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【创新设计】2015高考数学(北师大版)一轮训练:第6篇 第4讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题]


第4讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1. (2013· 西安模拟)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴 影部分表示),应是下列图形中的 ( ).

解析

?x-2y+1≥0, ?x-2y+1≤0, (x - 2y +

1)(x + y - 3)≤0 ? ? 或? 画出 ?x+y-3≤0 ?x+y-3≥0.

平面区域后,只有 C 合题意. 答案 C

?y≤-x+2, 2. (2014· 南昌模拟)不等式组?y≤x-1, ?y≥0
A.1 1 C.3 1 B.2 1 D.4

所表示的平面区域的面积为(

).

解析

作出不等式组对应的区域为△BCD,由题意知 xB=1,xC

?y=-x+2, 1 1 1 1 =2.由? 得 yD=2,所以 S△BCD=2×(xC-xB)×2=4. ?y=x-1, 答案 D

y≤x, ? ? 1 3.(2014· 杭州模拟)在约束条件?y≥2x, ? ?x+y≤1

1 下,目标函数 z=x+2y 的最大值为

( A. 1 4 B. 3 4

).

5 C.6

5 D.3 1 由 z=x+2y,得 y=-2x+2z.作出可行域如图阴

解析

影部分,平移直线 y=-2x+2z,当直线经过点 C 时, 直线 y=-2x+2z 在 y 轴上的截距最大,此时 z 最大. 1 ? ?y= x, 由? 2 ? ?x+y=1, 1 ?2 1? 解得 C 点坐标为?3,3?, 代入 z=x+2y, ? ?

2 1 1 5 得 z=3+2×3=6. 答案 C

4.(2013· 陕西卷)若点(x,y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x-y 的最小值为 A.-6 C.0 B.-2 D.2 ( ).

解析

如图,曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域如图中阴影部

分,令 z=2x-y,则 y=2x-z,作直线 y=2x,在封闭区域内平行 移动直线 y=2x,当经过点(-2,2)时,z 取得最小值,此时 z=2× (-2)-2=-6.

答案

A x+y≤8,

?2y-x≤4, 5.(2013· 四川卷)若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ?y≥0,
值为 a,最小值为 b,则 a-b 的值是 A.48 C.24 解析 B.30 D.16

且 z=5y-x 的最大

(

).

画出可行域,如图所示.由图可知,当目标函数过 A 点时有最大值;

?x+y=8, ?x=4, 过 B 点时有最小值.联立得? ?? 故 A(4,4);对 x+y=8, ?2y-x=4 ?y=4, 令 y=0,则 x=8,故 B(8,0),所以 a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8,则 a-b=16-(-8)=24,故选 C.

答案

C

二、填空题 ?x-y≥-1, 6.(2013· 安徽卷)若非负变量 x,y 满足约束条件? 则 x+y 的最 ?x+2y≤4, 大值为________.

解析

根据题目中的约束条件画出可行

域,注意到 x,y 非负,得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界).作直线 y=-x,并向上平移,当直线过点 A(4,0)时,x+y 取得最大值,最大值为 4. 答案 4

?2x+3y-6≤0, 7. (2013· 山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组?x+y-2≥0, ?y≥0
表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是________.



解析

如图所示阴影部分为可行域,数形结合可知,

原点 O 到直线 x+y-2=0 的垂线段长是|OM|的最小 值, ∴|OM|min= 答案 2 |-2| = 2. 12+12

?x-y+5≥0, 8.(2014· 渭南质检)若不等式组?y≥a, ?0≤x≤2
则 a 的取值范围是________. 解析

表示的平面区域是一个三角形,

画出可行域,知当直线 y=a 在 x-y+5=0 与 y 轴的交点(0,5)和 x-y

+5=0 与 x=2 的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形.故 5≤a<7. 答案 [5,7)

三、解答题

?x-y+5≥0, 9.(2014· 合肥模拟)画出不等式组?x+y≥0, ?x≤3
列问题: (1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 解

表示的平面区域,并回答下

(1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及其右下方的点的集合, x

+y≥0 表示直线 x+y=0 上及其右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上

及其左方的点的集合.

?x-y+5≥0, 所以,不等式组?x+y≥0, ?x≤3

表示的平面区域如图所示.

? 5 ? 结合图中可行域得 x∈?-2,3?,y∈[-3,8]. ? ? -x≤y≤x+5, ? ? (2)由图形及不等式组知? 5 - ≤x≤3,且x∈Z, ? ? 2 当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个). 10.制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏 损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大 盈利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人 计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问 投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大? 解 设投资人分别用 x 万元,y 万元投资甲、乙两个项目,

由题意知

?0.3x+0.1y≤1.8, ?x≥0, ?y≥0,
x+y≤10, 目标函数 z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域. 将 z=x+0.5y 变形为 y=-2x+2z,这是斜率为-2 随 z 变化的一组平行线, 当直线 y=-2x+2z 经过可行域内的点 M 时,直线 y=-2x+2z 在 y 轴上的 截距 2z 最大,z 也最大. 这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点. ?x+y=10, 解方程组? 得 x=4,y=6, ?0.3x+0.1y=1.8, 此时 z=4+0.5×6=7(万元). ∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值, 所以投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超 过 1.8 万元的前提下,使可能的盈利最大. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题

?x≥0, 1.(2014· 昆明模拟)已知 x,y 满足条件?y≤x, ?2x+y+k≤0
z=x+3y 的最大值为 8,则 k= A.-16 8 C.-3 B.-6 D.6

(k 为常数),若目标函数

(

).

解析

?y=x, 画出 x,y 满足的可行域如图,联立方程? 解得 ?2x+y+k=0,

k ? ?x=-3, ? k y =- ? ? 3,

即 C 点坐标为

k? 1 z 1 z ? k ?-3,-3?,由目标函数 z=x+3y,得 y=- x+ ,平移直线 y=- x+ , 3 3 3 3 ? ? 1 z 可知当直线经过 C 点时,直线 y=-3x+3的截距最大,此时 z 最大,把 C 点 k ? k? 代入 z=x+3y,得 8=-3+3×?-3?,解得 k=-6.经检验,符合题意. ? ? 答案 B

?x-y+2≥0, 2.(2014· 临沂一模)已知实数 x,y 满足不等式组?x+y-4≥0, ?2x-y-5≤0,
A.(-∞,-1) C.[1,+∞) B.(0,1) D.(1,+∞)

若目标函数 z

=y-ax 取得最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围为(

).

解析

作出不等式对应的平面区域 BCD,由 z=y-ax,得 y=ax+z,要使目

标函数 y=ax+z 仅在点(1,3)处取最大值,则只需直线 y=ax+z 仅在点 B(1,3) 处的截距最大,由图像可知 a>kBD,因为 kBD=1,所以 a>1,即 a 的取值范 围是(1,+∞). 答案 D

二、填空题 → 3.(2013· 北京卷)已知点 A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域 D 由所有满足AP → +μAC → (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点 P 组成,则 D 的面积为________. =λAB 解析 → = (2,1) , AC → = (1,2) . 设 P(x , y) , 由 AP → = λ AB → + μ AC → ,得 AB 2x-y-3 ? ?λ= 3 , 故有? -x+2y+3 ? ?μ= 3 ,

?x-1=2λ+μ, ? ?y+1=λ+2μ,

又 λ∈[1,2],μ∈[0,1], 2x-y-3 ? ?1≤ 3 ≤2, 故有? 2y-x+3 0 ≤ ≤1, ? ? 3 ?3≤2x-y-3≤6, 即? ?0≤2y-x+3≤3. 则平面区域 D 如图中阴影部分所示.

由图可知平面区域 D 为平行四边形,可求出 M(4,2),N(6,3),故|MN|= 5, 又 x-2y=0 与 x-2y-3=0 之间的距离为 d= = 5× 答案 3 3 =3. 5 3 ,故平面区域 D 的面积为 S 5

三、解答题

?x-4y+3≤0, 4.变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ?x≥1.
y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围. 解 由约束条件

?x-4y+3≤0, ?3x+5y-25≤0, ?x≥1.

作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示.

?x=1, 22? ? 由? 解得 A?1, 5 ?. ? ? ?3x+5y-25=0, ?x=1, 由? 解得 C(1,1). ?x-4y+3=0, ?x-4y+3=0, 由? 解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0,

y y-0 (1)∵z=x= .∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率.观察图形 x-0 2 可知 zmin=kOB=5. (2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方. 结合图形可 知,可行域上的点到原点的距离中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. 故 z 的取值范围是[2,29]. (3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 的几何意义是可行域上的点到点 (-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,dmin =1-(-3)=4,dmax= ?-3-5?2+?2-2?2=8. 故 z 的取值范围是[16,64].


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