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万州二中高2016级高二下考试数学试题(理科)


万州二中高 2016 级高二下 3 月考试数学试题(理科)
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1、如图所示,以边长为 1 的正方形 ABCD 的一边 AB 为直径在其内部作一半圆。若在正方 形中任取一点 P ,则点 P

恰好取自半圆部分的概率为

? A、 2

1 B、 2

? C、 8

? D、 4

D

1

C

2、有 5 盆互不相同的玫瑰花,其中黄玫瑰 2 盆、白玫瑰 2 盆、红玫瑰 1 盆,现把它 们摆放成一排,要求 2 盆白玫瑰不能相邻,则这 5 盆玫瑰花的不同摆放种数是 A、120 B、72 C、12 D、36

A

O

B

3.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身体 x(单位:cm)具有线性相关关系。根据一组 样本数据( xi , yt )(i ? 1,2?, n) ,用最小二乘法建立的回归方程是 y ? 0.85x ? 85.71,则 下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x, y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 4、篮子里装有 2 个红球,3 个白球和 4 个黑球。某人从篮子中随机取出两个球,记事件 A= “取出的两个球颜色不同” ,事件 B=“取出一个红球,一个白球” ,则 P( B |

A) ?

A、

1 6

B、

3 13
2m

C、

5 9

D、

2 3
2 m?1

5.设 m 为正整数, ( x ? y)

展开式的二项式系数的最大值为 a , ( x ? y)

展开式的二项

式系数的最大值为 b ,若 13 a =7 b ,则 m = A、5 B、6 C、7 D、8

6. 从 5 位志愿者中选派 4 位到三个社 区参加公益活动,每个社区至少需要 1 位志愿者,但 其中甲、乙两位志愿者不能到同一社区参加公益活动,则不同安排方法的种数为 A.108 B.126 C.144 D.162

7、若多项式 x ? ( x ?1) ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ?
4 8 2

? a8 ( x ? 1)8 ,则 a3 ?
D、 ?1796

A、1

B、60

C、 ?961

8、如图,在杨辉三角形中,斜线 l 的上方从 1 按箭头所示方向可以 构成一个“锯齿形”的数列:1,3,3,4,6,5,10,?,记此数 列的前 n 项之和为 Sn ,则 S21 的值为 A.66 B.153 C.295 D.361

9.已知等式 x ? a1x ? a2 x ? a3 x ? a4 ? ( x ? 1)4 ? b1 ( x ? 1)3 ? b2 ( x ? 1)2 ? b3 ( x ? 1) ? b4 ,
4 3 2

定义映射 f : (a1 , a2 , a3 , a4 ) ? (b1 , b2 , b3 , b4 ) ,则 f (4,3, 2,1) ? A. (1, 2,3, 4) B. (0,3, 4,0) C. (0, ?3, 4, ?1) D. (?1, 0, 2, ?2)

10. 已知:? ? {( x, y ) | ?

? ?y ? 0 ? ?y ? 4 ? x
2

} ,直线 y ? mx ? 2m 和曲线 y ? 4 ? x 2 有两个不同

的交点, 它们围成的上半平面区域为 M , 向区域 ? 内随机投一点 A , 点 A 落在区域 M 内的概率为 P( M ) ,若 P ( M ) ? [ A. [0,1] B. [0,

3 ] 3

? ?2 ,1] ,则实数 m 的取值范围为 2? 1 3 C. [ D. [ ,1] ,1] 2 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
9 11、二项式 ( x ? ) 的展开式中 x 3 的系数是

1 x



12.已知随机变量 X 服从正态分布 N (0,? 2 ) 且 P(?2 ≤ X ≤ 0) ? 0.4 则
P( X ? 2) ?



13、某城市的交通道路如图,从城市的东南角 A 到城市的西北角 B,不经过 十字道路维修处 C,最近的走法种数有_________▲________。 14. 如图,用五种不同的颜色给图中的 A、B、C、D、E、F 六个不同的点涂 色, 要求每个点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色, 则不同的涂色方法共 ▲_ 种。

A D F C

E B

15.甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数 a1 ,按下列方法操作一次产生一个新的实数: 由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把 a1 乘以 2 后再减去 12;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把 a1 除以 2 后再加上 12,这样就 可得到一个新的实数 a2 ,对 a2 仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数 a3 ,当

a3 ? a1 时,甲获胜,否则乙获胜。若甲获胜的概率为 ,则 a1 的取值范围是____▲_____.
三、解答题: (共 6 小题,其中 16~18 题每小题 13 分,19~21 题每小题 12 分,共 75 分) 16、(本小题满分 13 分) 1 n ) ( n ?N*)展开式中,前三项的二项式系数 已知二项式 ( x 2 ? 和是 56 ,求: ..... 2 x (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)展开式中的常数项.

3 4

17、 (本小题满分 13 分) 2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分 04 秒,四川省阿坝藏族羌族自治州汶川县发生里氏 8.0 级地 震,地震造成 69227 人遇难,374643 人受伤,17923 人失踪。重庆众多医务工作者和志愿者 加入了抗灾救援行动。 其中重庆三峡中心医院外科派出由 5 名骨干医生组成的救援小组, 奔 赴受灾第一线参与救援。现将这 5 名医生分别随机分配到受灾最严重的汶川县、北川县、绵 竹三县中的某一个。 (1)求每个县至少分配到一名医生的概率。 (2)若将随机分配到汶川县的人数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列,期望和方差。

18、(本小题满分 13 分) 从万州二中高二年级文科学生中随机抽取 60 名学生,将其月考的政治成绩(均为整数)分 成六段: ? 40,50 ? , ?50,60 ? ,?, 率分布直方图 . (Ⅰ)求分数在 ? 70,80 ? 内的频率; (Ⅱ)用分层抽样的方法在 80 分以上(含 80 分)的学生中 抽取一个容量为 6 的样本,将该样 本看成一个总体,从中 任意选取 2 人,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率.

?90,100? 后得到如下频

19、(本小题满分 12 分) 万州区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t
i ?1

n

i

?t

?

2

? ? ? y ? bt ,a

20. (本小题满分 12 分) 一种电子玩具按下按钮后, 会出现红球或绿球. 已知按钮第一次按下后, 出现红球与绿球的 概率都是 . 从按钮第二次按下起,若前次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别 为

1 2

1 2 3 2 、 ;若前次出现绿球,则下一次出现红球,绿球的概率分别为 、 . 3 3 5 5

记第 n(n ? N , n ? 1) 次按下按钮后出现红的概率为 Pn. (1)求 P2 的值; (2)当 n ? N , n ? 2时, 求用Pn?1表示Pn 的表达式; (3)求 Pn 关于 n 的表达式.

21、 (本小题满分 12 分) 设数列{an}是等比数列,a1=C2m+3·Am-2,公比 q 是?x+
3m 1

? ?

1 ?4 的展开式中的第二项 (按 x 的降 2 4x ? ?

幂排列). (1)用 n、x 表示通项 an 与前 n 项和 Sn;
n?1 (2)若 An+1=CnS1+CnS2+?+CnSn+ Cn ?1 Sn+1,用 n、x 表示 An+1.
1 2

n

万州二中高 2016 级高二下 3 月考试数学试题(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBDBB DDDCA

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11、

?84

12、 0.1 13、 262 14、 1920 15、
a1 ≥ 24或a1 ≤ 12

三、解答题: (共 6 小题,其中 16~18 题每小题 13 分,19~21 题每小题 12 分,共 75 分) 16、(本小题满分 13 分)
1 2 解析:(Ⅰ) C0 n ? Cn ? Cn ? 56

????? 2 分

? 1? n ?

n(n ? 1) ? 56 ? n 2 ? n ? 110 ? 0 2
????? 6 分
5r 20? r 1 r )r ? C10 ( ) x 2, 2 2 x

? n ? 10, n ? ?11 (舍去).
(Ⅱ) ( x ?
2

1 2 x

r )10 展开式的第 r ? 1 项是 C10 ( x 2 )10?r (

1

20 ?

5r ? 0 ? r ? 8, 2
8

????? 10 分

故展开式中的常数项是 C10 ( ) ?
8

1 2

45 . 256

???? 13 分

(17) (本小题满分 13 分)
3 3 C5 A3 ? 1 2 C5 C4 3 A3 2 A2 50 ? 5 81 3

解: (1) P ?

????? 6 分
i

1 i?1? (2)由条件可知, ? ~ B (5, ) ,故 P(? ? i) ? C5 ? ? 3 ? 3?
故 ? 的分布列为:

? 2? ? ? , (i ? 0,1,2,?,5) ? 3?

5 ?i

?

0

1

2

3

4

5

32 243 1 5 ? E? ? np ? 5 ? ? 3 3
P

80 243

80 243

40 243

10 243

1 243

1 2 10 D? ? np (1 ? p ) ? 5 ? ? ? 3 3 9
18、(本小题满分 13 分) 解析: (Ⅰ)分数在 ?70,80 ? 内的频率为:

???? 13 分

1 ? (0.010 ? 0.015 ? 0.015 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 1 ? 0.7 ? 0.3
(Ⅱ)由题意, ?80,90 ? 分数段的人数为: 0.25 ? 60 ? 15 人

???5 分

?90,100? 分数段的人数为: 0.05 ? 60 ? 3 人;
∴ ?80,90 ? 分数段抽取 5 人, ?90,100? 分数段抽取 1 人,

???6 分

∵用分层抽样的方法在 80 分以上(含 80 分)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,

因为从样本中任取 2 人,其中恰有 1 人的分数不低于 90 分,则另一人的 分数一定是在 ?80,90 ? 分数段,所以只需在分数段 ?80,90 ? 抽取的 5 人中确定 1 人. 设“从样本中任取 2 人,其中恰有 1 人的分数不低于 90 分为”事件 A ,

P ? A? ?

1 1 C5 C1 1 ? . 2 C6 3

???13 分

19、(本小题满分 12 分) (1)

?t =

1 + 2 + ?+ 7 2.9 + 3.3+ 3.6 + 4.4 + 4.8 + 5.2 + 5.9 = 4, y = = 4.3 7 7 设回归方程为y = bt + a, 代入公式,经计算得 3 *14+ 2 + 0.7 + 0 + 0.5 + 1.8 + 4.8 14 1 = = , (9 + 4 + 1) * 2 14* 2 2 1 a = y - bt = 4.3 - * 4 = 2.3 2 所以,y关于t的回归方程为y = 0.5t + 2.3. b=
???7 分

?b =

1 > 0,∴ 2007 年至2013 年该区人均纯收入稳步 增长,预计到 2015 年, 2 该区人均纯收入 y = 0.5 ? 9 + 2.3 = 6.8(千元) ?12 分 所以,预计到 2015 年,该区人均纯收入约 6千8百元左右。

20. (本小题满分 12 分) 解: (I)若按钮第一次、第二次按下后均出现红球,则其概率为

1 1 1 ? ? ; 2 3 6
2 5 10

若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿球、红球,则其概率为 1 ? 3 ? 3 . 故所求概率为 P2 ?
1 3 7 ? ? . ????????4 分 6 10 15

(II)第 n ? 1 次按下按钮后出现红球的概率为 Pn?1 (n ? N , n ? 2 ) , 则出现绿球的概率为 1 ? Pn ?1 . 若第 n ? 1 次、第 n 次按下按钮后均出现红球,则其概率为 Pn ?1 ?

1 ; 分 3

3 若第 n ? 1 次、第 n 次按下按钮后依次出现绿球、红球,则其概率为 (1 ? Pn ?1 ) ? . ?分 5

1 3 4 3 Pn ?1 ? (1 ? Pn ?1 ) ? ? Pn ?1 ? (其中 n ? N , n ? 2 ).????8 分 3 5 15 5 9 4 9 ? ? ( Pn ?1 ? ) (其中 n ? N , n ? 2 ). (III)由(II)得 Pn ? 19 15 19 9 1 4 故 {Pn ? } 构成首项为 ,公比为 ? 的等比数列, 19 38 15 1 4 9 (? ) n ?1 ? (n ? N , n ? 1). 所以 Pn ? ????????12 分 38 15 19
所以, Pn ? 21、 (本小题满分 12 分) 3m 1 解析:(1)∵a1=C2m+3·Am-2,
? ?2m+3≥3m, ∴? ?m-2≥1, ?

即?

? ?m≤3, ?m≥3. ?

∴m=3.∴a1=1. 1 ?4 ? 1 4-1 又由?x+ 2? 知 T2=C4·x · ? 4x ? 1 2 4x =x,

n x= , ? ? ∴an=x , Sn=?1-xn x ? ? 1-x
n-1

.

???????????5 分

(2)当 x=1 时,Sn+1=n+1,
1 2 3 n n?1 An+1= Cn ?1 +2 Cn?1 +3 Cn?1 +?+n Cn?1 +(n+1) Cn?1 ① n?1 n n?1 n?2 1 0 又∵An+1=(n+1) Cn ?1 + n Cn?1 +(n-1) Cn?1 +(n-2) Cn ?1 +?+ Cn?1 +0· Cn?1 ,


0 1 2 n?1 由 Cn=Cn ,①+②,得 2 An+1=(n+1)( Cn ?1 + Cn?1 + Cn?1 +?+ Cn?1 ),
m n-m

∴An+1=(n+1) 2 .

n

1-x 当 x≠1 时,Sn= , 1-x An+1=

n

1? x 1-x 1 1-x 2 1-x 3 C + C + C +?+ 1-x n?1 1-x n?1 1-x n?1 1? x
2 3

n ?1

n?1 1 2 Cn ?1 =1-x·[( Cn?1 + Cn?1 +

1

2 3 n+1 n+1 3 n?1 1 2 3 n?1 1 Cn ?1 +?+ Cn?1 ) -(x Cn?1 + x Cn?1 + x Cn?1 +?+ x Cn?1 )]=1-x[2 - 1- (1 +x Cn?1

1

1 2 n+1 n+1 n+1 2 n?1 +x Cn ?1 +?+x Cn?1 -1)]=1-x[2 -(1+x) ].

?(n ? 1)2n ? ∴ An ?1 ? ? 2n ?1 ? (1 ? x) n ?1 . ? 1? x ?

??????????12 分


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