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高中数学必修四第一章1.2.2单位圆与三角函数线


人大附中分校高一数学导学学案
班级____________ 姓名__________ 日期___________
题目 学 习 要 求 重 点 难 点 导 学 学 案

1.2.2 单位圆与三角函数线

课型

新授课

教材

数学 B 版必修 4 §1.2.

2

1.单位圆的概念.? 2.有向线段的概念.? 3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.

重点:正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 难点:正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值

一.自学课本 P19 的内容, 1.回忆三角函数的定义,它的代数意义是什么? 2.体会为什么要用三角函数线来表示三角函数的值? 3.什么叫单位圆?为什么要建立单位圆?别的圆行不行? 二.几何表示法: 1.单位圆的概念: 以原点为圆心,单位长为半径的圆称为单位圆. 单位圆是三角函数线建立的基石, 离开单位圆就谈不上三角函数线, 因此单位圆概念的建立是前提。 单位圆的概念要着重理解“一个单位”的含义。 2.三角函数线: 在平面直角坐标系内,作单位圆,设任意角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与 单位圆相交于点 P(x,y) 轴的正半轴与单位圆相交于 A(1,0) ,x ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M; 过 A 作单位圆的切线,这条切线必平行于y轴,设它与角 α 的终边或其反向延长线交于点 T.? 显然,线段 OM 的长度为|x|,线段 MP 的长度为|y|,它们都只能取非负值.? 当角 α 的终边不在坐标轴上时,我们可以把 OM、MP 都看作带有方向的线段。 ...... 这两条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 分别叫做角 α 的正弦线、余弦线。 单位圆中的三角函数线是用轴上的向量表示的,要明确轴上向量是既有大小又有方向的线段,用轴 上向量的数量表示三角函数值,其长度表示三角函数的绝对值,其方向表示三角函数的正负号。 3.注意事项: (1)当角 α 的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.;? (2)当角 α 的终边在 x 轴上时,正弦线、正切线都变成点.; (3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先 作单位圆.; (4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,

不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与 x 轴的公共点为起点; (5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同。? 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. 三.例题: 例 1.分别作出

2? 3? 和? 的正弦线、余弦线和正切线。 3 4
y
y

x O
O

x

例 2.利用单位圆和三角函数线比较大小: (1) sin1 和 sin1.5; (2) cos1 和 cos1.5; (3) tan2 和 tan3. (0? <x<360? )

例 3. 已知 sinx=0.5,利用单位圆和三角函数线求角 x 的大小. 例 4. 利用三角函数线证明:|sinα |+|cosα |≥1.
y

y

x O

x O

例 5. 已知α ∈(0,

? ),利用三角函数线试证明 sinα <α <tanα . 2
随堂练习

1.对三角函数线,下列说法正确的是( ) A.对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B.有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在 C.任何角的正弦线、正切线总是存在,但余弦线不一定存在 D.任何角的正弦线、余弦线总是存在,但是正切线不一定存在 2.角 α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同,那么 α 的值为( ) π 3 5π 7 π 5 π 7 A. 或 π B. 或 π C. 或 π D. 或 π 4 4 4 4 4 4 4 4 3.若角 α 的正切线位于第一象限,则角 α 属于( ) A.第一象限 B.第一、二象限 C.第三象限 D.第一、三象限 1 4.不等式 cosα≤ 的解集为____________________________. 2

1.2.2 单位圆与三角函数线参考答案 例 2.利用单位圆和三角函数线比较大小: (1) sin1 和 sin1.5; (1) sin1<sin1.5; (2) cos1 和 cos1.5; (2) cos1>cos1.5; (3) tan2 和 tan3. (3) tan2<tan3.

例 3. 已知 sinx=0.5,利用单位圆和三角函数线求角 x 的大小.(0? <x<360? ) 30° 150° 和 随堂练习 1.对三角函数线,下列说法正确的是( )

A.对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B.有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在 C.任何角的正弦线、正切线总是存在,但余弦线不一定存在 D.任何角的正弦线、余弦线总是存在,但是正切线不一定存在 解析:选 D.正弦函数和余弦函数的定义域是 R,所以任何角的正弦线、余弦线总是存在,正切函数 的定义域不是 R,所以任何角的正切线不一定存在. 2.角 α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同,那么 α 的值为( A. π 3 或 π 4 4 B. 5π 7 或 π 4 4 C. π 5 或 π 4 4 D. π 7 或 π 4 4 )

解析:选 C.由条件知 sinα=cosα,又 0<α<2π, π 5π ∴α= 或 . 4 4 3.若角 α 的正切线位于第一象限,则角 α 属于( A.第一象限 B.第一、二象限 ) C.第三象限 D.第一、三象限

解析:选 D.由正切线的定义知,当角 α 是第一、三象限的角时,正切线都在第一象限. 1 4.不等式 cosα≤ 的解集为____________________________. 2 1 解析:画出单位圆,然后画出直线 x= ,从图形中可以看出. 2 π 5π 答案:{α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈Z} 3 3


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