投入 50 万元作为固定宣
2

1

传费用,投入

1 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时, 5

才可能使明年的销售收入不低于原收入 与总投入 之和?并求出此时商品的每件定价. ... ...

8、某小商品 2012 年的价格为 8 元/件,年销量为 a 件,现经销商计划在 2013 年将该商品的价格降至 5.5 元/件到 7.5 元/件之间,经调查,顾客的期望价格为 4 元/件,经测算,该商品的价格下降后新 增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比,比例系数为 k ,该商品的成本价格为 3 元/件。 (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益 y 与实际价格 x 的函数关系式。 (2)设 k ? 2a ,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012 年至少 增长 20%?

9、近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供 电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为 0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费 C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积

x (单位:平方米)之间的函数关系是

C ( x) ?

k ( x ? 0, k 20 x ? 100 为常数). 记 F 为该村安装这种太阳

能供电设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和. (1)试解释 C (0) 的实际意义, 并建立 F 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值是多少万元?

参考答案 一、填空、选择题 1、【解析】: x2 ? 2 y 2 ? 2 ? x ? 2 y ? 2 2

9 2、 16 ?
8、0<x<1 14、 ?2,??? 二、解答题

3、B 9、16 15、B

4、 x ? log3 2 10、 [?2,2]

5、 ? 0,1? 11、16

6、D 12、 2 6 ? 3

7、 (0 , 4) 13、C

1、【解答】(1)根据题意, 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ? 又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 (2)设利润为 y 元,则 y ?

3 x

3 ?0 x

900 3 1 1 61 ?100(5 x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] x x x 6 12

故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元. 2、[解](1)由条件得 20 ?

2 p ? 4 ? 2 p ? 100 ,所以 y ? 10 x (1 ? x ? 16, x ? N* ) 2 分
…………………………………6 分

M ? mx ? x ? 10 x ? 10 ,(1 ? x ? 16, x ? N* ).
(2)因为 0 ? M ? 30 , 所以 ?

? ? 10 ? mx ? x ? 10 x ? 0 ? ?10 ? mx ? x ? 10 x ? 30

?1 ? x ? 16, x ? N ? 恒成立
*

………………………8 分

10 10 ? m?? ? ?1 ? x x ? ?? 1 ? x ? 16, x ? N* ? 恒成立 ? ? m ? 20 ? 10 ? 1 ? x x ?


………………………10 分

1 x

? t ,则:

1 ? t ?1 4

?m ? ?10t 2 ? 10t ? 1? 1 ? ?? ? ? t ? 1? 恒成立, 2 ? ? m ? 20t ? 10t ? 1 ? 4
由 m ? ?10t ? 10t ? 1 ? ?10(t ? ) ?
2 2

1 2

7?1 ? ? ? t ? 1? 恒成立得 2?4 ?
………………………12 分

m?

7 ( x ? 4 时取等号) 2

19 ?1 ? ( x ? 16 时取等号) m ? 20t 2 ? 10t ? 1? ? t ? 1? 恒成立得 m ? 4 ?4 ?

7 19 ?m? . 2 4 3、(1)当 x ? 0 时, t ? 0 ;
所以

………………………14 分 ………………(2 分)

2 当 0 ? x ? 24 时,因为 x ? 1 ? 2 x ? 0 ,所以 0 ?

x 1 ? , ……………………(4 分) x ?1 2
2

? 1? . ……………………………………(5 分) ? 2? ? x ? 1? ? 1? (2)当 a ? ?0 , ? 时,由(1),令 t ? 2 ,则 t ? ?0 , ? , …………(1 分) x ?1 ? 2? ? 2?
即 t 的取值范围是 ?0 ,

3 ? ?3a ? t ? 4 , 0 ? t ? a , 3 ? 所以 f ( x) ? g (t ) ?| t ? a | ?2a ? ? ? ………………(3 分) 4 ? 3 1 t?a? , a?t ? , ? 4 2 ? ? 1? 于是, g (t ) 在 t ? ?0 , a ?时是关于 t 的减函数,在 t ? ? a , ? 时是增函数, ? 2? 3 5 1 ?1? ?1? 因为 g (0) ? 3a ? , g ? ? ? a ? ,由 g (0) ? g ? ? ? 2a ? , 4 4 2 ?2? ?2? 1 5 ?1? 所以,当 0 ? a ? 时, M (a) ? g ? ? ? a ? ; 4 4 ?2? 1 1 3 当 ? a ? 时, M (a ) ? g (0) ? 3a ? , 4 2 4 5 1 ? a? ,0?a? , ? ? 4 4 即 M (a) ? ? ………………………………(6 分) 3 1 1 ?3a ? , ? a ? . ? 4 4 2 ? 5 由 M (a) ? 2 ,解得 0 ? a ? . ………………………………(8 分) 12 ? 5? 所以,当 a ? ?0 , ? 时,综合污染指数不超标. …………………………(9 分) ? 12? k 4、解:(1)依题意得: ? 8, ? k ? 40 5 40 800 所以 f ( x) ? 6 x ? 20 ? ? 6x ? , 0 ? x ? 10 3x ? 5 3x ? 5
(2) f ( x) ? 6 x ?

800 800 800 ? 2(3x ? 5) ? ? 10 ? 2 2(3x ? 5) ? ? 10 ? 70 3x ? 5 3x ? 5 3x ? 5
800 ,即 x ? 5 时等号成立 3x ? 5

当且仅当 2(3x ? 5) ?

而 5 ?[0,10] ,所以隔热层修建为 5 厘米时,总费用最小,且最小值为 70 万元…… 14 分 5、由题意得: 由(1)解得 ?2 ? x ? 4 由(2)解得 3 ? x ? 5 ………………………………………………………3 分 …………………………………………………………6 分 ………………………………………8 分 所以,不等式解集为(3,4) 6、解:如图设 x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 ?7x

6 ? 7x . ……………………………2 分 3 6 ? 7x 6 2 即窗框的面积 y = 3x · =?7x + 6x ( 0 < x < ) ……5 分 3 7 3 9 配方:y = ? 7( x ? ) 2 ? ( 0 < x < 2 ) ……………………7 分 7 7
∴窗框的高为 3x,宽为

x 2x

∴当 x =

3 3 6 米时,即上框架高为 米、下框架为 米、宽为 1 米时,光线通过窗框面积最 7 7 7

大. …………………………………………………………………………8 分 7、解:(1)设每件定价为 x 元,依题意,有 (8 ?

x ? 25 ? 0.2) x ? 25 ? 8 , 1 2 整理得 x ? 65 x ? 1000 ? 0 ,解得 25 ? x ? 40 .

∴ 要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元.………7′ (2)依题意, x ? 25 时, 不等式 ax ? 25 ? 8 ? 50 ?

1 2 1 150 1 1 ( x ? 600) ? x 有解, 等价于 x ? 25 时,a ? ? x ? 有解, 6 5 x 6 5

?

150 1 150 1 ? x?2 ? x ? 10 ?当且仅当x ? 30时,等号成立? , x 6 x 6 ? a ? 10.2 . ∴当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投 入之和,此时该商品的每件定价为 30 元.……14
8 、 解 : ( 1 ) 设 该 商 品 价 格 下 降 后 为 x 元 / 件 , 销 量 增 加 到 (a ?

k ) 件,年收益 x?4

k )( x ? 3),5.5 ? x ? 7.5 ,…………………………7 分 x?4 2a )( x ? 3) ? (8 ? 3)a ? (1 ? 20%) 解之得 (2)当 k ? 2a 时,依题意有 (a ? x?4 y ? (a ?
x ? 6或4 ? x ? 5 ,…………………………12 分
又 5.5 ? x ? 7.5 所以 6 ? x ? 7.5 因此当实际价格最低定为 6 元/件时,仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012 年至少增长 20%。…………………………14 分 9、解: (1) C (0) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用, 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费

k ? 24 ,得 k ? 2400 100 2400 1800 ? 0.5 x ? ? 0.5 x, x ? 0 ---------8 分 所以 F ? 15 ? 20 x ? 100 x?5 1800 ? 0.5( x ? 5) ? 0.25 ? 2 1800 ? 0.5 ? 0.25 ? 59.75 (2)因为 F ? x?5 1800 ? 0.5( x ? 5) ,即 x ? 55 时取等号 当且仅当 x?5 所以当 x 为 55 平方米时, F 取得最小值为 59.75 万元
由 C (0) ? (说明:第(2)题用导数求最值的,类似给分) -----------------------16 分


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